Каноническая проекция

Доказательство. Единственное различие между доказательством теоремы 18.1.7 и теоремы 18.1.3 состоит в сведении к трансверсальной проблеме. Идея заключается в том, чтобы ограничиться рассмотрением подмножества возмущений отображения а YU(Л), где решение /3 уравнения (18.1.1) единственно. Для этого введем следующие обозначения. Пусть Е с ТМ — распределение коразмерности один подпространств, ортогональных к векторному полю v = ф = d/dt)ip4.g, порождающему поток tp , —маленький шар в Е и 5 = ехр Д. В малой окрестности 14 точки X е М существует определенная каноническая проекция тг вдоль [c.571]

Унитарное касательное расслоение многообразия V обозначается через TiV и р TiV Т является канонической проекцией. [c.183]

Пусть V = W — универсальное накрытие W с прообразом римановой метрики W под действием канонической проекции тг —) W, Пространство V удовлетворяет предположению предыдущего раздела. Следовательно, геодезический поток на Т У удовлетворяет условиям У-потока условие (0) является тривиально выполненным условие (1) следует из теоремы П21.16 условие (2) следует из теоремы П21.18. Завершаем доказательство проверкой того, что тг является совместимым с тремя слоениями У = и TiW, Первая гомотопическая группа Tri(M ) изоморфна группе автоморфизмов W, поскольку W связ- [c.187]

Особенности канонической проекции, построенной по паре типичных гиперповерхностей, являются стандартными особенностями Уитни. Это значит, что локально они эквивалентны особенностям Ак (то есть особенностям проекций гиперповерхности [c.199]

Вместе с введённой выше канонической проекцией мы можем определить вторую каноническую проекцию с помощью той же конструкции, меняя местами гиперповерхности. [c.199]

Вторая каноническая проекция отображает многообразие краевых ортов в многообразие (ко)касательных векторов края . В примере эта проекция отправляет краевой орт в его ортогональную проекцию Р на касательное пространство (рис. 97). В этом примере единственной [c.199]

Рис. 96. Асимптотические единичные векторы как особые точки канонической проекции

Рис. 98. Вторая каноническая проекция

Теорема 1. В некоторой окрестности точки, в которой каноническая проекция имеет особенность Ак, многообразие коразмерности 1 в гиперповерхности 9о = О приводится к нормальной форме = = О, где [c.203]

Из теоремы вытекает возможность приведения к простым нормальным формам объектов, построенных по паре, образованной первой гиперповерхностью и её пересечением со второй например, для первой канонической проекции (которая становится отображением забывания Ро)- [c.203]

Критические значения первой канонической проекции образуют многообразие касательных лучей , имеющее полукубическое ребро возврата в случае А2, и особенность, диффеоморфную произведению ласточкина хвоста на гладкое многообразие, в случае А3. Это много- [c.203]

Множество критических значений канонической проекции является гиперповерхностью в симплектическом пространстве. Её характеристики называются геодезическими. [c.205]

Пример. Рассмотрим пару гиперповерхностей в фазовом пространстве, соответствующую поверхности в евклидовом пространстве. Критические значения первой канонической проекции суть касательные лучи. В этом случае геодезические являются кривыми в пространстве лучей, образованными касательными лучами к геодезическим на поверхности. [c.205]

Критические значения второй канонической проекции суть орты, (ко)касательные к поверхности. В зтом случае геодезические суть орбиты обычного геодезического потока на поверхности. [c.205]

Так же, как в примере, определим два множества геодезических линий одно, определённое первой, другое — второй канонической проекцией. [c.205]

Характеристики множества критических точек будем называть верхними геодезическими . Канонические проекции отправляют верхние геодезические в нижние (в точках складки, где нижние геодезические определены), см. [166]. [c.205]

Используя нормальные формы первой канонической проекции можно получить следующие нормальные формы первого семейства верхних и нижних геодезических [23] [c.205]

Естественные включения и канонические проекции образуют шестиугольную коммутативную диаграмму, как показано на рис. 100. Мы используем для обозначения вложений и для расслоений. Эту диаграмму полезно иметь в виду, изучая особенности систем лучей и фронтов. [c.208]

Для того чтобы получить эту информацию, перенесём на контактный случай конструкции канонических проекций (смотри 7.1, раздел С). Будем использовать терминологию задачи об обходе препятствия в римановом случае, но вся теория практически не меняется в общем случае типичной пары гиперповерхностей в произвольном контактном многообразии. [c.212]

Первая каноническая проекция I ЗТ М отправляет граничный вектор в момент времени Ь в орт, касающийся той же геодезической в момент т. [c.213]

Вторая каноническая проекция П > 7 (9М, К) отправляет 1-струю функции на М в точке, принадлежащей дМ, в 1-струю ограничения зтой функции на дМ. Это отображение имеет особенность А1 (складку) в точках гиперповерхности Е С 1 , образованной ортами, касающимися дМ, [c.213]

Множество критических значений второй канонической проекции является гиперповерхностью SJ дM, R), определённой над дМ уравнением Гамильтона-Якоби = 1. Таким образом мы получили вложение SJ дM, R) W (естественный диффеоморфизм на Е) и отображение ехр SJ дM, К) ЗТ М (по существу, зто отображение совпадает с отображением ехр, определённом в примере перед теоремой 3). [c.213]

Всякому графу О поставим в соответствие пространство (О) пересечение массовой поверхности М (I —множество всех линий графа, как внутренних, так и внешних) с евклидовым пространством Г(О), определенным законом сохранения энергии-импульса в каждой вершине. Мы уви Хим (гл. I), что для почти всех значений масс это пространство (0) является многообразием. Пусть я — каноническая проекция этого многообразия на многообразие 9 -внешних импульсов графа. Будет проверено, что точка p 9 G) является критической ) для проекции я тогда и только тогда, когда существуют параметры а , не все одновременно равные нулю, такие, что для всякого цикла г, построенного на множестве / внутренних линий графа, выполняются уравнения [c.14]

Отображения (х). Из п. 0.2.4 получаем, в частности, что для всякого стягивания % G G пространство V законов сохранения графа G вложено в пространство V законов сохранения графа G. Следовательно, каноническая проекция евклидова пространства на евклидово подпространство [c.49]

V является замкнутым аналитическим подмногообразием коразмерности 1 в таком произведении (соотв. пересечением таких подмногообразий, находящихся в общем положении), л — ограничение канонической проекции кроме того, ф( есть вычет (соотв. кратный вычет) замкнутой дифференциальной формы, аналитически зависящей от 1. Подробности см. в [22] или [29], гл. VI. [c.133]

Пусть теперь случайная величина является трехмерным вектором, например, вектором-радиусом некоторой точки звена, совершающего пространственное движение, и пусть этот вектор Я отображается тремя проекциями Ч<2 и з на оси прямоугольной декартовой системы координат. Если плотность вероятности распределения величин проекций подчиняется закону Гаусса, то плотность распределения вероятностей в канонической форме [c.118]

Канонические формы для проекции векторов Q к К- Твердо ТЕЛО с закрепленной точкой или отнесенное к системе осей с началом в центре тяжести. Если за центр О приведения моментов (и начала подвижных осей) возьмем центр тяжести твердого тела, так что одновременно исчезнут х , Уд, то формулы (29 ) при-ведутся к каноническому виду [c.240]

Введем квазичастицы, являющиеся суперпозициями частицы, имеющей импульс к и проекцию спина n /2, и частицы, имеющей импульс —к и проекцию спина—Й /2. Проделаем с этой целью каноническое преобразование Боголюбова для ферми-операторов (ср. с (69.7) для бозе-операторов) [c.376]

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Определение. Краевой орт называется касательным , если он является особой точкой канонической проекции. Он называется асимптотическим , если соответствующая особенность проекции вырождена более, чем складка ( > 1). Для А = 2 он называется биасимпто-тическим, и т. д. (рис. 96). [c.199]

Смысл второй канонической проекции становится более ясным, если мы рассмотрим импульс р Как кокасательный вектор на коифигураци- [c.200]

Если граница препятствия в евклидовом пространстве квадратично строго выпукла (т. е. её вторая квадратичная форма невырождена), тогда обе канонические проекции имеют только особенность Лх (складку) на многообразии краевых ортов . Предположим, что пара гиперповерхностей в симплектическом пространстве порождает две особенности А канонических проекций. Отображение складки (локально) определяет инволюцию на отображаемом многообразии в окрестности её гиперповерхности критических точек, переставляющую местами прообразы точек образа зтого отображения складки. В нашем случае обе [c.201]

Если особенности одной из канонических проекций сложнее, чем складка, то не существует простых нормальных форм для пары гиперповерхностей (см. [163]). Однако, для следующих двух особенностей, Аг и Лз (например, для обычных лучей, асимптотически и биасимптотически касающихся поверхностей в евклидовом пространстве), можно привести к нормальной форме (по крайней мере на уровне формальных рядов) пару, образованную первой гиперповерхностью и её пересечением со второй. [c.203]

Теорема 9.5.2. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона. Тогда алгебраическая сумма площадей Si, ограниченных проекциями на координатные плоскости (Яi Pi) контура О одновременных еостояний [c.662]

Если в формулах (50) п. 26 гл. III представим себе, что вместо классических эллиптических элементов а, е, i. О, <и вместе с I введены другие пять элементов из таблицы (138), то будем иметь вполне каноническое преобразование между переменными х, у, z, X, у, Z (декартовы координаты и проекции скорости точки Р) и новыми эллиптическими элементами (138). Аналогично тому, что было сказано в п. 26 гл. III, это преобразование можно рассматривать независимо от предположения, что движение является кепле-ровым. В этом случае каждому состоянию движения х, у, г, х, [c.354]

Если молекулу газа допустимо рассматривать как квазинезависи-мую подсистему, то распределение для ее координат и проекций импульса можно получить прямым применением канонического распределения к одной частице. Возможность такого способа изучения газа уже была указана ранее в 7.2. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...