Обобщенные сопряженные переменные

ОБОБЩЕННЫЕ СОПРЯЖЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 1) [c.91]

В качестве некоторого обобщения изложенной теории сопряженных аппроксимаций рассмотрим способ построения обобщенных сопряженных переменных для других линейных функционалов. [c.91]

Значение формулы (8.13) состоит в том, что не может быть двух компонент момента количества движения, которые могли бы быть одновременно принятыми за сопряженные переменные, так как все сопряженные переменные должны подчиняться законам, записанным равенствами (8.7) и относящимся к фундаментальным скобкам. Любая компонента момента количества движения, конечно, может быть выбрана как обобщенный импульс, но в любой частной рассматриваемой системе отсчета так можно выбрать не более одной компоненты. [c.110]

До сих пор мы использовали квантовое описание микроскопической динамики. Однако все свойства симметрии обобщенных восприимчивостей и кинетических коэффициентов остаются справедливыми и для классических систем. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что в классическом пределе квантовая корреляционная функция (5.2.8) переходит в классическую (AA t) AB t )) а динамические переменные в этом пределе рассматриваются как фазовые функции. Единственное обстоятельство, которые необходимо иметь в виду, это то, что для классических систем динамическая переменная заменяется на комплексно сопряженную переменную А. [c.366]

В задачах первого типа требуется найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение механической системы за заданное время из начального фазового состояния в заданное целевое множество с минимальными затратами на преодоление сил сопротивления среды. Такие задачи имеют следующие особенности. Во-первых, они нерегулярны [26], если только в текущее выражение для мощности сил сопротивления не входят в явном виде управляющие воздействия. Действительно, действующие на механическую систему управляющие силы и моменты входят в уравнения ее движения линейно. Отсюда гамильтониан зависит от управляющих сил и моментов также линейно. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не содержат в явном виде управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Во-вторых, как показывает опыт, это верный признак того (и так оно оказалось), что оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для нахождения оптимальных программ (в [12] дано обобщение принципа максимума Понтрягина на простейшие классы импульсных управлений). Задачи, исследованные во второй и третьей главах, принадлежат данному типу. [c.39]

Переменные р и д, в которых уравнения имеют форму Гамильтона, называются каноническими. Пары р называются сопряженными переменными задачи. Или подробнее импульс р сопряжен обобщенной координате д Их положение в векторе г не произвольно. Если р расположена на г-м месте, то д - на (т + 0-м месте. [c.297]

X Т ](У — сопряженные усложненные или обобщенные комплексные переменные [c.114]

Переменные р, д называются обобщенными импульсами и координатами, а соотношения (1.2.6) и (1.2.7) есть уравнения Гамильтона. Исследование характера решений этих уравнений составляет основное содержание настоящей монографии. Любой набор переменных р, д, временная эволюция которых дается уравнениями вида (1.2.6), называется каноническим, а сами р, и дс — сопряженными переменными. [c.22]

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы, фигу-, рирующие в канонических уравнениях Гамильтона, называются в совокупности канонически сопряженными переменными. [c.34]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины Р/г, Qk лучше назвать каноническими переменными в этом случае говорят, что и Qk являются канонически сопряженными . Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также каноническими дифференциальными уравнениями . [c.294]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Динамика энерго- и массообмена выражается характерной для каждого процесса переменной х, изменяющейся под воздействием сопряженной с ней обобщенной силы у, [c.64]

Покажем теперь, что определение (2.1.23) неравновесной энтропии приводит к естественному обобщению термодинамических соотношений на неравновесные состояния. Для полноты мы рассмотрим ситуацию, когда суммирование по индексам базисных динамических переменных Рт и сопряженных параметров Fm включает интегрирование по координатам. Это имеет место, например, в тех случаях, когда динамические переменные Рт = Л (г) соответствуют плотностям физических величин ). Удобно ввести операции S/S PmY и S/SFm t) которые в случае дискретных индексов означают обычное дифференцирование, а в случае непрерывных индексов — функциональное дифференцирование. Папример, [c.87]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Рассматривая время в качестве дополнительной обобщенной координаты, можно привести неавтономные уравнения Гамильтона к автономной форме. Для этого необходимо выяснить, что будет играть роль импульса, сопряженного координате <, и как следует трансформировать функцию Гамильтона с тем, чтобы она зависела от нового состава переменных. [c.280]

Пусть, как обычно, д, ср, ф — углы Эйлера (обобщенные координаты в динамике твердого тела с неподвижной точкой), я Р-в, Р(р, Рф — им сопряженные канонические переменные. [c.38]

Все операторы, встречающиеся в теории поля, можно разложить по векторам и их сопряженным значениям. Построение таких представлений является простым обобщением формул, полученных в разделе 5, на случай бесконечного набора амплитудных переменных. Поэтому мы сразу же перейдем к рассмотрению оператора плотности. Для произвольного оператора плотности д можно определить функцию Я ( а , Р ), которая является целой функцией каждой из переменных и р для всех мод к. Как видно из (6.1), эта функция дается выражением [c.100]

Пусть I,,. .., / — обобщенные импульсы (действия), канонически сопряженные углам Oi,. .., Ojt. Это означает, что уравнения движения в этих переменных имеют вид [c.23]

Не боясь излишних подробностей, еще раз поясним сказанное выше. Элементы Ра групповой алгебры могут быть, как уже отмечалось в п, 1, реализованы операторами сдвига на соответствующей группе, линейным образом выражающимися через производные по групповым параметрам а , 1 а iV. При переходе к функциональной группе пространство групповых параметров как бы раздваивается переменные аа играют роль обобщенных координат, а переменные aa = д/даа — роль сопряженных им импульсов 2 -мерного пространства. При этом имеется г циклических координат а,, 1 t г (где г — ранг О), не участвующих в игре, а сопряженные им импульсы a, перестановочны (в смысле скобок) со всеми элементами G и через полиномы от них выражаются инвариантные операторы С и собственные значения этих операторов для один из которых [c.16]

Пусть q и р — сопряженные канонические переменные. Определим обобщенную скобку Лагранжа [а , а,] при помощи формулы [c.202]

В соответствии со способом выбора новых переменных мы будем рассматривать U и I как основные канонические переменные >) Используя обозначения, принятые в общей теории, отождествим величины и, G, Н с обобщенными координатами q , q величины I, g, h — с соответствующими сопряженными величинами р,, р2, Рз и Rq — с функцией Гамильтона H(q, р, t). [c.236]

Хотя функция I будет везде подразумеваться определенной как плотность распределения именно в фазовом пространстве, в кинетической теории целесообразно выражать ее через определенным образом выбранные переменные, которые могут и не являться канонически сопряженными обобщенными координатами и импульсами. Условимся, прежде всего, об этом выборе. [c.13]

Уравнения (6) называются уравнениями Гамильтона, а переменные р — обобщенными моментами . Пара переменных Рг, qi есть пара сопряженных переменных. Кроме того следует отметить, что гамильтонова главная функция Н не что иное, как полная энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и моменты. Из канонических уравпепий (6) сразу же следует интеграл эпергии Н = onst. [c.64]

Поскольку перемещения 7 , 7 , принИмаШ заданВЫб значения, соответствующие глобальные обобщенные силы (сопряженные переменные) Рг, Р , Р обращаются в нуль. Неизвестными в получающихся уравнениях [c.173]

Вводя сопряженную переменную У=д11ду (обобщенный импульс), получим выражение для функции Гамильтона Н /2 [c.6]

Заметим, что система с переменным количеством вещества представляет собой особый случай бивариантной системы, имеющей помимо механической координаты V еще одну своеобразную координату — число молей М, для которой сопряженной обобщенной силой является химический потенциал fi. [c.111]

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ — состояние термодинамич. системы, определяемое значениями внешних параметров и темп-ры. Конкретный выбор термодинамич. переменных в качестве внешних параметров определяется тем, каким образом рассматриваемая система выделена из среды окружающих ее тел и других систем. Существуют две возможности такого выделения, а) Рассматриваемая система заключена в сосуд с непроницаемыми стенками. Параметрами, определяющими состояние системы, являются число частиц N, внешние параметры, определяемые расположением внешних по отношению к данной системе тел (объем V, внешние поля х ,. .., Xj ) и темп-ра Г. Впутренними параметрами будут сопряженные величины, как ф-ции А, V, х и Г химический потенциал (х, давление р, обобщенные силы Ai,. .., Aft и энтропия S. Разделение на внутренние и внешние параметры условно можно, напр., за внешний параметр выбрать р (газ в цилиндре, давление создается внешними телами, действукшщмп на подвижный поршень), тогда объем будет внутренним параметром системы, б) Система заключена в сосуд с проницаемыми стенками, возможен переход частиц от рассматриваемой системы к окружающим ее системам и наоборот. Параметрами системы будут fx, а также V, Xj и Т. Варианты а) и б) являются равноценными. [c.162]

Отметим, что рассмотренные ранее обобщенные аналитические функции Ф( ) связаны с р-аналити-ческими функциями простой зависимостью. А именно, если в формулах гл. VI заменить переменные z, г через ж, у, то функция j z = х + iy) = Re Ф + гу Im Ф является р-аналитической с характеристикой p =fy, интеграл (46.2) эквивалентен (27.12), сопряженные пере- [c.438]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

Как мы увидим дальше, переменной, канонически сопряженной со-временем будет обобщенная энергия, ьзятая с обратным знаком и выраженная в канонических переменных. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...