Вывод диффузионного уравнения

Рис. 1У.5. Схема к выводу диффузионного уравнения теплопроводности д Ог—координатные оси в теплопроводящем теле

Так же как и при диффузии атомов, условием применимости диффузионного приближения является малость градиента плотности излучения. Последняя должна мало меняться на расстоянии порядка пробега излучения Гу. При небольших градиентах поле излучения почти изотропно, а это условие и было положено в основу вывода диффузионного уравнения (2.65). В самом деле, в данную точку кванты приходят в основном из области с размерами порядка пробега. Если плотно( ть излучения в этой области почти постоянна, то кванты приходят в данную точку [c.128]

Вывод диффузионного уравнения [c.195]

Приступим теперь к выводу диффузионного уравнения, которое основано на приближении (9.7). Прежде всего проинтегрируем (9.1) по всему телесному углу 4л и получим общее соотношение, выражающее сохранение мощности (7.28а) [c.197]

Заметим, что, принимая коэффициенты диффузии равными, мы не добавляем каких-либо новых допущений к принятым при выводе дифференциальных уравнений. В самом деле, при выводе дифференциальных уравнений диффузионного пограничного слоя мы предполагали Справедливым закон Фика. Этот закон, как уже упоминалось в гл. 3, строго применим к отдельным компонентам многокомпонентной смеси, только если бинарные коэффициенты диффузии компонентов смеси одинаковы. [c.358]

Если опытные данные передать при помощи диффузионного уравнения Фика, то сказанное приводит к выводу, что в критической точке двойного раствора коэффициент диффузии (по Фику) должен превратиться в нуль. [c.228]

Выясним теперь условия применимости диффузионного приближения. При выводе основного уравнения (33.16) мы [c.307]

В заключительном 10.4 исследуется диффузия нейтронов в тороидальном ядерном электрогенераторе. При решении соответствующего диффузионного уравнения стандартным методом разделения Фурье обосновывается важный вывод о практически полном отсутствии диффузии нейтронов и ионитов через внешнюю границу при тороидальном движении. [c.297]

Четкое выполнение на опыте в широком интервале времени диффузионного уравнения (9) показывает, что окисел на поверхности металла действительно можно рассматривать как однородную диффузионную среду. На первый взгляд, этот вывод кажется странным, так как хорошо известно, что перенос атомов и ионов через твердую фазу происходит не равномерно по всей ее толще, а преимущественно по нарушениям ее однородности по межкристаллитным щелям и трещинам [1]. Его, однако, можно понять, если учесть, что частицами, перенос которых является скорость определяющим, могут быть не атомы и ионы, а, например, элементарные носители электричества (электроны или дырки), которые также будут участниками реакции и для которых окисную фазу в некоторых условиях действительно можно рассматривать как однородную диффузионную среду. Что касается вопроса о том, может ли перенос этих частиц [c.85]

Как правило, вывод кинетического уравнения сопровождается априорной гипотезой весьма специфического типа. Дело заключается в том, что уже давно приблизительно ясно, какую структуру должно иметь кинетическое уравнение (например диффузионного типа, типа уравнения баланса или больцмановского типа и др.). Эта структура навязана в значительной степени вероятностным характером процессов, которые мы желаем описать с помощью кинетического уравнения. Поэтому, в определенном смысле, задача может быть сформулирована от ответа . Исходя из уравнения Лиувилля, мы можем прийти к кинетическому уравнению, избавившись от некоторых членов, благодаря которым динамический характер движения существенно отличается от случайного. Поэтому вывод кинетического уравнения обычно сопровождается формулировкой в той пли иной форме некоторого принципа или априорной гипотезы, формальная цель которой удалить лишние члены. Фактическое содержание подобных гипотез связано с введением в рассматриваемую систему необходимой доли случайности, плп хаоса. [c.105]

При выводе многогруппового диффузионного уравнения (4.35) из уравнены Рх-приближения делались некоторые потенциально неопределенные приближения. В связи с этим обычно решение многогрупповых уравнений Рх-при-ближения оказывается более предпочтительным, чем решение многогрупповых диффузионных уравнений. [c.144]

При выводе формулы (34. 44) предполагалось, что, потеря энергии при одном соударении мала, т. е. что замедление можно рассматривать как непрерывный процесс. В этом предположении может быть развита приближенная теория замедления для сред с малым I и слабой зависимостью Xs. от энергии. Эта теория называется теорией возраста. В возрастном приближении процесс замедления описывается уравнением диффузионного типа, сходным с уравнением теплопроводности [c.308]

Согласно уравнениям (11.73) длина пути смешения поперечной турбулентной пульсации в вязком подслое пропорциональна квадрату расстояния от твердой стенки. Этот вывод совпадает со второй гипотезой, из чего можно заключить, что названная выше гипотеза, по-видимому, является следствием диффузионного характера распространения возмущений в потоке жидкости. [c.420]

Для вывода уравнения диффузионного пограничного слоя воспользуемся уравнением [c.303]

В качестве примера выберем реактор идеального вытеснения, а также реактор с продольным перемешиванием диффузионного типа. Вывод уравнений динамических моделей названных реакторов аналогичен выводу уравнений (1.2.19), (1.2.28) процесса абсорбции. [c.37]

Если вершина трещины покрыта слоем продуктов коррозии (оксидов, гидроксидов), то механизм распространения должен быть иным, так как водяные пары будут диффундировать к вершине трещины через слой продуктов коррозии. Математическая интерпретация такого слоя должна привести к уравнению, очень похожему на уравнение (12). Толщина газообразного диффузионного слоя должна быть заменена на толщину слоя продуктов коррозии, соответственно вместо коэффициента диффузии воды через газообразный азот должен быть применен коэффициент диффузии паров воды через продукты коррозии. Так как предполагаемое уравнение после указанного выше преобразования должно быть похожим на уравнение (12), любой механизм из этих двух может быть использован для объяснения результатов, представленных на рис. 41. Те же выводы могут быть сделаны для поверхностной диффузии воды к вершине трещины, где коэффициент диффузии в поверхностном слое и толщина диффузионного слоя по поверхности соответственно меняются с учетом количества газа. Следовательно, не легко выявить, какой процесс реально развивается во время процесса КР высокопрочных алюминиевых сплавов во влажных газообразных средах. [c.288]

Обычно уравнения пограничного слоя выводят из общих уравнений движения жидкости при некоторых упрощающих предположениях, вытекающих из основного постулата. Прежде всего предполагается, что все три характерные толщины динамического б, теплового бт, диффузионного (или концентрационного) слоев бс очень малы по сравнению с длиной тела и толщиной сжатого слоя. [c.35]

Вязкость с повышением температуры уменьшается, а сила предельного диффузионного тока, как это видно из перечисленных выше факторов, увеличивается. С повышением температуры электролита толщина диффузионного слоя увеличивается, но очень мало —0,19% на ГС. Такой вывод на первый взгляд кажется несколько неожиданным. Однако из анализа уравнения (Г20) следует, что толщина диффузионного слоя зависит от коэффициента диффузии в большей степени, чем от вязкости коэффициент диффузии входит в степени Гз, а вязкость — в степени Ге- А так как коэффициент диффузии с повышением температуры увеличивается, толщина диффузионного слоя на вращающемся дисковом электроде с повышением температуры также несколько увеличивается (в 1,1 раза) при изменении температуры с 20° до 80° С) [1,12]. Ввиду того, что растворимость кислорода с повышением температуры до 100° С уменьшается, величина предельного диффузионного тока при восстановлении кислорода как до перекиси водорода (п = 2), так и до воды (п = 4) на медном амальгамированном вращающемся электроде с повышением температуры достигает максимума (табл. ГЗ). [c.27]

Используем последнее выражение совместно с уравнением (4-16) для вывода уравнения диффузионного пограничного слоя элемента а. Умножим уравнение (4-16) на ti f. [c.47]

Если рассмотреть теперь диффузионный член уравнения (4-24), учитывая уравнение (4-27), то можно сделать вывод, что этот член не равен нулю лишь тогда, когда энтальпии отдельных компонентов смеси различны. Если энтальпии всех компонентов одинаковы, то множители ij выносятся за скобки, и диффузионный член при суммировании обращается в нуль. Это приводит к дальнейшему упрощению уравнения энергии. [c.54]

Таким образом, формула (25) приведена к виду известного уравнения, описывающего растворение вещества при отсутствии химического взаимодействия с растворителем. Такое соответствие свидетельствует о достоверности выводов, поскольку в основе процесса науглероживания лежит диффузионный перенос реагента. Однако между этими формулами есть и глубокое различие, заключающееся в том, что текущая концентрация углерода в жидком металле является функцией электромагнитного перемешивания. Причем эта зависимость существенно влияет на величину концентрации углерода. Взаимосвязь процесса науглероживания и перемешивания жидкого металла характеризуется коэффициентом К формулы (29). [c.62]

Сравнивая уравнения (41) и (48), можно найти п. Оно в нашем случае составляет величину, близкую к трем. Это значит, что в широком интервале скоростей вращения электрода (до 5000 об/жын) при потенциалах предельного диффузионного тока восстановление кислорода идет одновременно с образованием перекиси водорода и гидроксил-иона. Это можно объяснить тем, что реакция восстановления кислорода, как известно, протекает через промежуточную реакцию образования перекиси водорода. Если какая-то часть перекиси будет выводиться из сферы реакции, а не восстанавливаться дальше до ОН, то число электронов, принимающих участие в восстановлении кислорода, может быть и не равным четырем. [c.54]

I 2.1. Вывод уравнений дислокационно-диффузионной кинетики [c.243]

В выводах кратко обсуждают результаты опытов, приводят полученное эмпирическое уравнение и делают заключение о контролирующем факторе роста слоя защитного покрытия (диффузионный, кинетический или смешанный диффузионно-кинетический контроль). [c.161]

Если же объемная плотность много больше 1%, то относительно простые и хорошие результаты даются диффузионным приближением. При объемной плотности порядка 1% ни приближение первого порядка, ни диффузионное приближение не могут быть справедливы, н нужно решать полное уравнение переноса. В данной главе мы рассмотрим вывод диффузионного уравнения из уравнения переноса, а также некоторые решения для плоскопараллельной задачи. Диффузионное приближение с успехом использовалось для анализа волоконнооптических окси-метров при исследоваппи крови [78, 79, 126]. [c.195]

Как уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Как мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, аналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Как мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систелг. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот. [c.182]

Как уже отмечалось, диффузионный поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов других потенциалов. Рассмотрим еще раз взаимосвязь градиентов концентрации и температуры. Хотя градиенты давления и массовых сил также могут вызывать перенос вещества, в рассматриваемых в настоящей книге вопросах они не играют роли. Точные соотношения для диффузионного потока в газах низкой плотности получены с помощью кинетической теории. Бэрон [Л. 5] предложил следующее уравнение для плотности диффузионного потока компонента 1 в бинарной смеси, обусловленного градиентами концентрации и температуры (вывод этого уравнения приведен в книге Чепмена и Каулинга [Л. 6]) [c.31]

Прп выводе системы уравнений (1.3.1) —(1.3.7) использовалось допущение Праидтля о том, что внутри пограничного слоя члены уравнений движения, диффузии отдельных компонентов п энергии, характеризующие изменение продольной составляющей скорости, копцептрации компопеитов и температуры, одного порядка с членами, оппсывающнмп молекулярный перенос. Это допущение позволяет определить толщины динамического, диффузионного п температур- [c.17]

Уравнения (9.5), (9.7) и (9.13) позволяют сделать несколько выводов относительно работы коррозионных макропар, работающих за счет неравномерностей концентрации окислителей в растворе. Одним из них является вывод об инвариантности полученных выражений для силы тока и коэффициента W по отношению к природе окислителя. Действительно, если только оправдываются предпосыл1КИ о том, что окислитель, вступающий в реакцию электрохимического восстановления, О бладает достаточно высоким потенциалом, чтобы можно было пренебречь скоростью обратного процесса и, кроме того, отсутствуют всякие диффузионные ограничения, то все выражения для силы тока и коэффициента w содержат только одну переменную величину т, равную отношению концентрации окислителя в обоих растворах. С другой стороны, можно предвидеть, что сила тока 1макролары рассматриваемого вида будет изменяться симбатно вместе с изменением скорости саморастворения металла в зависимости от его собственных свойств и состава раствора. [c.164]

Уравнения диффузионного приближения для полного (интегрального) излучения выводятся из (3-18), как и в случае спектрального излучения. Аналогичное векторное интегрирование уравнения оереноса по всем направлениям в пределах сферического телесного угла 4я и одновременное интегрирование всех членов этого уравнения но всему спектру частот от v = 0 до оо приводит к уравнению для вектора полного потока излучения [c.155]

Влияние переменности физических свойств весьма значительно, как я для ламинарного пограничного слоя, которому соответствует piif. 15-1. Кнут и Дершин исследовали возможность применения определяющего состава для расчета диффузионного турбулентного пг.граничного слоя бинарных газовых смесей с переменными физическими свойствами с помощью решений для постоянных свойств [Л. 7]. Они пришли к выводу, что можно использовать тот же определяющий состав, что и для ламинарного пограничного слоя, т. е. уравнение (15-6). [c.382]

Сравнивая скорости восстановления кислорода, рассчитанные по уравнению (3,2) при допущении, что кислород переносится через пленку по чисто диффузионному механизму, с экспериментально полученными данными (табл. 17), убеждаемся в том, что последние во всех случаях, в том числе и для толщин, которые меньше толщины диффузионного слоя, принимаемой для неразмешиваемых электролитов с естественной конвекцией, больше теоретически рассчитанных. Это является убедительным доказательством того, что эффективная толщина диффузионного слоя составляет всего часть слоя электролита, нанесенного на поверхность катода. Иными словами, мы приходим к выводу, что конвекционный перенос кислорода имеет место в тонких слоях элeктpoJштoв. Последний, как будет показано ниже, связан с саморазмешиванием, возникающим в тонких слоях вследствие изменения концентрации электролита и поверхностного натяжения в различных точках пленки. [c.114]

В случае ImF = О (0а 0) система уравнений (3.150) не отличается от обычной системы уравнений, описывающей четырехволновое взаимодействие в. средах с локальным откликом, и соотношение (3.152) совпадает с выражением (3.13) [8], записанным для среды с локальным откликом. В связи с этим все сделанные выше выводы для сред с локальным откликом оказываются справедливыми и для данной ситуации. Если же ImF Ф О Ф 0), (3.150) не сводится к уравнениям, описывающим взаимодействие при диффузионно-дрейфовом механизме нелинейности [8], причем отличие связано именно с наличием циркулярных фотогаль-ванических токов, которые приводят к ряду новых физических эффек- [c.115]

Применение теории износа инструмента только качественно описывает это явление. Теория адгезионного износа помогает объяснить процесс образования площадки износа на задней поверхности. Эта теория не позволяла дать количественные соотношения по кривым износа, полученным в различных условиях резания, и не могла предсказать момент катастрофического износа без проведения специальных опытов. В диффузионной теории износа определяющую роль играет температура резания. Распределение температуры на передней поверхности инструмента качественно объясняет форму лунки износа. Несомненно, что исследования диффузионного износа помогли усовершенствовать режущие материалы, однако эти исследования не являлись основой для вывода стойкостных зависимостей. Доринсон предложил стойкостную зависимость, которая сходна по форме с уравнением Тэйлора, однако значение постоянных, входящих в это уравнение, объяснено недостаточно полно. Такеяма и Мурата [c.173]

Наиболее привлекательным представляется комплексный метод, когда основные уравнения выводятся феноменологически, а затем каждое их слагаемое представляется в рамках микроскопических представлений. В результате коэффициенты феноменологических уравнений выражаются через параметры структуры и условия пластической деформации. Такой подход использован в п. 2.1 для вывода уравнений дислокационно-диффузионной кинетики на начальной стадии развития зоны локализации деформации в дисперсно-упрочненном сплаве. При необходимости можно провести обобщение развитой картины на случай взаимодействия дислокаций с другими типами точечных дефектов (межузельных атомов, бивакансий и т.д.). [c.242]

Рассмотренный пример относится к случаю, когда обе реакции протекают по законам электрохимической кинетики. Но уравнение, аналогичное выражению (У,15), можно было бы получить, воспользовавшись уравнениями реакций, например катодных, протекающих по законам диффузионной кинетики и осложненных концентрационной поляризацией (гл. IV, 9). Подробные исследования [10, 11, 12] показали, что полное аналитическое решение задачи является очень сложным. Таким образом, вывод уравнения (У,15), приведенный для примера, имеет главным образом методологическое значение. Практическое использование его принципиально возможно, но требует очень обширной информации о кинетике соответствующих процессов. [c.187]

Из уравнений (7) — (9) видно, что при увеличении произведения ((3 / ) природа контроля должна закономерно изменяться от электрохимического к смешанному, а затем — к диффузионному контролю. Эта закономерность может быть использована для дополнительной проверки выводов, получаемых с помощью метода потенциостатической хроноамперометрии. Величину произведения для этого можно изменять, изменяя, например, Q (практически потенциал электрода), и сравнивать данные, относящиеся к одинаковому моменту времени. Можно, наоборот, при заданном Q следить за изменением природы контроля во времени. Последний случай иллюстрируется схемой, взятой из [3] и приведенной на рис. 2, на которой видны все три области при малых / — область электрохимического контроля, при средних — область смешанного контроля и, наконец, при достаточно больших i — область диффузионного контроля. Время перехода к чистодиффузионному контролю т можно оценить из условия [c.83]

Энергия активации Q = 13,86-10 0,Ы0 дж/моль (3,3- 10 0,1 10 кал,1моль) нечувствительна к напряжению и находится в удовлетворительном соответствии с энергией активации, установленной для диффузии. Хотя уравнение (ИЗ) предполагает, что такую ползучесть можно контролировать механизмом переползания, общий вид крив оп ползучести без обычного участка снижения скорости ползучести, показывает, что краевые дислокации в данном случае не затормаживаются барьерами. Поэтому необходимо применить другой диффузионный механизм, который мог бы контролировать ползучесть. Поскольку уровень напряжения намного ниже расчетного, определенного из условий преодоления ближнего порядка атермически перемещающимися через кристаллическую решетку дислокациями большой длины, необходимо сделать вывод, что к действию приложенного напряжения добавляется действие термических флуктуаций на перемещающиеся в упорядоченном сплаве короткие сегменты дислокаций. [c.322]

Из уравнения (152) следует, что скорость дуффузи-рнной ползучести, в отличие от с д.уст при ползучести с возвратом, зависит от напряжения в первой степени. Эксперименты подтверждают этот вывод только в области относительно низких напряжений. Чем выше температура, тем шире диапазон напряжений, под действием которых идет диффузионная ползучесть. [c.254]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...