Дискриминант особенности

Топология дополнений к дискриминантам особенностей [c.145]

Определение. Большое стабильное кольцо 3 когомологий дополнений к дискриминантам особенностей —это Ит 3 [c.153]

Особенно удобно пользоваться инженерным дискриминантом при построении плавных переходов с одной коники на другую (удобство выбора переходной кривой — эллипса, гиперболы или параболы), рис. 3.65, а. [c.74]

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Дополнения к дискриминантам и группы кос. Пусть f = = х — стандартная особенность типа Ат-и Р(-. Я.)—ее версальная деформация [c.145]

Далее, каждой особенности / от л переменных х , нее деформации Р х ,. .х , к) можно сопоставить функцию и ее деформацию (л ,,. .лг , Я.) +при этом дискриминанты обеих деформаций соответствуют одним и тем же значениям параметра Я.. Эти сопоставления задают гомоморфизмы [c.153]

Дискриминанты f я f диффеоморфны, но составляющие их компоненты Si и So переставлены (как у особенностей я С ). [c.20]

Множество нерегулярных орбит группы hip) —острие степени pf2 в пространстве всех орбит. Многообразие нерегулярных орбит группы Яз изображено на рис. 5. Дискриминант Яз имеет два ребра возврата. Одно, степени 3/2, отвечает краевой особенности А2 в регулярной точке края. Другое, степени 5/2,—особенности /г(5) в начале координат. [c.23]

Пример. Пусть Р(х. Я) — контактно-версальная деформация ростка fo(x), задающего полное пересечение с изолированной особенностью. Тогда отображение проектирования ][х, X) >- X, суженное на многообразие Р=0, обладает свойствами отображения f из условия теоремы, а дискриминант А совпадает с бифуркационной диаграммой нулей (дискриминантом) 2 ростка 0, т. е. с множеством тех X, для которых многообразие Р -, Я,) =0 особо. [c.29]

Теорема ([47]). Поля Фгв,..., ф е — свободные образую- щие <7х-модуля векторных полей, касающихся дискриминанта изолированной особенности квазиоднородного полного пересе- чения fo=0 положительной размерности. 1 [c.92]

Теорема. Типичные эквидистанты типичных гиперповерхностей в пространстве п б измерений локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности эквидистант устойчивы близкие эквидистанты близких поверхностей имеют такие же особенности. [c.97]

Теорема. Гиперповерхности, проективно двойственные типичным гладким гиперповерхностям в пространстве измерений, локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности устойчивы. - "Пример. Особенности кривы х и поверхностей -двойственных типичным гладким, устойчивы и те же, что и для эквидистант кривых на плоскости и поверхностей в пространстве (рис. 44 и 45). [c.98]

Теорема. График преобразования Лежандра типичной гладкой функции п 5 переменных локально диффеоморфен дискриминанту евклидовой группы отражений О или Е Ц/ п+1. Эти особенности устойчивы. [c.98]

Теорема. Первообразная типичной гладкой гиперповерхности в пространстве п б измерений локально диффеоморфна дискриминанту евклидовой группы отражений А , Dn или Еп, ее особенности устойчивы. [c.100]

Проекция ребра возврата дискриминанта группы отражений является гиперповерхностью в С . Мы будем называть эту гиперповерхность каустикой группы отражений. Каустики групп отражений встречаются в качестве ответов во многих задачах геометрии особенностей. [c.101]

Эта лакуна — новая (то есть компонента дополнения к дискриминанту, заданная рисунком 131, не содержит функцию /+е). Это следует из взаимно однозначного соответствия между компонентами дополнения к дискриминанту для стабильно эквивалентных особенностей (см. п. 1.5) и из того, что в случае четного п и четного /+ шевеление /+е лежит в лакуне, а шевеление, заданное рисунком 131, не лежит. [c.232]

Дополнения к дискриминантам вещественных особенностей [c.234]

Время t, рассматриваемое как функция на пространстве-времени, не имеет критических точек. Следовательно, изучение перестроек типичных движущихся волновых фронтов ведёт к изучению функций, не имеющих критических точек, на пространстве, содержащем большой фронт (особенности которого известны). А именно, мы приведём функцию времени к нормальной форме диффеоморфизмами, сохраняющими большой фронт. Это достаточно просто в случае, когда большой фронт диффеоморфен дискриминанту группы отражений [c.76]

В главе 2 рассмотрены топологические и алгебро-геометри-ческие аспекты теории критических точек функций. Здесь изложены основные понятия локальной теории Пикара—Лефшеца, то есть учения о ветвлении циклов и интегралов, зависящих от параметров. Подробно исследован основной объект этой теории — расслоение исчезающих когомологий (то есть ветвящихся контуров интегрирования), связанное с критической точкой, и, в частности, множество определения этого расслоения — дополнение к дискриминанту особенности. Мы также рассматриваем связь простых особенностей функций с классификацией [c.9]

Определение. Бифуркационной диаграммой нулей (дискриминантом) особенности f называется росток гиперповерхности S в базе миниверсальной деформации, образованный множеством всех особых значений параметра X. [c.20]

Когомологии групп кос Брискорна и дополнения к дискриминантам особенностей серий С, В. Определение групп кос Брискорна Вт. Отсюда и из теоремы В получаем когомологии ЭТ1ИХ групп для серий С, В. [c.151]

Согласно [158], [191], дополнение ж дискриминанту особенности Dm есть простраисттво тила К (л,1), итде л—rj na кос Брискорна Dm- Отсюда и из теоремы D получаем когомологии такого дополнения. Аналогично, теорема С, дает когомологии дополнения к дискриминанту краевой особенности (см. [c.151]

Определение. Стабильным классом когомологий дополнений к дискриминантам особенностей функций от п переменных называется правило, которое любой деформации Р любой конс чнократной особенности ставит в соответствие элемент кольца 1 (Р), причем для любой пары примыкающих особенностей f, g любой гомоморфизм I (Р), построенный по предыдущей схеме, переводит класс, соответствующий дефор-ма1щи О, в класс, соответствующий Р. [c.153]

Росток в нуле гиперповерхности 2с С тех значений X, для которых множество Ух особо, называется бифуркационной диаграммой нулей (дискриминантом) функции f. Дискрими-иант имеет две компоненты 21 и 2о, отвечающие многообразиям уровня, негладким и нетрансверсальным краю. Конечно, для функции, не критичной на объемлющем пространстве, первая компонента пуста и дискриминант совпадает с обычным дискриминантом ее ограничения на край (см. [22, п. 1.1.10]). На рис. 3 изображен дискриминант особенности Сз. Дискриминант Вз выглядит так же, лишь компоненты 21 и 2о меняются местами. [c.15]

Пример 1. Дополнение к дискриминанту особенности типа Ак в комплексном пространстве С является пространством Эйленберга-Мак-лейна К (тг, 1) группы Вг(А -Ь 1) кос из А 1 нитей. [c.133]

Пусть X обозначает тип особенности, и пусть V (—> X) будет примыкающий (более сложный) тип особенности. Дискриминант (волновой фронт), соответствующий V, содержит страт, соответствующий X. Гиперплоскость, трансверсальная этому страту, пересекает дискриминант особенности У вдоль гиперповерхности, локально диффеоморф-ной дискриминанту особенности X- Таким образом, существует вложение Ох Оу (локальных) дополнений бифуркационных диаграмм, а следовательно и отображение Н Оу) Н Ох) колец когомологий. Трудности этого стабилизационного проекта таковы [c.138]

Двойственные гиперповерхности 66 Двойственные проективные кривые 230 Дефект корневого дерева 149 Дефект футощи 148 Деформации скорости 178 Деформация 178 Джусти список кривых 170 Дискриминант особенности 97 Дискриминантная гиперповерхность 72 Дискриминантное многообразие 72, 82 Дисперсионное соотношение 276 Дифференцирование коммутативной алгебры 91 Длинный корень 177 Длинный элемент 177 Допустимое отображение 101 Допустимые отождествления 89, 91 Дынкина диаграмма 72 [c.331]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

В числе оригинальных результатов этой главы отметим вы- числение нетривиальных когомологий дополнений к дискриминантам одномерных особенностей и применение их к теории алгоритмов, описание стабильных когомологий дополнений к дискриминантам всех особенностей, теоремы стабильной неприводимости стратов дискриминанта, несовпадение размерностей комплексных и вещественных стратов onst вещественных особенностей. [c.10]

Стабильные когомологии дополнений к бифуркационным диаграммам нулей. Кольцо когомологий дополнения к дискриминантному многообразию S в пространстве версальной деформации определено для любой конечнократной особенности функций это кольцо не зависит от выбора версальной деформации. Примыкание особенностей определяет гомоморфизм колец дополнение к дискриминанту более простой особенности вкладывается в дополнение к дискриминанту более сложной. (Например, на рис. 39 изображено вложение дополнения к дискриминанту вещественной особенности Лг в аналогичное пространство для Лз.) Иерархия особенностей позволяет перейти к [c.151]

Пусть / (С", 0)->-(С, 0)—росток гладкой функции с особенностью в О, Р X - — его версальная деформадия, в частности, / ( ,0)=/ Е — ее дискриминант. [c.152]

Таким образом, дополнение к дискриминанту простой особенности является пространством (я, 1), где я — группа кос Брискорна [113], построенная по соответствующей группе Вейля. [c.16]

Распадения простых краевых особенностей, то есть стратификации дискриминантов и бифуркационных диаграмм функций, полностью описываются теоремами п. 2.5.9 [22], сформулированными там лишь для критических точек на многообрази без края [71]. [c.19]

Замечание. Рассмотрим на многообразии с краем типа Лг версальную деформацию особенности, которая в нашей классификации обозначена Ль Кроме дискриминантных значений параметра, выделенных ранее, будем считать дискриминантной еще и плоскость Хб=0, отвечающую многообразиям нулей, проходящим через особую точку края. Получающийся в расширенный дискриминант биголоморфно эквивалентен множеству нерегулярных орбит группы Gz. [c.23]

Бифуркациоииая диаграмма 2 отображения прямой в пло( кость — множество тех значений параметров /-версальной д формации, при которых соответствующее отображение име неустойчивые (мульти) особенности. В общем случае диаграл ма имеет три компоненты Лг, 2 — самокасание> образа 2"—тройная точка у образа. Например, 2 (Л ) диффеоморс] яа дискриминанту краевой функции Вн, 2"(Л2л)=0. [c.64]

Действительно, для особенностей Ак-т-Р бифуркационна. диаграмма — это дискриминант соответствующей краевой функ ции, а 2(//й) описывается как пространство многочлено) (9 +ау) Зу +а.) без кратных корней, где д(г)—произволь ный многочлен степени к—1 со старшим коэффициентом 1. Н рис. 31 изображена поверхность Е(Яз). Здесь 2 отвечает слия нию зонтика и точки тройного пересечения (посторонний лис проходит через зонтик), а 2" — слиянию двух тройных точек 2 и 2" имеют простое касание по полу1 бической параболе [c.68]

Изолированные особенности полных пересечений. Модуль вх голоморфных векторных полей, сохраняющих дискриминант полного пересечения, является свободным модулем над кольцом функций на объемлющем пространстве (Лойенга,, [183]). В [50] этот результат был передоказан иным методом, использующим свойства проектирований на прямую. Там же был указан алгоритм построения образующих. Сформулируем соответствующее утверждение. [c.90]

Скрзгченная теория Пикара—Лефшеца изолированных особенностей гладких функций и представления алгебр Гекке. Пусть / (С", 0)->(С, 0) — изолированная особенность кратности (1, / (С"ХС, 0)->-(С, 0) — ее деформация, 2—дискриминант этой деформации. Пусть еще х + ) = / х , л )- [c.217]

Пусть / (R", 0)- -(Е, 0)—вещественная особенность, ft — ее неособая морсификация (то есть О — некритическое значение ft). Тогда в когомологиях соответствующего многообразия уровня определен важный элемент — локальный коцикл Петровского. Компонента дополнения к дискриминанту f, содержащая точку является локальной лакуной тогда и только тогда, когда этот коцикл гомологичен нулю, и нам остается перечислить такие компоненты. В 1 мы опишем основные свойства коцикла Петровского его выражение в терминах исчезающих циклов морсификаций, поведение при стабилизации особенностей, достаточные условия его нетривиальности для всех морсификаций данной особенности и т. д. [c.219]

Для всех особенностей коранга. 2, упоминаемых в таблиг цах п. 2.2, локальные лакуны либо описаны в п. 2.1, либо конструируются следующим образом. Вначале строится подходящее шевеление ф( функции q>(Xl,X2), которое имеет ровно х(/) вещественных морсовских критических точек (где (X (/) = (X (ф) — число Милнора функций ф), причем все седла имеют критическое значение О (то есть соответствуют трансверсальным самопересечениям кривой Ф=0), минимумы имеют отрицательные критические значения, максимумы — положительные. (Такие шевеления играют ключевую роль в вычислении диаграммы Дынкина особенностей коранга 2, см. 56], [103].) Эти шевеления изображены на рисунках 126—134, при этом отмечены знаки функции ф в различных компонентах дополнения к множеству нулёвого уровня. Конечно, такое шевеление лежит на дискриминанте, однако его можно дополнительно сколь угодно мало пошевелить так, чтобы критические значения в минимумах и максимумах сохранили свой знак, а значения в седлах сдвинулись с нуля в сторону, предписанную заранее для каждого седла. На рисунках 12 —134 те седла, критические значения в которых надо сдвинуть вверх (вниз), изображены белым (соответственно, черным) кружком. [c.229]

Компоненты дополнения к дискриминантам простых особенностей. Лойенга [185] дал описание этих компонент в терминах действия комплексного сопряжения на группе исчезающих гомологий соответствующих многообразий Vt. Перечислим его результаты. [c.234]

Е. В заключение отметим, что описанный алгоритм (или его несложные модификации) может решать многочисленные задачи, не связанные с лакунами, например, — имеет ли данная особенность морсификацин того или иного топологического тиДа, могут ли некоторые две морсификацин лежать в одной компоненте дополнения к дискриминанту (для этого из-алгоритма нужно исключить операции П1, П2) и т. п. [c.239]

Пример. Если исходное пространство трёхмерно, то особенности типичных больших фронтов диффеоморфны либо дискриминантному многообразию (дискриминанту) группы или D4, либо произведению прямой на дискриминант группы A3 (ласточкин хвост), либо произведению плоскости на дискриминант группы А . (полукубическую параболу). Возможны также трансверсальные самопересечения. [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...