Канонические законы сохранения

Механика разрушения продолжает динамично развиваться не только в своей прикладной части, но и в плане развития и совершенствования своих общетеоретических основ. За последние десять лет многие факты и концепции разрушения получили совершенно иную интерпретацию. В связи с этим следует еще раз отметить метод обратного онисания упругого ноля и оригинальную трактовку энергетических теорем и инвариантных интегралов механики разрушения, предложенные в [ ]. В основе нового канонического подхода к исследованию твердых деформируемых тел лежит представление о материальных силах п канонических законах сохранения. Эффективность этого подхода блестяще продемонстрирована в обзорной статье [ ], в частности, в ирименении к механике разрушения. [c.28]

Канонические законы сохранения и силы, действующие на дефекты в нелинейно упругих твердых телах [c.101]

Канонические законы сохранения [c.103]

Канонические законы сохранения 109 [c.109]

Канонические законы сохранения 111 [c.111]

Канонические законы сохранения 113 [c.113]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Так что на основе циклического варианта получаются не только законы сохранения количества движения и момента количества движения, но и энергии, хотя процедура вывода и является несколько более сложной. Тем не менее он не охватывает симметрии более общего типа (например, некоторых симметрий фазового пространства). С другой стороны, все, что удается получить посредством циклического метода, более непосредственно может быть найдено в рамках канонического варианта взаимосвязи, важным достоинством которого является также формулировка требований симметрии на языке бесконечно малых преобразований. Последнее обстоятельство характерно также для лагранжева и гамильтонова вариантов, в которых, таким образом, связь законов сохранения с симметриями выглядит более непосредственно. [c.237]

Обобщенные импульсы. Функция Гамильтона. Связь функции Гамильтона с законами сохранения. Циклические координаты. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). [c.113]

Соотношение (46) является первым интегралом канонической системы уравнений и выражает закон сохранения механической энергии. [c.515]

В отличие от гамильтоновых систем с их фундаментальным законом сохранения фазового объема для диссипативных систем характерно его постоянное уменьшение со временем. Это приводит к тому, что все траектории движения притягиваются к некоторой поверхности (аттрактору), размерность которой меньше, чем у исходного фазового пространства. При этом уравнения движения уже не являются каноническими, но их можно записать, вообще [c.73]

Займемся теперь законами сохранения для электромагнитного поля. Наша система состоит из взаимодействующих друг с другом частиц и поля ее действие представляется суммой трех членов в (45). 4-импульс, возникающий из двух первых членов действия, мы уже нашли в 9 (формулы (47)), нам осталось заняться поэтому только сохраняющимися величинами, получаемыми из действия 5ph для одного поля. Канонический тензор энергии — импульса из лагранжиана Lph получается по общей формуле (37.1), которая в применении к нашему случаю гласит [c.215]

Всякому графу О поставим в соответствие пространство (О) пересечение массовой поверхности М (I —множество всех линий графа, как внутренних, так и внешних) с евклидовым пространством Г(О), определенным законом сохранения энергии-импульса в каждой вершине. Мы уви Хим (гл. I), что для почти всех значений масс это пространство (0) является многообразием. Пусть я — каноническая проекция этого многообразия на многообразие 9 -внешних импульсов графа. Будет проверено, что точка p 9 G) является критической ) для проекции я тогда и только тогда, когда существуют параметры а , не все одновременно равные нулю, такие, что для всякого цикла г, построенного на множестве / внутренних линий графа, выполняются уравнения [c.14]

В каждом из этих двух случаев точная последовательность абелевых групп (Z) канонически расщепляется ), так что 2, = 7 0 7 . Аналогично, У = У 0 У" . Следовательно, если два графа, имеющие одинаковые множества линий и одинаковые группы циклов (следовательно, одинаковые законы сохранения), назвать эквивалентными, то легко видеть, что тривиальное справа или слева) расширение двух заданных графов является единственным с точностью до эквивалентности 2). [c.37]

Отображения (х). Из п. 0.2.4 получаем, в частности, что для всякого стягивания % G G пространство V законов сохранения графа G вложено в пространство V законов сохранения графа G. Следовательно, каноническая проекция евклидова пространства на евклидово подпространство [c.49]

Мы не спрашиваем сейчас, как это сделать, и имеет ли это смысл мы просто хотим знать, допустимо ли это кинематически для каких значений внешних импульсов (ри Рг, рз, Р , рг, рз ) можно найти внутренние импульсы pi, рь, рб так, чтобы закон сохранения импульса удовлетворялся в каждой вершине графа 2 Заметим, что этот же вопрос можно задать и в более общем случае, когда граф 1 уже не является элементарным графом рассеяния, а является графом многократного рассеяния, из которого граф 2 может быть получен расчленением некоторых вершин. Чтобы сформулировать эту проблему в такой общей постановке, обозначим через х 62—операцию стягивания некоторых линий графа Сг, приводящую к графу Оь Обозначим через 9 Gi), 1 = = 1, 2, пространство графа Сг, выделяемое из произведения массовых поверхностей всех частиц графа Gi условием сохранения импульса в каждой вершине. Мы имеем каноническое отображение [c.147]

Третья глава книги Нелинейная механика разрушения основные методы и результаты — открывается ( ) выводом законов сохранения для тел с трещинами, реализованным в наиболее общем варианте, т.е. с учетом конечности деформаций и возможного динамического развития трещин. Мы избрали здесь каноническую форму записи законов сохранения, терминологию и обозначения, предложенные в монографии [ [c.13]

Канонические преобразования общего типа. Инвариантность дифференциальной формы (7.2.13) не является абсолютно необходимой для сохранения вида канонических уравнений. Существует более широкая группа преобразований, которые оставляют инвариантными канонические уравнения. Предположим, что дифференциальная форма (7.2.13) преобразуется по следующему закону [c.237]

Канонические законы сохранения. Мы будем рассматривать общий нелинейный случай и начнем с краткого анализа основных соотношений кинематики. Обозначения, используемые далее, в основном согласуются со схемой рациональной механики [16]. Компактное изложение теории конечных деформаций читатель может найти в [2] и [17], систематическое — в духе рациональной механики Полла-Трусделла (Ш. N0 , С. Тгиезс1е11) — в монографии [18]. [c.659]

Значительное место в книге ( ) мы отводим каноническим законам сохранения нелинейной упругости и конфигурационным силам вычисление последних выводит па сцепу ипвариаптпые интегралы механики разрушения. Здесь мы привели предельно общие формулировки геометрически нелинейный вариант и учет динамического вклада. [c.22]

Канонический формализм нелинейной механики сплошных сред (т.е. нредставление на ассоциированном материальном многообразии) и канонические законы сохранения (баланс энергии и канонического имнульса) позволяют не только дать вывод пнварпантов механики разрушения в геометрически нелинейном случае, но и полнее понять и прояснить сугцность инвариантных интегралов механики разрушения и их место в современной нелинейной теории упругости, рассматриваемой как физическая теория поля (см. ниже ). [c.101]

Полученный канонический закон сохранения может быть найден также с помощью следующего рассуждения. Если Лагранжиан явно не зависит от ирост-ранственно-временных координат Х , то, вычисляя полную попзводпую, находим [c.135]

Интегральный инвариант (II. 393а) выражает закон сохранения массы многомерной сплошной среды. Равенство М единице при совпадении уравнений (11.379) с каноническими уравнениями вновь подтверждает то, что масса изображающей точки равна единице. [c.396]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Так как преобразования евклидовой] симметрии , образующие подгруппу группы точечных преобразований, могут рассматриваться и как преобразования, образующие подгруппу группы канонических преобразований, то шести бесконечно малым преобразованиям этой группы должны, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, отвечать шесть интегралов движения — законов сохранения количества движения и момента количества движения. Конкретный вид генераторов евклидовой группы позволяет благодаря соотношениям (15) вычислить соответствующие производящие функции, отождествляемые с шестью упомянутыми первыми интегралами. [c.234]

Однако, для того чтобы в рамках лиевского варианта пол5гчить непосредственно законы сохранения движения центра масс и энергии (как производящие функции некоторых бесконечно малых канонических преобразований), потребовалось бы такое расширение канонического формализма, которое бы придало и времени характер канонической переменной. Но, несмотря на то, что уже Ньютон (и даже некоторые его предшественники) ясно представлял себе однородность времени и галилеев принцип относительности, обе эти симметрии рассматривались как бы совершенно независимо от широко используемой евклидовой симметрии. По существу представление о галилеево-ньютоновой группе G как единой фундаментальной [c.234]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Галилеева симметрия в конце XIX в. не включалась в канонический формализм как мы уже отмечали, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает ей, оставался открытым. В силу особой роли времени в классической механике галилеево-ньютонова группа как некоторая единая система преобразований, действующая на пространственно-временном многообразии, оставалась неизвестной, несмотря на то, что все ее генераторы были известны, по существу говоря, со времени Галилея и Ньютона. Галилеев принцип относительности имел большое значение для обоснования системы Коперника (Галилей), использовался Гюйгенсом в качестве одного из главных постулатов теории упругого удара, но уже в Началах Ньютона формулировался в виде следствия из трех основных аксиом или законов механики, а в механике XVIII в., как правило, не фигурировал вообще. Во второй половине XIX в. возобновляется некоторый интерес к физическим основам механики, в частности к вопросам об абсолютном пространстве, инерциаль-ных системах отсчета и принципе относительности Галилея (Э. Мах, К. Нейман, Л. Ланге и др.) . Частично это было связано с проблемой увлекаемо-сти эфира в оптике и электродинамике движущихся сред. Однако исследования эти не носили систематического характера, и галилеева симметрия в механике не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией. Отчетливое понимание роли галилеевой симметрии в классической механике и открытие галилеево-ньютоновой группы произошло, по сути дела, после открытия теории относительности. Ф. Клейн в этой связи подчеркивал Эта выделенность t (т. е. времени.— В. В.) играла определенную тормозящую роль в истории развития механики. Несмотря на то, что уже Лагранж [c.238]

Задолго до выхода статьи Э. Нётер [ 7] канонический вариант соотношения симметрия - законы сохранения рассмотрен С. Ли. Основной результат С. Ли можно проиллюстрировать, ограничившись случаем однопараметрической группы [c.76]

Представленный материал располагается в следующей последовательности сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. [c.658]

Закон сохранения обобщенного импульса в канонических переменных формулируется аналогично (5.83). Действительно, из соотношений (9.12) видно, что частные производные. 5 и Я по координатам обращаются в нуль только одновременно. Следовательно, если какая-либо координата является циклической в отно- [c.387]

Полученные выражения (8) и (11) (их называют каноническими) для локализации энергии-импульса и момента не однозначны, если исходить только из требования выполнения дифференциальных законов сохранения и получения правильных интегральных величин. Если добавить, скажем, к канонич. тензору энергии-импульса дивергенцию нек-рого тензора антисимметричного в з и ( з [c.426]

Уравнение (10.228) выражает закон сохранения энергии, если Л и S интерпретировать как плотность энергии и плотность тока ссстветственно. В локально инерциальной системе уравнення (10.227) эквивалентны уравнениям (6.2) и (6.3). Как мы сейчас увидим, (каноническая) плотность импульса [c.293]

Здесь в уравнениях мы вернулись к методу двух времен, но сохранили канонические формы законов сохранения, следующие из лагранжева формализма. Это, очевидно, менее желательно, чем непосредственное применение данного метода к какому-либо расширенному вариационному принципу. Недавно Хименес [1] достиг некоторого успеха в выводе результатов типа уравнения (14.89) в рамках подхода Пригожина к необратимым системам (Доннелли и др. 11]), [c.491]

Понятие о Лагранжиане нустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенностп канонических тензорных нолей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. Теория Лагранжиана нустого пространства излагается, нанример, в (рр. 224-226). Паше изложение следует [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...