Малый параметр при старшей производной

Одна из трудностей решения уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса связана с сингулярностью — наличием малого параметра при старших производных. Созданная Прандтлем [1] теория пограничного слоя позволила в значительной мере преодолеть эту трудность. Разделение области решения на пограничный слой и подобласть регулярного решения вызвало к жизни специальную математическую теорию. [c.179]

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ (СТАРШИХ) ПРОИЗВОДНЫХ [c.213]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Методы численного интегрирования релаксационных уравнений с малым параметром при старшей производной описаны в 7.5, где обосновано применение неявных разностных схем. [c.120]

Кинетические или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. Такие уравнения называют жесткими . К релаксационным уравнениям относятся следующие уравнения сохранения массы химической компоненты, скоростей и температур частиц в двухфазных потоках и др. [c.204]

Поправка Рэлея повышает порядок уравнения до четвертого, линии t X уже не служат характеристиками уравнения (13.7.2), поэтому распространение сильных разрывов вдоль характеристик теперь оказывается невозможным. Очевидно, что перемещение и не может быть разрывным, сильным разрывом в нашем случае будет разрыв деформации е — ди/дх или скорости V = du/dt. Вследствие линейности (13.7.2) и постоянства коэффициентов как деформация, так и скорость удовлетворяют тому же самому уравнению, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать это уравнение, в котором и заменено через v. Если граничное условие на конце, например, полубесконечного стержня задано как ступенчато изменяющаяся функция от времени, в плоскости х, t мы уже не получим разрывного решения, разрыв будет размываться. Заметим, что в уравнении (13.7.2) имеется малый параметр при старшей производной. Если длина волны L значительно больше, чем г, то дифференцирование по х эквивалентно по порядку делению на L, и безразмерный малый параметр (f/L) появляется явным и очевидным образом. Для исследования размытия фронтов мы поступим иным образом. Перейдем от переменных ж и к характеристическим переменным обычной задачи о продольных волнах [c.451]

Результаты, полученные при решении модельной краевой задачи (7.4.1), (7.4.2), позволяют предполагать, что во всех случаях, когда в уравнении некоторой краевой задачи имеется малый параметр при старшей производной, решение этой краевой задачи быстро изменяется в тонком ю-граничном слое, толщина которого пропорциональна значению малого параметра. [c.372]

Поскольку уравнение (7.9.26) содержит малый параметр при старшей производной, будем искать решение кра( вой задачи (7.9.26) в виде [c.430]

Аносов Д. В.. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Мат. сб., 1960, 50-, вып. 3, 299—334 [c.210]

С другой стороны, в случае < 1 уравнение (5-5-28) имеет малый параметр при старшей производной. Поэтому при сколь угодно малых значениях 0 на концах капилляра, вообще говоря, существуют области (пограничные слои), где необходимо учитывать дифференциальный член в уравнении (5-5-28), т. е. при использовании метода малого параметра возмущенное решение не будет равномерно пригодно во всей области изменения х. Как известно [Л.5-27], неоднородность может проявиться только тогда, когда параметр возмущения представляет собой отношение двух длин. В данной задаче является отношением среднеквадратичного смещения частицы по поверхности Е к длине капилляра L. [c.340]

С физической точки зрения задача о разрывных (релаксационных) автоколебаниях тесно связана с проблемой влияния малых ( паразитных ) параметров, не учитываемых при построении приближенной модели процесса. С математической точки зрения эта задача связана с теорией дис еренциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной [6, 9, 10, 18, 19], [c.188]

V велика. Тогда, как показано в работах [4, 30], для построения асимптотического (по малому параметру е= 1/v) решения этнх уравнений на интервале времени [О, имеющем величину порядка = 1/v, можно применить теорию систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных [2]. [c.296]

Уравнение (П.2.7) содержит малый параметр при старших производных, и это позволяет для определения ф прибегнуть к тому или иному итерационному процессу. Однако мы условимся, что при построении интегралов с большой изменяемостью функция интенсивности ф всегда должна рассматриваться как простой интеграл уравнения (П.2.7). Это значит, что ее надо находить при помощи простого итерационного процесса, описанного в I. Он приводится к последовательному интегрированию уравнений вида (фз) =Выражая этот факт, будем в дальнейшем в подобных ситуациях говорить, что ф в первом приближении удовлетворяет уравнению [c.472]

С точки зрения асимптотического интегрирования задачи свободных колебаний и устойчивости оболочек имеют много общего, ибо в обоих случаях приходим к краевой задаче на собственные значения, содержащей малый параметр при старших производных. Основное различие заключается в том, что в задачах устойчивости интерес представляют лишь наименьшие (и, быть может, близкие к ним) собственные значения упомянутой краевой задачи. [c.14]

Отметим, что полученная конечно-разностная форма может быть применена для расчета произвольных течений (дозвуковых, одномерных, нестационарных и т. п.) с неравновесными процессами, а также для численного интегрирования уравнений с малыми параметрами при старших производных. В случае необходимости функции можно разложить в ряды не только по но и по остальным переменным. [c.122]

Уравнения с малым параметром при старшей производной называют сингулярно-возмущенными. Смысл этого термина становится понятным при анализе решения (30.19). [c.337]

Что касается другого предельного значения параметра , а именно 1, то в этом случае появляется в уравнении (3) малый параметр при старшей производной и решение можно искать методами теории пограничного слоя. [c.100]

Метод сращивания состоит из трех процедур построения внешнего разложения, построения внутренних разложений и сращивания внешнего разложения с внутренними. Метод предназначен для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. [c.130]

Уравнение с малым параметром при старшей производной. Рассмотрим движение грузика малой массы, подвешенного на пружине в вязкой среде [c.133]

Однако вывод уравнения (4.2) еще не означает полного превращения теории типа Тимошенко в классическую. В уравнениях (4.1) имеем малый параметр при старших производных — в таких случаях эффективен метод сращивания асимптотических разложений. Решения [c.205]

Отметим, что в ряде случаев уравнения кинетики, хотя и являются уравнениями с малым параметром при старшей производной, но не имеют стандартного вида (3.17). К такому числу принадлежит, например, уравнение (1.140), которое можно переписать в виде [c.108]

Для нахождения решения на интервале от So до Sk (где su — конечное сечение) необходимо численно решить задачу Коши для системы (3.24). .. (3.29). Число уравнений в этой системе может быть очень велико (в реальных ситуациях N= 0... 100) и, как отмечалось в 3.2, обычно уравнения (3.27) принадлежат к числу жестких уравнений с малым параметром при старшей производной, для численного решения которых применяются специальные методы. [c.111]

Построение класса решений волнового уравнения в приповерхностном слое в виде бесконечного ряда по обратным степеням частоты родственно построениям теории пограничного слоя (см. М. И. В и ш и к и Л. А. Л ю с т е р н и к [1]), однако другой знак малого параметра при старшей производной приводит к появлению функции Эйри и совершенно иным выкладкам. [c.441]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

В случае разрезов конечных размеров наиболее эффективным образом Является метод асимптотических разложений искомого решения уравнений (465) по малым и большим волновым числам. Разложение по малым параметрам k и приводит к цепочке стандартных граничных задач статической теории упругости с объемными силами, определяемыми предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины возникает пограничный слой, где требуется точный анализ задачи для полубеско-нечного разреза вне пограничного слоя решение по аналогии с геометрической оптикой строится элементарно. Склеивание асимптотических разложений при малых и больших частотах позволяет получить эффективное решение для всей области частот. [c.144]

Модельная задача. Как мы видели в предшествующ их параграфах настояп1 ей главы, уравнения моментной теории упругости дают пример эллиптических краевых задач с естественным малым параметром при старших производных. Для таких задач эффективным методом построения решений является метод Вишика--Люстерника [4], который сводится к согласованному построению основного итерационного процесса и решений типа погранслоя. Такой метод широко используется при решении задач об изгибе пластин. Однако одним из условий применимости метода Вишика — Люстерника является гладкость контура, что, естественно, исключается в задачах теории трещ ин. [c.130]

Как показано в 1, исследование спектра малых нормальных возмущений основного конвективного течения (1.13) и его линейной устойчивости сводится к решению спектральной амплитудной задачи (1.24) —(1.26). Задача на собственные значения для системы высокого порядка с переменными коэффивд1ентами и малыми параметрами при старших производных достаточно сложна, и возможности ее аналитического решения предельно ограничены. Достигнутые в последнее время успехи, как, впрочем, и в случае более простой задачи устойчивости изотермических течений, связаны с применением различных численных методов, реализуемых на ЭВМ, В этом параграфе кратко описываются три получивших наиболее широкое распространение численных метода. При этом мы ни в коей мере не претендуем на освещение вопросов математи юского обоснования методов и на изложение деталей соответствующих численных алгоритмов. [c.20]

Хотя парадоксы играют ключевую роль, по-видимому, в любой области знания, складывается впечатление, что в гидродинамике и конкретно в механике вязкой н идкости их число особенно велико. Причины тому — сильно нелииейпый характер уравнений п наличие малого параметра при старших производных. С этим связан, и можно сказать, самый главный иеразрешеппый парадокс вязкой гидродинамики — проблема турбулентности. Имея достаточно ночтенпый возраст и мощный глубоко разработанный аппарат, теоретическая гидромеханика нока адекватно описывает) весьма ограниченный как но числу, так и но значению круг течений жидкости. И в природе, и в технике преобладает турбулентное движение сплошной среды, а теория, опирающаяся на первые принципы , охватывает лишь часть ламинарных течений. [c.318]

Принципиальные трудности возникли при расчете течений с неравновесными физико-химическими процессами, идущими с большими скоростями. Вблизи термодинамического равновесия хотя бы по части таких процессов соответствующие уравнения кинетики имеют вид уравнений с малыми параметрами при старших производных. Интегрирование таких уравнений стандартными методами возможно при столь малых шагах разностной сетки, что оказывается нереальным даже на современных компьютерах. А.Н. Крайко и О. П. Кацкова (ВЦ АН СССР) первыми ([4,5] и Глава 7.1) предложили весь- [c.114]

Новые методы построения появились в аналитической теории дифференциальных уравнений, которые позволяют получить интересные результаты для разных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем касаться здесь этих и многих других работ. Если бы мы остановились на теории уравнений с запаздывающим аргументом (теорию которых начал разрабатывать впервые А. Д. Мышкис, а затем Н. Н. Красовский, С. Н. Шиманов, Л. Э. Эльсгольц и др.), уравнений с малым параметром при старшей производной (А. Н. Тихонов, [c.81]

Мы не касаемся здесь большого цикла работ, посвященных дифференциальиьсм уравнениям, содержащим малый параметр при старших производных. [c.158]

В предлагаемой работе подытоживаются исследования [40-42, 52, 53, 176, 177, 209, 213-216, 233-253] различных аспектов нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком в условиях до- и сверхзвукового обтекания, включая трансзвуковой диапазон скоростей. Применяемая нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Решение начальнокраевых задач, поставленных для уравнений Навье-Стокса, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса. Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах отрицательных степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данный подход существенно дополняет имеющиеся представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. [c.16]

Часть Ш книги посвящена сингулярным возмущениям краевых задач для уравнений с частными производными. Здесь рассмотрены уравнения с малым параметром при старших производных, сингулярные возмущения области и краевых условий, вопросы поведения спектра таких задач. Для изучения нестационарных задач в книге систематически используется теорема Троттера - Като, сводящая нестацио-нЕфную задачу к исследованию стационарных задач. Рассматриваются также задачи, в которых коэффициенты уравнения сильно меняются в какой-либо узкой области, проводится исследование конкретных физических задач такого рода. [c.8]

В случае бесконечной области неравномерность заявляет о себе наличием так называемых вековых членов вида х"созх и из-за которых отношение /т(->с)// 1 (х) не ограничено, когда X стремится к бесконечности. В случае малого параметра при старшей производной разложение возмущения не может удовлетворить всем граничным и начальным условиям и, таким образом, является непригодным в пограничных и начальных слоях. Поскольку граничные и начальные условия, необходимые для корректной постановки задачи, зависят от типа рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных, то неравномерности могут юзникнуть и в том случае, когда тип возмущенных уравнений отличается от типа исходного уравнения. В четвертом случае в разложении в некоторой точке могут появиться особенности, которые не имеют места в точном решении и становятся более выраженными в последующих членах. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...