Об аппроксимациях ядра интегрального уравнения (7.) гл

В данном параграфе с помощью аппроксимации ядра интегрального уравнения получено замкнутое приближенное решение плоской задачи теории упругости для полуплоскости с внутренним разрезом, перпендикулярным к краю области. Предельным переходом найдены решения задач для краевого и полубесконечного разрезов. Сравнение с известными точными решениями для некоторых нагрузок показывает высокую точность полученных результатов. [c.116]

В этом параграфе на основе аппроксимации ядра интегрального уравнения (7.1) гл. 1 k[t) вида (3.20) построим приближенное решение, эффективное при малых значениях параметра % [10]. [c.139]

Потребность изучения смешанных задач для областей типа неоднородного полупространства или слоя с переменными свойствами обусловила необходимость обобщения метода фиктивного поглощения на эти классы задач. Обобщение метода основано на применении в его рамках численных процедур, что позволило существенно повысить эффективность самого метода и расширить класс исследуемых смешанных задач [21,65]. Одно из достоинств такого подхода состоит в том, что применение численных методов позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального уравнения, опустив традиционный для метода фиктивного поглощения этап аппроксимации с применением громоздких по структуре и допускающих факторизацию функций. Тем самым реализована возможность строить более точные решения, улавливающие любые незначительные изменения свойств среды, вызванные как возникновением дефектов в ее структуре, так и изменением ее напряженного состояния под воздействием силовых факторов различной природы. [c.4]

В настоящем разделе предложенная выше модификация метода факторизации обобщается на интегральные уравнения, символы ядер которых имеют две точки ветвления, что характерно для контактных задач о вертикальных колебаниях штампа на поверхности полупространства. Существенным моментом является использование предложенной в работе [27] аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, которая сохраняет все существенные свойства исходной функции. [c.111]

Аппроксимация символа ядра. Будем полагать, что функция К (а) = К (а, XI, Х2), участвующая в представлении (6.1.2) ядра интегрального уравнения (6.1.1), в дополнение к свойствам, указанным в п.6.1.1, имеет на вещественной оси две точки ветвления, связанных с безразмерными частотами и Х2. [c.111]

Для определенного круга задач (слоисто-неоднородное полупространство) этот подход неприменим в силу невозможности построения равномерных аппроксимаций символа ядра интегрального уравнения, которые учитывали бы наличие точек ветвления на вещественной оси и допускали бы точную факторизацию. [c.116]

Матрицу-функцию S(o ,/5) можно построить, приняв во внимание асимптотическую аппроксимацию К а,Р) [1]. Кроме того, в качестве S(u , /3) может быть выбрана соответствующая матрица-функция ядра интегрального уравнения статической задачи. [c.90]

Решение интегрального уравнения (5.16) может быть найдено методом Винера — Хопфа [184]. Для возможности доведения задачи до числа целесообразно, как впервые показал Койтер [328], прибегнуть к приближенной факторизации. Для этого им было предложено аппроксимировать трансформанту Фурье ядра интегрального уравнения некоторым выражением, правильно описывающим поведение трансформанты при ы->оо и м->0. Однако аппроксимация, предложенная Койтером, и позднее более общая аппроксимация, предложенная в работе В. М. Александрова и В. А. Бабешко [24], не полно отражают поведение трансформанты, встречающейся при изучении контактных задач для цилиндрических тел [27]. Поэтому в работе В. М. Александрова и А. В. Белоконя [28] была предложена более сложная аппроксимация, полнее отражающая свойства трансформанты. Именно, учитывая, что трансформанта ЬГп (и)В и) может быть представлена в виде суммы двух функций [c.228]

Для построения численного алгоритма решения уравнения (5.1.14), обладающего достаточной точностью при различном выборе контура С, важно так аппроксимировать интегральный оператор, чтобы изменение контура не влияло на точность аппроксимации. Трудность естественного интегрирования по контуру С заключается в том, что для произвольного контура координаты точек Р и Р, от которых зависит ядро интегрального уравнения, практически невозможно выразить через длину дуги, поэтому введем вспомогательный контур С1 (рис. 5.1, б), составленный из отрезков прямых линий и дуг окружностей [3]. Пусть г=Го(ф) — уравнение контура С в полярной системе координат г, <р с центром в точке О, лежащей внутри контура. Свяжем с контуром Сх систему координат 0 т), такую, что ось 0 образует угол р с осью Ох исходной декартовой системы координат. Будем для простоты считать, что начала координат систем Оху и совпадают. Учитывая харак [c.198]

В связи с относительной легкостью решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами возникла идея аппроксимации произвольного ядра вырожденным с последующим решением такого аппроксимированного уравнения описанным способом. В качестве подобной аппроксимации можно использовать разложения ядра К(х, g) в ряды Тейлора и Фурье с ограничением на определенном члене ряда. Возникающая при такой аппроксимации ошибка анализируется в [Л. 117]. [c.217]

Чаще ядра Q и К определяют иэ наилучшей аппроксимации экспериментальных данных и не связывают с переходом от дифференциальных уравнений Единственным условием является то, что (9) должно быть решением интегрального уравнения (10) и наоборот. Это возможно, если [c.104]

Из решения интегрального уравнения (5.82) с приведенными выше значениями угловых коэффициентов находим распределение плотности потока эффективного излучения R(x) по цилиндрической поверхности. После того как это распределение получено, с помощью (5.106) рассчитывается распределение температуры. В работе [5] уравнение (5.82) решено методом экспоненциальной аппроксимации ядра, вариационным методом и численным интегрированием. В табл. 5.4 приведены результаты этих расчетов для безразмерной величины плотности потока эффективного излучения на стенке R x)/q при определенном значении q на стенках и нулевой температуре на концах полости. Результаты, полученные вариационным методом, лучше согласуются с численным решением, чем результаты, полученные с помощью экспоненциальной аппроксимации ядра. [c.220]

Фредгольма интегральное уравнение, определение 201 ---метод решения, аппроксимация ядра 205 [c.612]

Обобщение основано на применении в рамках метода фиктивного поглощения прямых численных методов. Это позволяет использовать точное представление символа ядра исходного интегрального уравнения, опустив этап аппроксимации его функциями, допускающими факторизацию. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности решения. [c.121]

Для получения обозримого асимптотического решения интегральных уравнений (16), а вместе с ними и ИУ (4), применяется метод приближенного решения уравнений (16), основанный на специальной аппроксимации символа ядра ИУ (4) функции К (а) в комплексной плоскости [c.34]

Доказана теорема [1], что приближенное решение интегрального уравнения (1) вида (12), полученное с использованием аппроксимации трансформанты ядра L(u) вида (14), является двухсторонне асимптотически точным решением уравнения (1) при Л —> О и Л —> со. [c.202]

На рис. -А даны графики трансформант ядер Ь а) (кривые 1) интегральных уравнений, построенных численно для соответствующих законов неоднородности. Кривые 2 на этих графиках соответствуют погрешности аппроксимации трансформанты ядра Ь а) выражениями вида (14) для ТУ = 10. [c.207]

Решение интегрального уравнения с дополнительными условиями (4) строится при помощи известного в теории упругости приближенного метода, основанного на некоторой специального вида аппроксимации ядра к р,г,М1 )). Такое решение имеет то преимущество, что, мало отличаясь от точного, записывается в явном виде. [c.613]

При v = 0,3 здесь йх = 0,696, /1 =0,290 и погрешность аппроксимации (1.9) не превосходит 1,8%. Теперь вместо интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.9) гл. 2, (1.9) рассмотрим интегральное уравнение с возмущенным ядром типа (1.5) гл. 2, а именно [c.185]

Хотя это все, что можно получить для случая К = Кд, можно продвинуться дальше, если рассмотреть приближенное ядро. Прием, часто используемый в интегральных уравнениях такого вида, состоит в аппроксимации данного ядра функцией [c.460]

Поскольку для металлических материалов сопротивление определяется мгновенными условиями нагружения (скоростью пластического деформирования) и мгновенной структурой материала в момент регистрации напряжений, влияние истории нагружения связано с изменением структуры материала в зависимости от процесса предшествующего нагружения. В связи с этим интегральные наследственные уравнения можно рассматривать как удобный метод аппроксимации экспериментальных данных путем выбора параметров ядра (чаще всего используются ядра типа Абеля или дробно-экспоненциальные функции), обеспечивающих удовлетворительное соответствие экспериментальным данным. Этим объясняется непригодность таких уравнений для описания процессов деформирования с резким изменением скорости, которые дают наиболее рельефное проявление Б экспериментальных исследованиях чувствительности материала к истории предшествующего нагружения [50]. [c.48]

Принимая фундаментальную постановку задачи [ °соб (Л1) известна по всей обобщенной поверхности F° излучающей системы], рассмотрим квадратурную аппроксимацию уравнения (8-74). При наличии в системе ослабляющей среды обобщенное ядро К°(М, Р) для объемных точек имеет особенность при Р—> М, так как К° М, М) = оо. Поэтому прежде, чем производить аппроксимацию (8-74) системой линейных алгебраических уравнений, необходимо проанализировать отмеченную сингулярность ядра К° М/Р). Преобразуем (8-74) к разностной относительно Е°эф форме. Для этого перенесем интегральный член (8-74) в левую часть уравнения и одновременно прибавим и вычтем из нее выражение [c.249]

В решение плоских контактных задач для упругого клина значительный вклад внес В. ]У[. Александров с соавторами [2, 8]. Ими рассмотрены задачи о плоской деформации бесконечного упругого клина, в одну грань которого без учета сил трения вдавливается плоский, наклонный или параболический жесткий штамп, а на другой грани выполняется одно из следующих условий отсутствие напряжений, скользящая или жесткая заделка. Для решения интегральных уравнений в этих работах развиваются регулярный и сингулярный асимптотические методы (в зависимости от значения основного безразмерного параметра, характеризующего относительную удаленность области контакта от вершины клина), метод получения точного решения интегрального уравнения после специальной аппроксимации функции-символа ядра, другие методы. Получены решения, ограниченные на одном или на обоих краях области контакта, соответственно для наклонного или параболического штампов. Аналогичная задача с неизвестной областью контакта в случае параболического штампа изучалась в работе В. И. Короткина, И. А. Лубягина и М. И. Чебакова [35] с использованием специальной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения. Сделаны расчеты применительно к плоским зубчатым зацеплениям. [c.190]

По происхождению и смыслу название метод граничных интегральных уравнений , конечно, шире, чем метод граничных элементов , поскольку предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения, замену ядра уравнения иа близкое вырожденное ядро, разложения искомых функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения требует численного иитегрироваиия, которое, как правило, выполняется с делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближений и МГЭ в каноническом виде , т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче- [c.265]

В работе М. А. Сумбатяна [33] к основному двумерному интегральному уравнению контактной задачи о вдавливании без трения жесткого штампа в упругое полупространство применяется специальная аппроксимация ядра, в результате чего для широкого класса областей контакта его удается свести к виду, содержащему только одномерные сингулярные интегралы типа Коши. Идея метода заимствована из теории крыла конечного размаха. В случае прямоугольной области контакта получающееся уравнение распадается на два одномерных интегродифференциальных уравнения. В качестве примеров рассматриваются случаи квадратного в плане штампа и прямоугольного штампа с отношением сторон 1/2. Числовые результаты сравниваются с результатами работ, в которых применялись численные методы решения рассматриваемой задачи. [c.140]

Рассмотрим вертикальные высокочастотные гармонические колебания жесткого штампа, соединенного без трения с упругой полуплоскостью. Основная трудность построения высокочастотной асимптотики состоит в осуш ествлении эффективной факторизации символа ядра основного интегрального уравнения. Предлагается функция, учитывающая все свойства символа, позволяющая осуществить его равномерную аппроксимацию и легко факторизуемая. Такое решение проблемы приближенной факторизации позволяет в простом явном виде выписать главный член асимптотики решения. [c.278]

Интегральные уравнения второго рода с симметричными ядрами могут быть решены с использованием метода Шмидта и Гильберта. Уравнения второго рода можно также решить с помощью подходящей аппроксимации [11]. Метод дает (х) в виде разложения по у коэффйциенты которого являются функциями X. Если результирующий ряд быстро сходится, то метод имеет практическое значение и аналогичен итерационному процессу, использованному в работах Фокса и Ли [24, 26]. [c.194]

Вычисленная для представленных на рис. 10.16 эталонных изображений двумерная коррелятцгонная функхщя Й Ах, Ау) была факторизована на две одномерных (Ах) и и (Ау), для каждой из которых была построена экспоненциально-ко-синусная аппроксимация. С использованием аппроксимируюшцх корреляционных функций Й (Ах) и ш Ау) аналитически решались одномерные интегральные уравнения (10.10) с экспоненциально-косинусным ядром и находились одномерные базисные функции. Двумерные базисные функции, рассчитанные в виде произведения одномерных в соответствии с (10.18), изображены на рис. 10.17. [c.614]

При использовании псевдодифференциальных уравнений (7.30) необходимо аппроксимировать не только разрыв перемещений Ай, но и его производную. Поэтому для аппроксимации Ли в этом случаенеобходимо применять интерполяционные полиномы не ниже первой степени. Нами применялась квадратичная аппроксимация [4391. При-использовании интегральных уравнений с ядрами, имеющими сильную особенность, в (7.31) применялись кусочно-постоянная аппроксимация (как описано в предыдущем разделе) и квадратичная. [c.169]

С точки зрения практики микроструктурного анализа вполне достаточно ограничиться той информацией о реальных спектрах размеров частиц, которая заключена в векторе 8. Резонно при обращении оптических данных величины рассматривать как средние значения действительного распределения Зо(г) в локальных интервалах покрытия А/ и в соответствии с этим перейти к величинам Аг(5) =5гДг(г). Подобный переход оправдан тем обстоятельством, что в микроструктурном анализе фиксировать отсчеты искомых распределений в системе узловых точек не имеет смысла. Доминантой в этом анализе являются система А и соответствующая ее последовательность А (5), /=1,. . ., т). Этого правила мы будем придерживаться и в обратной задаче светорассеяния, что вновь нас приводит к уравнениям типа (1.110) и соответствующей алгоритмической схеме обращения аэрозольных оптических характеристик, описанной в п. 1.4. Естественно, можно не учитывать специфику микроструктурного анализа дисперсных сред и рассматривать аппроксимационную модель 5 (г, 8) как средство формальной алгебраизации интегральных уравнений. С этой точки зрения кусочно-квадратичная аппроксимация позволяет строить весьма эффективные квадратуры для полидисперсных интегралов с ядрами теории Ми. [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...