Безразмерные переменные и критерии подобия

Таким образом, решение задачи должно быть представлено в форме безразмерных величин, которыми искомые относительные переменные определяются как функции независимых относительных переменных и критериев подобия, играющих роль постоянных параметров [c.40]

При рассмотрении движения небольшого одиночного пузыря (капли) или потоков с непрерывной фиксированной границей раздела (тонкие пленки, русловые течения) формулировка основной системы уравнений процесса может быть произведена со всей необходимой строгостью. В случае же сложных течений, когда компоненты потока расчленены на отдельные элементы, имеется ряд областей, замкнутых границами раздела, где возникают трудности, связанные с необходимостью рассматривать вероятностные ситуации с элементами, переменными в пространстве и во времени. Последовательные аналитические методы для таких систем в настоящее время отсутствуют. Решающее значение тут имеют эксперимент и метод подобия. Однако и в этом случае необходимо иметь общий метод вывода и анализа безразмерных параметров процесса (критериев подобия). Такой общий метод, приведенный в этой книге, основан на допущении, что в целом все взаимодействия, имеющие место в двухфазном потоке любой сложности, для каждой его отдельной области описываются теми уравнениями, что и для систем с одной поверхностью раздела. Вследствие этого критерии подобия могут выводиться из этих уравнений для всей системы в целом с учетом уравнений и параметров, определяющих размеры возникающих дискретных элементов и вероятность их распределения. [c.10]

Смысл получения критериальных уравнений, связывающих определяемые критерии с определяющими, состоит в том, что число новых безразмерных переменных и постоянных величин, входящих в основные уравнения, а также в начальные и граничные условия, оказывается меньше числа размерных величин, существенных для исследуемого процесса. А. А. Гухман подчеркивает, что для процесса важно не влияние отдельных факторов, а взаимодействие между ними, их относительное влияние. Теория подобия позволяет рассматривать сразу совокупное в целом влияние факторов на процесс. Интенсивность эффектов определяют соотношения операторов, входящих в дифференциальные уравнения. Например, р(Оц/Ут) отражает инерционную силу, а оператор — силу [c.233]

Безразмерные зависимости и независимые переменные процесса (критерии подобия) [c.25]

Основной смысл нормализации заключается в приведении физических уравнений к такой форме, в которой все безразмерные переменные и постоянные величины имеют вполне определенную контролируемую величину и допускают их приближенную оценку. Такой подход позволяет сравнивать отдельные члены нормализованных уравнений, отбрасывать второстепенные слагаемые и на этой основе упрощать постановку задач моделирования путем сокращения общего числа критериев подобия. Анализ возможных упрощений нормализованных уравнений и условия, при которых эти упрощения оказываются допустимыми, составляет предмет теории приближений [38]. [c.77]

Из теории подобия следует, что если есть уравнения, описывающие физический процесс или явление, то решение задачи можно получить в форме безразмерных величин. Неизвестные относительные переменные определяются здесь как функции независимых переменных и критериев теплового подобия, играющих роль постоянных параметров. Эти критерии получают из интегральных, дифференциальных или конечных уравнений путем перехода к алгебраическим соотношениям с помощью математического аппарата теории подобия [41, 81]. [c.18]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин — чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить, будет ли ъ р чи автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет выражаться. [c.375]

Важным для установления критериев подобия является выделение определяющих параметров, которыми (называют совокупность размерных и безразмерных переменных и постоянных величин, полностью описывающих данный процесс или явление. Число определяющих параметров должно быть минимальным, а главное, они должны отражать основные факторы процесса [29]. Вот почему без знания сущности моделируемого процесса и его физических закономерностей трудно плодотворно применять теорию подобия и проводить анализ закономерностей. Число критериев подобия определяют на основе я-теоремы следующим образом [c.42]

Уравнения процесса и краевые условия, будучи приведены к безразмерному виду, содержат безразмерные величины, называемые критериями подобия. Критерии подобия могут быть комплексами, т. е. произведениями размерных величин в некоторых степенях (положительных или отрицательных), или симплексами, т. е, отношениями двух однородных величин. Однородными называются такие величины, которые имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл. Критерии могут рассматриваться как новые безразмерные переменные и новые безразмерные постоянные. Критерии, составленные из независимых переменных и постоянных величин или только из постоянных величин, называются определяющими. Критерии, содержащие хотя бы одну зависимую переменную, называются определяемыми. [c.262]

При приведении уравнения к безразмерному виду искомую переменную не всегда удается представить в виде соотношения одноименных величин, так как иногда в краевых условиях не содержится масштаба ее величины. Например, при исследовании теплоотдачи коэффициент теплоотдачи не входит в краевые условия и неизвестен ни в одной точке системы. В этом случае зависимая переменная вместе с масштабами других величин образует безразмерный комплекс, который представляет собой число подобия, но не является критерием подобия, так как содержит величину, не входящую в краевые условия. В этом случае решение [c.12]

Заметим, что при приведении дифференциальных уравнений к безразмерному виду для условий существенной неизотермичности в них появляются безразмерные комплексы типа п/по, где п — физический параметр в произвольной точке изучаемого пространства, а По—его масштабное значение. Эти комплексы определяются температурным полем и представляют собой зависимые переменные. Следовательно, они не относятся к категории критериев подобия и в уравнение подобия не войдут. [c.17]

При использовании численного метода решения уравнений, входящих в математическую формулировку задачи, а также при использовании метода аналогий уравнения предварительно приводят к безразмерному виду. При этом не только уменьшается число переменных задачи, которыми необходимо варьировать в процессе ее решения, но и облегчается выбор режимов, которые необходимо подвергнуть исследованию, так как виды этих режимов определяются диапазоном изменения критериев подобия в машинах и аппаратах, для расчета которых выполняется исследование. [c.21]

Критерии подобия процессов теплоотдачи были выведены в предположении, что физические свойства среды постоянны. В действительности величины X, ц, сир зависят от температуры и давления, и их изменение влияет на интенсивность теплоотдачи. При переменных свойствах жидкости система уравнений, описывающих процессы теплоотдачи, (2.52) —(2.56) становится более сложной. Влияние на процесс теплоотдачи изменения физических свойств жидкости при изменении ее температуры может быть учтено введением в критериальное уравнение безразмерных отношений [c.101]

В главе II говорилось о том, что можно, не решая уравнений, объединить физические величины в-безразмерные комплексы и получить вид безразмерных (критериальных) уравнений с меньшим числом переменных. Решение этих уравнений позволяет находить искомые величины. Точные критериальные уравнения отыскиваются путем проведения соответствующих экспериментов. Примером безразмерного критерия подобия является критерий (число) Рейнольдса, хорошо известный из гидродинамики [c.157]

Одноименные безразмерные определяющие критерии подобия должны быть соответственно равны. Просто моделировать процессы, в которых физические характеристики сред постоянны. Если же переменность этих характеристик существенно проявляется в процессе, то точное моделирование, например конвективного теплообмена, в широком интервале рода жидкости и температурных параметров крайне затруднительно и тогда применяют приближенное моделирование. В частности, пользуются локальным тепловым моделированием, осуществляя подобие не во всем устройстве, а только в том месте, где изучается теплоотдача. [c.162]

Внутри группы подобных явлений критерии подобия играют роль безразмерных параметров, в своей совокупности однозначно определяющих зависимую переменную в функции от координат и времени. То обстоятельство, что эти параметры должны быть установлены одинаковыми для всех членов группы, накладывает опре- [c.72]

Придавая критериям подобия скользящие значения, можно каждый раз однозначно характеризовать новые и новые группы подобных явлений. Таким образом, в пределах данного рода явлений критерии подобия получают смысл специфических независимых переменных, последовательно обобщающих количественные признаки одной группы подобных явлений за другой. Безразмерные формулы, выражающие зависимую переменную в функции координат, времени и соответствующих критериев подобия, называются критериальными. Примером критериальных формул служат выражения (3-10) и многие другие, о которых речь шла выще. [c.73]

Критерии подобия, входящие аналогичным образом в безразмерные уравнения и аналогично построенные из размерных параметров, выражаются одинаковыми числами. В результате аналогичные безразмерные поля зависимых переменных представляют собой тождественные распределения чисел в тождественных пространственно-временных границах. [c.73]

Помимо критериев подобия, играющих роль параметров, в критериальные формулы, относящиеся к краевым задачам, входят переменные независимые (координаты и время) и переменные зависимые. Образуемые последними поля и являются предметом исследования. Для приведения переменного к безразмерному виду нужно располагать подходящими масштабами измерения, которые [c.97]

Таким образом, уравнения (6.21) представляют собой связь между критериями подобия, выступающими в них в качестве не только безразмерных параметров при дифференциальных операторах, как то имеет место в уравнениях типа (6.4), но и в качестве обобщенных переменных. Это обстоятельство позволяет строить безразмерные поля точечных значений соответствующих критериев рассматриваемого процесса. [c.56]

Критерии подобия представляют собой безразмерные комплексы, состоящие из нескольких физических величин, и выступают в качестве новых переменных вместо прежних размерных величин. Установление вида критериев и общей зависимости между ними производится отдельно для той или иной физической задачи. Применительно к процессам конвективной теплоотдачи эти зависимости часто носят качественный характер. [c.139]

Критерии подобия процессов в натуре и в модели были определены из анализа размерностей приведенных выше параметров с использованием П-теоремы [33]. Эта теорема позволяет сократить число переменных с семи именованных величин (п—7) до п—k безразмерных величин, представляющих собой критерии подобия для рассматриваемого процесса, где —число независимых между собой параметров. [c.106]

Безразмерные переменные X и Т устанавливают подобие протекания процесса осветления при разных условиях и являются критериями подобия. Изменение концентрации взвеси в воде при ее движении через зернистый слой определяется только значением этих критериев, т. е. [c.239]

В теории физического подобия рассматриваются условия подобия физических явлений. Для установления подобия и моделирования таких явлений отдельные физические размерные величины объединяют в безразмерные комплексы, так называемые критерии подобия, рассматривая которые как новые переменные, можно получить опытные зависимости, оказывающиеся действительными и за пределами проведенного эксперимента. [c.68]

Исходные уравнения и их рещение, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена возможно и целесообразно представлять в виде зависимостей между безразмерными комплексами — числами подобия. Приведение математического описания процесса и расчетных соотношений к безразмерному виду позволяет выявить условия подобия и сопоставимости процессов, сокращает число переменных и постоянных величин, определяющих процесс при экспериментальном исследовании позволяет свести к минимуму число величин, которые необходимо варьировать в опытах указывает компактный и рациональный способ обобщения экспериментальных данных дает возможность, не рещая исходную систему дифференциальных уравнений, анализировать предельные случаи и устанавливать критерии подобия, которые характеризуют наиболее существенные особенности процессов в данных конкретных условиях. [c.204]

В уравнениях (4.31) параметр lij = гс1 а>1 ) и безразмерные переменные Пг = = л //, Пз = t = Ы представляют собой определяющие критерии подобия отношение П4 = й = оу/б — определяемый критерий подобия. При установлении соответствия между моделью и натурой в этом примере необходимо использовать три определяющих критерия подобия. [c.81]

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы . В рассматриваемом случае ими оказались критерии подобия Фурье и Био, найденные ранее [уравнения (П1-9) и (П1-11)] другим методом. Введем безразмерные — искомую переменную / 0 о и независимую переменную хИ (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме [c.52]

Метод подобия применим тогда, когда известно математическое описание процесса, т. е. дифференциальные уравнения процесса и их граничные условия. Путем деления всех независимых и зависимых переменных на некоторые их характерные значения (масштабы) осуществляется переход к безразмерным величинам. В результате математическое описание процесса приводится к безразмерному виду. При этом масштабы, а также физические константы, входящие в задачу, объединяются в безразмерные комплексы, называемые числами или критериями подобия. Ниже приведены наиболее употребительные числа подобия. [c.153]

Задача состоит в том, чтобы привести систему определяю-Ш.ИХ уравнений, граничных и начальных условий к безразмерному виду и выявить те безразмерные параметры или функции, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и зависимости безразмерных функций (4.2.2) от безразмерных переменных (4.2.3). Такие течения называются подобными. В новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии не изменяют вида (производные в операторах градиента и дивергенции взяты по безразмерным переменным) [c.113]

Безразмерные переменные и критерии подобия. Решение Г, о> и г зависит от набора физических констант— входных данных задачи. Кроме коэффициентов а, V, Ря, ВХ0ДЯШ.ИХ в уравнения переноса тепла и завихренности, имеется ряд параметров, описываюш,их геометрию расчетной области, а также тепловой и гидродинамический режимы на границах и в начальный момент времени. Чтобы обобщить решение задачи и уменьшить число параметров, вводят безразмерные переменные. [c.13]

Для сложных процессов, характеризующихся многими физическими величинами, каждая переменная величина имеет свою константу подобия С. Если явления подобны, то константы подобия находятся между собой в определенных соотношениях и для данного процесса (системы) их выбор обусловлен условием подсб я физических явлений. Эти безразмерные соотношения представляют собой комплексы, составленные из физических величин, характеризующих это явление (процесс). Называются они критериями (числами) подобия. Для всех подобных явлений критерии подобия имеют одинаковое числовое значение. [c.80]

Иногда при исследовании явления на модели используется физическая аналогия явлений. О физической аналогии явлений говорят тогда, когда сравниваемые явления имеют разную физическую природу (теплопроводность, электропроводность), но математически описываются однотипными дифференциальными уравнениями. Условия однозначности для аналогичных явлений должны формулироваться тождественно, а соответствующие критерии подобия, входящие в тождественные безразмерные уравнения, должны быть численно равны. В результате безразмерные поля переменных в аналогичных физических явлениях представляют собой тождественное распределение чисел. Характерным примером аналогии является так называемая элект-ротепловая аналогия, основанная на однотипности дифференциальных уравнений поля температуры и электрического потенциала в теле. Так для одномерных полей уравнения имеют вид [c.138]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Как было отмечено в 3-2, число взаимно непреобразуемых безразмерных комплексов получается на единицу меньшим числа физически разнородных членов используемого уравнения. Разумеется, не все эти комплексы обязательно являются критериями подобия. Если в состав комплекса входит хотя бы одна из размерных переменных, будь то независимая (координата, время) или зависимая переменная, то комплекс не получает роли критерия подобия, а образует попросту обобщенную переменную. В зависимости от постановки конкретной задачи каждый данный комплекс может оказаться критерием подобия, но может им и не быть. [c.71]

Эта формула дает искомую связь между толщиной затвердевшей корки и временем. Число переменных в этой фор5 1уле снижено до минимума путем введения их в состав Известных критериев подобия. Критерий N является специфическим для процеосов, сопровождающихся фазовыми превращениями. Он численно равен отношению -количества теплоты, необходимой для нагрева тела от температуры окружающей среды до температуры фазового превращения, к теплоте этого превращения. Его можно назвать относительной или безразмерной теплотой кристаллизации. [c.141]

Размерностей анализ. Состояние системы характеризуется набором размерных пара.метров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z та. времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид m=X,JbTa, где Ъ — параметр, имеющий размерность Ь = LT- , Хо, Го — характерные длина и промежуток времени, L, Т — единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации [c.19]

Для получения решения нелинейных задач с переменными тепло-физическими коэффициентами широко используются счетно-решающие устройства. Для того чтобы полученные цифровые данные носили более общий характер, дифференциальные уравнения и граничные условия записываются в безразмерной форме на основе общей теории подобия, т. е. цифровые данные характеризуют зависимость между критериями лодобия. Таким образом, в теории теплопроводности широко используются критерии подобия, которые являются обо1бщенными переменными. [c.10]

Большое внимание уделяется вопросу о методах формирования относительных переменных. Обосновывается представление об эквивалентных группах величин, и на этой основе вводится понятие о характеристическом значении, которое применяется в качестве масштаба отнесения при отсутствии параметрического значения, заданного по условию. Отчетливо противопоставляются комплексы — аргументы и безразмерные переменные камплеконого типа. Тщательно обосновывается понятие критер ия подобия, и строго определяются границы его применимости. Исследуется вопрос о происхождении критериев параметрического типа. Показывается зависимость структуры обобщенных переменных от постановки задачи. Особое место отводится проблеме вырождения критериев и связи ее с выпадением и слиянием аргументов обобщенных уравнений. В этой связи рассматриваются условия возникновения ситуации, хорошо известной под названием автомодельности. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...