Простые волны и образование разрывов

Простые волны и образование разрывов [c.370]

Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения распространяются с одинаковой скоростью независимо от их амплитуды. Это исключает возможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования разрывов — явления, столь важного в нелинейной теории, а также исключает взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении. Линеаризация же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе и бегущих в разных направлениях. [c.239]

Таким образом, уравнение Бюргерса описывает структуру и местоположение фронта ударной волны и поэтому, в отличие от уравнения для простых волн, не требует привлечения дополнительных условий (типа правила равенства площадей ) для определения формы волны после образования разрыва. Кроме того, сам разрыв уже не предполагается бесконечно тонким это область конечной ширины (определяемой конкуренцией между нелинейным увеличением крутизны и диссипативным расплыванием), в которой диссипативный член Td V/dQ уравнения Бюргерса имеет наибольшую величину. В области фронта, следовательно, поглощение энергии волны происходит наиболее эффективно. [c.200]

Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины р, р, v как функции х (при заданном i) становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение о, между тем как при [c.530]

При п > 1 ударная волна возникает не на переднем фронте простой волны, а в некоторой промежуточной точке, определяемой уравнениями (3). Определив из (3) значения т и можно затем по (2) найти и место образования разрыва. Вычисление дает [c.533]

Время и место образования разрыва и превращения простой волны в ударную определяются следующими соотношениями [Л. 28 [c.265]

При перемещении поршня в противоположном направлении (в сторону открытого конца трубы) возникает волна сжатия. Скорость пара в волне, как функция координаты и времени, описывается тем же уравнением (8-22), в котором требуется лишь изменить знак при ускорении Ь. Уравнение справедливо до момента возникновения разрыва и превращения простой, бегущей волны в ударную. Момент образования ударной волны и соответствующее значение скорости определяются формулами (8-21). В рассматриваемом случае первая и вторая производные функции / (w) выражаются следующим образом [c.267]

Чрезвычайно обширный круг акустических задач рассматривается в этом линейном приближении. Вопрос о том, в какой мере получаемые при этом теоретические результаты соответствуют явлениям, наблюдаемым в экспериментальных условиях, не совсем прост и в каждом случае, вообще говоря, должен подвергаться анализу. В качестве простейшего примера можно привести задачу о распространении монохроматической плоской продольной волны в неограниченной среде. Более ста лет назад было показано, что такая волна при распространении в недиссипативной среде меняет форму профиля так, что ее передний фронт становится все более и более крутым и, наконец, на некотором расстоянии образуется разрыв — волна переходит в периодическую слабую ударную волну. Это расстояние образования разрыва обратно пропорционально амплитуде, и волна даже малой амплитуды все же на конечном расстоянии превратится в периодическую слабую ударную волну. [c.9]

В некоторых из рассмотренных ранее задач в непрерывном первоначально потоке возникали и продолжали в дальнейшем существовать разрывы. В других задачах разрывы имелись в распределении параметров газа, задаваемых начально-краевыми условиями, и приводили к образованию разрывов и центрированных волн разрежения в потоке с самого начала движения. В связи с этим в газовой динамике важной является задача о движениях, возникающих при разрывах в начально-краевых условиях. Рассмотрим простейшую из этих задач ). [c.207]

Таким образом, до образования разрыва энергия при распространении не изменяется и равна своему начальному значению. Несмотря на возникновение гармоник, энергия в простой волне остается такой же, как и энергия монохроматической волны. Это означает, что происходит процесс перекачки энергии из основной частоты в высшие гармоники (см. рис. 1.9), причем так, что [c.39]

Полезно провести сравнение уравнений (VII.4.3) и (VII.4.4) с уравнением (II.1.10). Отличие в уравнениях, описывающих медленные изменения профилей скорости и плотности звуковой волны, сказывается только в третьем приближении, когда волны перестают быть простыми после образования разрывов. Сведение уравнений (УП.4.3) и [c.190]

Обсудим теперь границы применимости формулы (Х.1.11) и вытекающих из нее результатов. Строго говоря, одновременное использование динамического уравнения для простых волн (Х.1.2) (описывающего волны только в области до образования разрывов) и функции распределения (Х.1.7) нормального шума приводит к противоречию. Дело в том, что в соответствии с релеев-ским распределением (Х.1.18) амплитуда некоторых периодов , входящих в состав полной реализации 7 (0, 2 = = 0), может принимать сколь угодно большие значения. Поэтому уже в непосредственной близости от источника волна содержит разрывные участки. Вместе с тем вероятность выбросов с большими амплитудами мала, что позволяет на больших расстояниях использовать полученные результаты в качестве приближенных. [c.258]

Простым, но довольно грубым критерием применимости может служить расстояние = 1 образования ударного фронта в регулярной волне равной интенсивности. Более корректный путь состоит в обрезании крыла релеевского распределения при некоторой А = Лрр (в соответствии с наперед заданной допустимой величиной ошибки) и оценке длины образования разрыва для волны с А = [c.258]

Наиболее существенным отличием параметрического усиления в нелинейной акустике от подобного процесса, например в нелинейной оптике, служит то обстоятельство, что в последнем случае имеется сильная дисперсия и волна накачки слабо убывает с расстоянием. В акустическом же случае мощная волна накачки при Re l (когда и должно было бы иметь место достаточное усиление) превращается в пилообразную, быстро затухает и параметрическое усиление становится все более слабым. Если считать, что процесс усиления может происходить до расстояния образования разрыва Хр, то можно оценить коэффициент усиления. Для этого отметим, что если не учитывать диссипацию и рассматривать простые волны, амплитуда колебательной скорости волны сигнала i из-за взаимодействия с волной накачки на начальном этапе увеличивается согласно [1], с. 156 (рассматриваем для простоты вырожденный случай [c.100]

В случае больших чисел Рейнольдса (Г 0) существует область расстояний, где нелинейные эффекты ярко выражены. Весь процесс распространения можно условно разбить на три этапа (рис. 6.10). На / этапе (О < z< 1) происходит искажение формы профиля по законам простой волны (2.5), (2.11), В точке z = 1 начинается образование разрыва, который достигает максимальной величины при z = я/2. При z 2 профиль волны становится почти пилообразным. На II этапе (1 < z С 2/Г) форма фронта стабилизируется из-за конкуренции нелинейных и диссипативных эффектов, но амплитудное значение колебательной скорости [c.202]

Соотношение (4.24), как и в простой волне, есть закон сохранения количества движения. Однако, в отличие от простых волн (в области до образования разрыва), энергия волны при наличии вязкости и теплопроводности уменьшается [c.204]

Обращение в нуль знаменателя (2) в формуле (1) отвечает тому, что в некоторой точке профиля на расстоянии производная (1) обращается в бесконечность — касательная в этой точке становится вертикальной иными словами, начинается процесс образования разрыва в профиле простой волны. Искомая точка профиля соответствует максимальному значению функции Ф, т.е. находится из условия Ф" = 0. Таким образом, условие Ф" = О и условие (2) позволяют решить поставленную задачу. [c.137]

После образования разрыва в точке 2=1 процесс искажения профиля волны продолжается и приводит к образованию в точке 2 = я/2 пилообразной волны (см. фиг. 4), амплитуда которой затухает по закону, получающемуся из (62) (см. рис. 3) и принимающему простой вид в области z >я [c.29]

Иначе обстоит дело при обтекании вогнутого профиля. Здесь наклон 6 касательной к профилю, а с ним и наклон характеристик возрастают в направлении течения. В результате характеристики пересекаются друг с другом (в области течения). Но на различных не параллельных друг другу характеристиках все величины (скорость, давление и т. п.) имеют различные значения. Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции оказываются многозначными, что физически нелепо. Аналогичное явление мы имели уже в нестационарной одномерной простой волне сжатия ( 94). Как и там, оно означает здесь, что в действительности возникает ударная волна. Положение этого разрыва не может быть определено полностью из рассматриваемого решения, выведенного в предположении его отсутствия. Единственное, что может быть определено, — это место начала ударной волны (точка О на рис. 99 ударная волна изображена сплошной линией ОВ). Именно, она определяется как точка пересечения характеристик, лежащая на наиболее близкой к поверхности тела линии тока. На линиях тока, проходящих под точкой О (ближе к телу), решение везде однозначно в точке же О начинается его многозначность. Уравнения, определяющие координаты Хд, этой точки, могут быть получены аналогично тому, как были найдены соответствующие уравнения для определения момента и места образования. [c.522]

Рассматриваемая задача типа сформулированной в 1,9 (задача 1). Однако здесь будет изучаться только сублимация материала тела без образования слоя кокса и без химических реакций. В данном случае единственная поверхность разрыва (волна сублимации), отделяющая газовый поток от твердого тела, является, естественно, подвижной. Будем изучать стационарный режим уноса массы, когда волна разрыва движется с постоянной скоростью D. Тогда в подвижной системе координат, связанной с волной сублимации (у = у — Dt, у — координата в неподвижной системе), движение в пограничном слое будет установившимся. Течение предполагается ламинарным, описывается оно системой уравнений (1.114). Пусть газовая смесь состоит из двух компонент сублимирующего вещества и однородного основного потока. В этом случае имеет место закон Фика, и уравнение диффузии представляется в простом виде [c.301]

Эффекты, связанные с распространением плоских волн при тепловом ударе в упругой среде, изучались В. И. Даниловской (1952). Аналогичная задача для упруго-пластического материала, обладающего линейным упрочнением, исследовалась Ю. П. Суворовым (1964), рассмотревшим тепловой удар по концу полубесконечного стержня при линейном законе возрастания температуры со временем (коэффициент теплопроводности считался пропорциональным температуре, а механические характеристики материала — независимыми от температуры). При таком законе нелинейное уравнение теплопроводности допускает простое автомодельное решение, что существенно упрощает уравнение распространения упруго, пластических волн. Оказалось, что при скорости распространения тепла-равной скорости распространения упругих или пластических возмущений, происходит образование волн сильного разрыва. [c.311]

Поэтому для простых воли с очень малой амплитудой тенденция к образованию сильных разрывов возникает при увеличении растяжения, если Л > О, и при увеличении сжатия, если Л < 0. Наличие сдвига не влияет на этот результат, ранее выведенный в виде условия (3.18) для волны чистого расширения, потому что п не входит в члены первого порядка по фпп уравнение (3.70) тождественно уравнению (3.7) и (3,11) с точностью до членов первого порядка по т. [c.80]

Рис. 14. Эволюция простой волны (а), образование перехлёста (б) и разрыва ударной волны (в).

Когда профиль волны сильно искажается и становится крутым, эти неучтенные процессы начинают играть значительную роль. Их влияние сводится к тому, что вместо неоднозначного захлеста в профиле скоростей появится разрыв (отмеченный на рис. 1.1, в штриховой линией) и профиль станет однозначной функцией т. Для того чтобы носледовательпо и строго описать нарастание крутизны волны, формирование ударного фронта и его структуру, надо решить систему уравнений Навье — Стокса (В.1.4) — (В.1.7). Это проделано в главе И. А пока что мы ограничимся тем, что определим положение разрыва простой волны и поведение волны после образования разрыва. [c.31]

Найденное выражение уже может быть непосредственно использовапо для анализа формы волны после образования разрывов . Однако наиболее просто этот анализ может быть, произведен, если положить сг > л/2. В этом случае, как мы уже показывали на примере аналогичной задачи для идеальной среды, форма волны становится почти пилообразной и допускает аналитическое представ-лепие [c.55]

Обычное X.— 3. у. L = 0 в линейном случае (е = 0) для гармонических сигналов переходит в параболич. ур-иие теории дифракции (Леоитовича параболическое уравнение). Для возмущений с плоскими фронтами X.— 3. у. переходит в ур-ние простых волн Римана волн), описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов — ударных фронтов. Обычное X,—3. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. [c.415]

Рассмотрим качественно эволюцию плоской волны, распространяющейся вправо и описываемой уравнениями (3.44), (3.45). Зададим начальные профили II х, 0) и с х, 0) так, как указано на рис. 3.3, а. Картина возникающего течейия в плоскости х, i приведена на рис. 3.3, б. Характеристики аЬ и ей параллельны друг другу, их уравнения есть dx dt = со. Характеристика ef имеет больщий наклон или большую скорость в лабораторной системе координат по сравнению со всеми другими характеристиками, в том числе с характеристиками аЪ и d. Таким образом, с течением времени характеристика е/ будет приближаться к характеристике аЬ и отдаляться от характеристики d. Ширина волнового пакета не меняется с течением времени, так как точки а ш Ъ распространяются с одинаковой скоростью, равной скорости звука. Однако внутри волнового пакета происходит существенное перераспределение 7 и с значения максимумов не меняются, но их относительное положение претерпевает значительное изменение. С течением времени профили скорости искажаются все сильнее и сильнее с нарастанием крутизны фронта волны (см. рис. 3.3). Если продолжить решение в область больших i таких, что произойдет пересечение характеристик одного семейства (в рассматриваемом случае а-характеристик), то решение получается неоднозначным. Для ликвидации неоднозначности решения необходимо допустить образование сильных разрывов, т. е. ударной волны. Таким образом, рассмотренное решение типа простой волны имеет смысл в течение ограниченного отрезка времени до образования сильного разрыва. Аналогичным образом [c.91]

II второго приближений получаются из (3.7) и (3.8), считая Т1 = Ti = 0. В уравнения третьего приближения вязкость уже войдет. Часто этот случай рассматривается приближенно следующим образом предполагается, что диссипативные процессы играют несущественную роль вплоть до расстояний порядка расстояния образования разрыва таким образом, до образования разрыва волна искажается, как в среде без потерь. Диссипативные процессы влияют на ширину фронта образующейся пилообразной волны и на затухание пилообразной волны. В этом смысле случай больших чрюел Рейнольдса является даже несколько более простым, чем случай Re 1. [c.102]

В случае неплоских волн в диссипативной среде не может быть получ н такой простой критерий образования разрыва, как это было для плоской волны, хотя, как и для плоских волн, здесь могут быть рассмотрены предельные случаи малых и больпшх чисел Рейнольдса. При числах Re i (если это условие выполняется во всем пространстве) геометрические условия распространения и диссипативные процессы не могут препятствовать образованию разрыва, и эти случаи поддаются во всяком случае качественному анализу. [c.124]

Вместе с Wq сохраняются и все статистические моменты, которые выражаются через одноточечную функцию распределения, в частности средние зтчения любой функции от V, включая среднюю энергию, пропорциональную <и >. Таким образом, в области до образования разрыва энер-гая шумовок волны сохраняется, затухания нет, впрочем, это почти очевидный результат сохранения площади в простой волне (а любая функция от и — тоже простая волна). Однако к многоточечным функциям распределения, определяющим, в частности, спектр волны, этот результат не относится. [c.50]

Нелинейная теория распространения простой волны развита в предыдущих разделах2.8—2.12 для любой жидкости, имеющей нри отсутствии возмущений однородные физические характеристики, помещенной внутри трубы или канала с постоянным невозмущенным поперечным сечением. При этих условиях основные свойства простой волны, пока она остается непрерывной, легко устанавливаются для задач с начальными условиями с помощью уравнений (156)—(163), а для задач с граничными условиями — с помощью уравнений (168)—(171), в то время как соответствующий сдвиг волнового профиля развивается согласно уравнениям (184)—(191). Хотя образование разрыва проанализировано выше только в двух случаях (для плоских звуковых волн и длинных волн в открытых каналах), эти случаи наводят на мысль, что любое распространение простой волны, создающее лишь слабые разрывы, может быть описано с высокой точностью введением в полученный однородным сдвигом непрерывный волновой профиль (для обеспечения его однозначности) разрывов, сохраняющих площадь. [c.228]

Что будет после того, как на профиле простой волны возникнут бесконечные градиенты В разных физических ситуациях ответ различен. Например, если это волна на поверхности жидкости, то она просто обрушится, превратившись в брызги если это поток невзаимодействующих частиц, то в профиле волны возможна неоднозначность — после образования разрыва в основном потоке образуется несколько разных потоков, движущихся с существенно разными скоростями (многопотоковость). Для звукового же или электромагнитного поля, где неоднозначность недопустима, дальнейшее развитие нелинейной волны зависит от того, какие эффекты будут преобладать в области быстрого изменения поля — диссипативные или дисперсионные. Анализом бегущих волн в нелинейных средах с диссипацией и дисперсией мы сейчас и займемся. [c.389]

Хотя после образования разрыва волна и перестаёт быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы вилели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины р, р, V как функции д (при заданном I) становятся многозначными [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...