Энтропия и вероятность состояния газа

Энтропия и вероятность состояния газа [c.58]

Применив к исследованию закономерности неупорядоченного движения молекул идеального газа законы статистики, Больцман установил количественную связь между энтропией и вероятностью данного состояния (Р), определяемую уравнением [c.75]

ГОЙ. Отсюда следует, что мы вправе организовать следующую лотерею представим себе, что мы берем сосуд, содержащий в равном числе белые и черные шары, причем общее число шаров весьма велико, даже по сравнению с числом газовых молекул вынем из этого сосуда столько шаров, сколько молекул у нашего газа направо поместим все белые шары, налево — черные. Результату этой лотереи сопоставим распределение молекул между двумя частями объема в правой части пусть будет столько молекул, сколько вынуто белых шаров, в левой части — столько, сколько вынуто черных. Задачу о распределении белых и черных шаров, а следовательно, и молекул между двумя частями объема, можно теперь решить при помощи исчисления вероятностей. Согласно теории вероятностей, наиболее вероятному случаю соответствует равенство между числами белых и черных шаров, если число испытаний весьма велико и если пренебречь отклонениями, относительная величина которых весьма мала. Этому результату соответствует такое распределение молекул между двумя равными частями объема, что в каждой половине находится приблизительно равное число частиц. В действительности мы считаем возможным утверждать, что это состояние осуществится посредством игры молекулярных движений. Действительное состояние газа, таким образом, то, которому соответствует максимальная вероятность. С другой стороны, термодинамика нас учит, что действительное состояние газа, его равновесное состояние — то, которое обладает максимальной энтропией. Наибольшая вероятность с одной стороны, максимум энтропии с другой — такова связь, которую мы здесь имеем. [c.19]

Логарифмический характер зависимости между энтропией системы и вероятностью ее состояния можно упрощенным путем установить на примере самопроизвольного распределения молекул газа в объеме при необратимом расширении его в пустоту. [c.81]

Наиб, вероятное состояние идеального ферми-газа можно найти из условия максимума статистич. веса (или энтропии) при заданном полном числе частиц Л , и энер- [c.283]

Необходимо подчеркнуть следующее весьма важное различие между формулами для энтропии (35.5) и (35.8), с одной стороны, и (35.7), (35.10), (35.11), с другой стороны. Формулы (35.5) и (35.8) определяют энтропию газа в произвольном, как равновесном, так и неравновесном, состоянии. В противоположность этому, формулы (35.7), (35.10), (35.11) относятся только к равновесному состоянию газа с максимальной энтропией и наиболее вероятными числами заполнения п, П2,. .. Мы видим, что энтропия неравновесного состояния является функцией бесконечного набора чисел заполнения и,-, связанных условиями g nl = N и gin =и И ПРОИЗВОЛЬНЫХ В остальном. [c.181]

В то же время следует иметь в виду, что одному термодинамическому состоянию соответствует множество механических состояний таких систем, как физические тела. Например, изучая определенное термодинамическое состояние газа при заданном объеме, температуре и давлении, надо учитывать, что существует бесконечное множество соответствующих ему механических состояний молекул все эти состояния непрерывно сменяют друг друга, пока система находится в одном и том же термодинамическом состоянии. Поэтому реальные тела имеют термодинамических параметров всегда неизмеримо меньше, чем механических. Это обстоятельство, кстати, и было использовано Л. Больцманом в понятии энтропии как вероятности термодинамического состояния (см. дальше). [c.253]

В основе изложения лежит подход Гиббса, так чго все выводы логически вытекают из одного или двух ясных предположений. Новым для читателя окажется та простота, с которой результаты формулируются на квантовом языке. Статистическая термодинамика представляется удивительно легким предметом, если при ее изучении придерживаться последовательной квантовомеханической точки зрения, в основе которой лежит понятие состояний всей системы, независимо от того, велика она или мала. Классический подход преобладал так долго лишь потому, что он быстро приводит к законам идеальных газов и к выражениям для их теплоемкости, но эта легкость обманчива, поскольку в данном случае корректное введение энтропии невозможно без определенных оговорок, скрывающих существо дела. В статистической термодинамике преимущества строгого изложения с самого начала особенно очевидны, так как оно позволяет нам быстро получить квантовые распределения, перейти затем к приближению идеального газа и найти правильные выражения для газового закона, энтропии и равновесных параметров. Это, вероятно, является некой педагогической уловкой, но указанный предмет был частью физики для двух поколений. Следует [c.9]

В кинетической теории газов доказывается, что между энтропией системы в данном состоянии и термодинамической вероятностью этого состояния существует функциональная зависимость. Остановимся па этом подробнее. [c.28]

Применительно к примерам, рассмотренным выше, формула (3.8) показывает, что чем больше число w (например, все монеты лежат в беспорядке или газ равномерно распределен в сосуде и т.д.), т. е. чем больше вероятность данного состояния, тем больше и энтропия 5. Если, напротив, w l, т. е. все единственным образом упорядочено (например, все монеты лежат одинаково), то 5 = 0 (поскольку In 1=0). [c.138]

Аналогичные соображения можно провести в случае других простых примеров. Так, например, при рассмотрении смеси двух газов однородное состояние — одновременно и наиболее вероятно и соответствует максимуму энтропии. [c.19]

Основанием для такого отождествления, так же как и в случае идеальных газов, являются, во-первых, аддитивность величин Еио и, во-вторых, то, что величины 5 и достигают максимума в наиболее вероятном — равновесном в смысле термодинамики — состоянии. Необходимость деления на /, в формуле (63.11) связана с тем, что мы хотим определить энтропию реальной системы, т. е. отнесенную к одному экземпляру ансамбля. Подставляя значение а и пользуясь формулой Стирлинга, имеем [c.315]

Если какой-либо процесс приводит изолированную систему нз состояния менее вероятного в состояние более вероятное, то этот процесс сопровождается увеличением энтропии системы. Равномерное распределение молекул газа по всему объему какого-либо сосуда является наиболее вероятным. Беспорядочное движение молекул может вызвать нарушение однородной плотности газа в сосуде. Чем сильнее это нарушение, тем оно менее вероятно. Однако оно все же возможно, и при наблюдении малых объектов с небольшим содержанием молекул вероятность таких нарушений становится заметной. [c.75]

Энтропия 5 является также мерой неупорядоченности системы. Каждое макроскопическое состояние системы (т. е. состояние массы, включающей в себя большое число атомов) можно в общем представить как сумму большого числа микроскопических состояний. Данное количество газа при заданном давлении, температуре и объеме может состоять из молекул, которые различным образом распределены по разным скоростям. Вероятность существования среди них молекул с энергией Е пропорциональна Таким образом, вероятность пребывания молекул в состоянии с высокой энергией мала при низких температурах и возрастает с повышением температуры, так что при высоких температурах возможно большее число различных состояний молекул, чем при низких. [c.199]

Таким образом, в добавление к параметрам р, V, и и г мы получили новую величину, определяемую состоянием тела и, следовательно, характеризующую -состояние тела, т. е. новый параметр — энтропию Усвоение понятия энтропии связано для начинающего с большими затруднениями, потому что ее физическое значение не может быть истолковано достаточно просто и наглядно и она не поддается непосредственному измерению какими-либо приборами. Больцман в одном из своих исследований при пользовании статистическим методом показал, что изменение энтропии газа прямо пропорционально натуральному логариЛму вероятности и, следовательно, энтропия может быть мерой вероятности состояния газа. Для наших целей совершенно достаточно рассматривать энтропию как функцию состояния тепла, определяемую в любом состоянии расчетным порядком, пользование которой во многих случаях существенно упрощает как теоретические выводы, так и практические расчеты. Как следует из уравнения (5-10), энтропия измеряется в тех же единицах, что и теплое.мкость, а -именно для 1 кг тела в ккал кг град. [c.110]

В этой же работе Больцман делает расчет вероятностей различных состояний системы и доказывает, что наиболее вероятным состоянием является то, при котором энтропия ее достигает максимума доказывает, что при всяком взаимодействии реальных газов (диффузия, теплопроводность и т. д.) отдельные молекулы вступают во взаимодействие в согласии с законами теории вероят ностей... и заключает <аВторое начало оказывается, таким образом, вероятностным законом . Отсюда следует, что второе начало, будучи статистическим законом, неприменимо к Вселенной, тела которой движутся ке хаотично, а каждое по своим динамическим законам а кроме того, что второе начало может нарушаться тем чаще, чем меньше частиц в системе и чем меньше их скорости. [c.165]

Полученные формулы показывают, что для находящегося в локальном равновесии газа //-функция Больцмана пропорциональна отрицательной энтропии. Поэтому в терминологии, предложенной Бриллюэном ), Я-функцию можно рассматривать как меру негэытро-пии, В то же время для неравновесного газа, согласно (5.24), энтропия не пропорциональна Я-функции и, следовательно, не определяет вероятность состояния системы, //-функция является обобщением понятия энтропии и ыегэнтропии на случай неравновесного газа. [c.65]

В разд. 10 будет показано, что равенство (9.11) выполняется для равновесных состояний, если в качестве ц взять обычное выражение для идеального газа для неравновесных состояний соотношение (9.11) можно рассматривать как определение энтропии ц для больцмановского газа. При такой интерпретации Я ясно, что Я-теорема представляет собой не что иное, как доказательство второго начала термодинамики (для больцмановского газа). В этой связи второе начало не является строгим следствием законов механики (в силу парадоксов Лошмидта и Цермело это было бы несостоятельно), но зависит от статистических аргументов, асимптотических оценок (для Л ->оо, а-> О, Мо конечно, см. разд. 2 и 3 гл. П) и определения будущего как направления времени, для которого существует статистическая тенденция переходить от маловероятных состояний к более вероятным. [c.164]

Больцман (Boltzmann) Людвиг (1844-1906) — выдающийся австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики. Окончил Венский университет (1866 г.), работал в Граце, Вене, Мюнхене, Лейпциге. Вывел (1868 г.) функцию распределения и кинетическое уравнение газов, названное его именем. Дал (1872 г.) статистическое обоснование второго качала термодинамики, связав энтропию системы с вероятностью состояния системы. Впервые применил к теории излучения принципы термодинамики (закон Стефана — Больцмана). Работы по математике, оптике, гидродинамике, теории упругости, теории электромагнетизма, по философии естествознания. Именем Больцмана названа одна из трех универсальных физических постоянных (постоянная Больцмана). Член многих академий наук. [c.20]

Приведенное затруднение устраняется, если учесть, что обращение направления скоростей всех атомов макроскопически удаляет систему от равновесного состояния, как наиболее вероятного. Временная эволюция газа в этом случае определяется не уравнением Больцмана, а другим кинетическим уравнением, которое, как и уравнение Больцмана, может быть получено методом неравновесных функций распределения Боголюбова. Этот вопрос, а также рещение парадокса возврата Цермело мы обсудим в следующем параграфе. А сейчас обратимся к статистическому выражению для энтропии неравновесной системы. [c.123]

Таким образом, механическая квазипериодичность замкнутой системы и ее макроскопическое поведение (необратимое приближение к равновесию и пребывание в нем) сосуществуют одновременно и не противоречат друг другу. Вследствие обратимости движения атомов газа его макросостояние столь же часто будет самопроизвольно отклоняться от равновесного состояния, как и возвращаться в него на пути цикла Пуанкаре при механической квазипериодичности. И всякий раз на ограниченном временном интервале макроскопического возвращения системы к равновесию процесс будет необратимым, сопровождающимся ростом энтропии. На интервале же отклонения системы от равновесия ее энтропия будет уменьшаться. Если, однако, отклонение системы от равновесия в некоторый момент времени было вызвано внешним вмешательством, то начиная с этого момента в изолированной системе с наибольшей вероятностью возникнет необратимый процесс. [c.126]

Энтропия. В термодинамике процессы разделяют на обратимые и необратимые. К числу обратимых относятся изотермические и адиабатические изменения состояния идеального газа. Однако идеально обратимые процессы на практике неосуществимы. Все процессы, сопровождающиеся трением, теплообменом, диффузией и т.п. не могут бьггь полностью проведены в обратом направлении. Статистическая физика связывает эту необратимость с переходом системы от менее вероятного к более вероятному распределению элементов, образующих систему. В качестве примера можно рассмотреть процесс смешения двух газов, разделенных вначале в некотором сосуде перегородкой, после того как перегородка будет удалена. Другим примером может служить выравнивание температур нескольких соприкасающихся тел, имевших вначале различные температуры. [c.197]

ФАКТОР <есть причина, движущая сила какого-либо процесса, явления, определяющая его характер или отдельные его черты магнитного расщепления — множитель в формуле для расщепления уровней энергии, определяющий величину расщепления, выраженный в единицах магнетона Бора размагничивающий— коэффициент пропорциональности между напряженностью размагничивающего магнитного поля образца и его намагниченностью структурный—величина, характеризующая способность элементарной ячейки кристалла к когерентному рассеянию рентгеновского излучения, гамма-излучения и нейтронов в зависимости от внутреннего строения ячейки) ФЕРРИМАГНЕТИЗМ—состояние кристаллического вещества, при котором магнитные моменты ионов, входящих в его состав, образуют две или большее число подсистем (магнитных подрещеток) ФЕРРОМАГНЕТИЗМ—состояние кристаллического вещества, при котором магнитные моменты атомов или ионов самопроизвольно ориентированы параллельно друг другу ФИЛЬТРАЦИЯ—движение жидкости или газа через пористую среду ФЛУКТУАЦИЯ <есть случайное отклонение значения физической величины от ее среднего значения, обусловленное прерывностью материи и тепловым движением частиц абсолютная — величина, равная корню квадратному из квадратичной флуктуации квадратичная 01ли дисперсия) равна среднему значению квадрата отклонения величины от ее среднего значения относительная равна отношению абсолютной флуктуации к среднему значению физической величины) ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ — люминесценция, быстро затухающая после прекращения действия возбудителя свечения ФОРМУЛА (барометрическая — соотношение, определяющее зависимость давления или плотности газа от высоты в ноле силы тяжести Больнмаиа показывает связь между энтропией системы и термодинамической вероятностью ее состояния Вина устанавливает зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от его частоты в третьей степени и неизвестной функции отношения частоты к температуре) [c.292]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Второй закон термодинамики можно представить при помощи этих математических выражений, если представить энтропию 5 в форме 5=й1пи , где —термодинамическая вероятность пребывания системы в данном состоянии. Применим изложенное к случаю идеального газа. Представим, что газ занимает объем У2 и абсолютная вероятность этого равна W2. [c.199]

БОЛЬЦМАНА ПОСТОЯННАЯ, одна из фундаментальных физических констант равна отношению газовой постоянной R к Авогадро постоянной Na, обозначается к названа в честь австр. физика Л. Больцмана (L. Boltzmann). Б. п. входит в ряд важнейших соотношений физики в ур-ние состояния идеального газа, в выражение для ср. энергии теплового движения ч-ц, связывает энтропию физ. системы с её термодинамической вероятностью. Б.п. k=i, 380662(44). 10-23 Дж/К (на 1980). Это значение получено на основе данных о R и Л д. Непосредственно значение Б. п. можно определить, напр., из опытной проверки законов теплового излучения. [c.56]

ВЕРОЯТНОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ, число способов, к-рыми может быть реализовано данное состояние макроскопич. физ. системы. В термодинамике состояние физ. системы характеризуется определ. значениями плотности, давления, темп-ры и др. измеряемых величин. Перечисленные величины определяют состояние системы в целом (её макросостояние). Однако при одной и той же плотности, темп-ре и т. д. ч-цы системы могут находиться в разных местах её объёма и иметь разл. значения энергии или импульса. Каждое состояние физ. системы с определ. распределением её ч-ц по возможным классич. или квант, состояниям наз. микросостоянием. В. т. равна числу микросостояний, реализующих данное макросостояние, из чего следует, что РГ 1. Её легко вычислить лишь в случае идеальных газов. Для реальных систем В. т. можно оценить по величине статистической суммы. В. т. связана с энтропией 8 системы соотношением Больцмана 8=к1пЦ . В. т. не явл. вероятностью в матем. смысле (последняя <1) применяется в статистической физике для вычисления св-в системы, находящейся в термодинамич. равновесии (для равновес- [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...