Поверхность Ферми в модели свободных электронов

Поверхность Ферми в модели свободных электронов [c.93]

В разд. 5 было показано, что в реальных металлах поверхность-Ферми в общем случае не представляет собой одной-единственной сферы, как в модели свободных электронов при этом всякая произвольная плоскость в решетке обычно содержит орбиты [c.110]

Подобно алюминию свинец имеет г. ц. к. решетку Бравэ, так что поверхности Ферми для этих металлов в модели свободных электронов оказываются во многом похожими необходимо учитывать лишь, что у свинца сфера имеет на больший объем и поэтому на 10% больший радиус, чтобы в ней могли разместиться четыре электрона, принадлежащих каждому атому (см. фиг. 9.9). Ввиду этого электронные карманы четвертой зоны больше по своим размерам, чем в алюминии, однако они, видимо, также исчезают под действием кристаллического потенциала. Дырочная поверхность во второй зоне меньше, чем в алюминии, а разветвленная трубочная электронная поверхность в третьей зоне является менее тонкой ). Поскольку свинец имеет четную валентность, внутри поверхностей второй и третьей зон должно содержаться одинаковое число уровней, т. е. п] = п1 . Гальваномагнитные свойства свинца оказываются, однако, довольно сложными, поскольку не все орбиты на поверхности Ферми в третьей зоне относятся к одному классу носителей. [c.304]

Цель этой главы — изложить электронную теорию металлов с квантовомеханической точки зрения. В разд. 2 будет показано, как из отдельных свободных атомов образуется твердый металл при этом особое внимание уделяется тому факту, что валентные электроны свободного атома при образовании металлического состояния становятся нелокализованными. В разд. 3 и 4 рассматриваются свойства нелокализованных электронов (электронов проводимости) и модели, применяемые для описания их поведения в твердом теле. Подробно обсуждаются две модели 1) модель свободных электронов, из которой можно получить основные выражения для плотности состояний, теплоемкости, магнитной восприимчивости ИТ. д., и 2) модель почти свободных электронов, с помощью которой можно найти величины, определяющие ширину запрещенной зоны. В разд. 5 вводится понятие поверхности Ферми, а в разд. 6 излагаются наиболее эффективные методы определения параметров, характеризующих эту поверхность. Последние три раздела этой главы посвящены анализу роли электронов проводимости в сплавах (разд. 7), ферромагнетизму (разд. 8) и сверхпроводимости (разд. 9). [c.55]

Для металла, описываемого с помощью модели свободных электронов, поверхность Ферми в к-пространстве является сферической. На самом деле в реальном металле поверхность Ферми, как правило, искажена, особенно в тех случаях, когда она близко подходит к границе зоны Бриллюэна, т. е. к плоскости, где энергетический спектр электронов претерпевает разрыв. Стабильной является такая структура, которая отвечает минимальному значению энергии Ферми. При этом валентные электроны занимают наиболее низкие энергетические состояния. [c.224]

Мы рассмотрим методы, основанные на явлениях (б) и (г), с точки зрения изучения общих свойств поверхности Ферми метод (в) мы уже рассматривали выше, но только для модели свободных электронов. [c.361]

Сфера Ферми для свободных электронов в алюминии содержит в себе всю первую зону Бриллюэна и перекрывается со второй и третьей зонами Бриллюэна. В третьей зоне поверхность Ферми имеет довольно сложный вид, хотя построена она из частей сферы Ферми для свободных электронов. Модель свободных электронов также дает небольшие карманы дырок в третьей зоне, но если потенциал решетки берется так, чтобы учесть эти пустоты , то электроны добавляются в третью зону. Общие свойства предсказываемой поверхности Ферми для алюминия вполне хорошо подтверждаются опытом [20. [c.375]

Как можно ожидать, одновалентные металлы имеют наиболее простые поверхности Ферми, а из числа одновалентных щелочные металлы обладают простейшими ПФ, которые лишь слегка отличаются от идеальной сферической поверхности модели свободных электронов. Из-за малой величины этих отклонений частота F лишь незначительно изменяется с направлением, и чувствительный метод измерения AF состоит в наблюдении осцилляций при вращении образца в постоянном магнитном поле Я. Поскольку отношение F/H имеет обычно порядок нескольких тысяч (3600 для К при 5 10" Гс), прохождение одной осцилляции при вращении образца соответствует относительному изменению частоты F, равному [c.230]

Очевидно, что конкретный механизм рассеяния электронов играет для термоэлектричества важную роль. Можно, например, предположить, что электроны, имеющие большую скорость, должны рассеиваться атомами решетки под меньшими углами, чем электроны с меньшей скоростью. Другими словами, средняя длина свободного пробега электронов будет зависеть от их кинетической энергии. Это верно в целом, но конкретная взаимосвязь длины пробега и энергии сложна и сильно зависит от электронной структуры решетки. Сложность связи между длиной пробега и энергией электронов не дает возможности получить количественное описание термоэлектричества, хотя качественно картина явления проста. Другими словами, наших сведений о поверхности Ферми реального металла недостаточно для вычисления термо-э.д.с. Следует отметить, что для полупроводников ситуация проще, поскольку число электронов и дырок, участвующих в процессе проводимости, значительно меньше. В этом случае модель электронного газа, в которой частицы подчиняются статистике Максвелла — Больцмана, лучше отражает истинную природу явления. [c.268]

Зонная энергетическая структура кристалла в большинстве случаев может быть описана на основе модели почти свободных электронов, в которой на электроны в разрешенной зоне действует лишь возмущающее слабое поле периодического потенциала ионных остовов. На основе этой модели часто можно объяснить как общие черты зонной структуры, так и тонкие детали формы наблюдаемых поверхностей Ферми. Мы также укажем на те случаи, когда зонная трактовка неприменима. Но она качественно позволяет найти ответ почти на все вопросы, касающиеся поведения электронов в металле. [c.310]

В 2 мы установили связь между циклотронными частотами и геометрией ферми-поверхности. Как видно из соотношения (2.10), она выражается через производную по энергии от площади, заключенной внутри орбиты в обратном пространстве. В одноволновой OPW модели дело обстоит еще проще волновой вектор свободных электронов вращается с частотой, равной циклотронной частоте для свободного электронного газа [c.146]

С одним из наиболее важных примеров большого изменения скорости при малом изменении волнового вектора мы встречаемся в том случае, когда поверхность Ферми почти свободных электронов близко подходит к брэгговской плоскости (фиг. 26.4). Тогда малый волновой вектор д может соединять точки на поверхности Ферми, лежащие по разные стороны плоскости, и электроны в этих точках имеют почти противоположно направленные скорости. Подобное событие называют процессом переброса ). В рамках модели почти свободных электронов возникающее большое изменение скорости можно рассматривать как результат индуцированного фононом брэгговского отражения ). [c.152]

Решение. В качестве модели электронного газа используем низкотемпературный (9 4 ер) идеальный ферми-газ — N заряженных (eэ , = -е) частиц в объеме V, на однородном положительно заряженном фоне (модель желе ) с плотностью заряда р = еЫ/У. Эта модель, игнорирующая не только пространственную структуру ионной решетки металла и соответствующие изменения геометрии поверхности Ферми (см. гл. 2, 2, п. в) 3), но и вклад относительно тяжелых и малоподвижных (по сравнению с электронами) ионов в общие термодинамические характеристики системы, достаточно распространена в электронной теории металлов как самая простая и однокомпонентная. Удельные значения внутренней энергии, энтропии, теплоемкости и свободной энергии определяются выражениями (см. 2, п. в)-2) [c.290]

Как в общих чертах отмечалось в историческом введении (разд. 1.2), модель почти свободных электронов (ПСЭ), оказывается, дает удивительно точное представление о форме поверхностей Ферми многих поливалентных металлов, которые можно считать простыми в том смысле, что их с1-зоны не слишком близки к уровню Ферми. В самом грубом приближении свободных электронов (СЭ) поверхность — просто сфера в расширенном А -пространстве, объем которой отвечает правильному числу валентных электронов на атом. Если все части этой сферы, попадающие в различные зоны, перенести в периодически повторенную основную зону (в первую зону Бриллюэна), то мы получим несколько отдельных листов ПФ, как показано на рис. 5.15. Решеточный потенциал, или, [c.260]

При ф=4,4 эВ и Ig / от О до 7а варьируется от 0,08 до 0,2 эВ, Величина о с повышением Т возрастает, в частности при 300 К (в том же диапазоне ) а изменяется от 0,17 до 0,3 эВ. Форма спектра отклоняется от теоретической (в модели свободных электронов) при сложной конфигурации ферми-поверхпоети или при наличии адсорбир. молекул и атомов на поверхности, особенно если они неметаллич. происхождения (нанр., нек-рых органич, молекул, к-рые играют роль волноводов для электронных волн). [c.23]

Бор является полупроводником. Кристаллическая структура галлия (сложная ромбическая) дает в модели свободных электронов поверхность Ферми, простирающуюся до девято зоны. Индий имеет центрированную тетрагональную решетку, которую можно рассматривать как г. ц. к. решетку, слегка вытянутую вдоль одно 1 из осей куба по многим своим электронным свойствам он незначительно отличается от алюминия. Таллий — самы тяжелый г. п. у. металл, поэтому он обладает наиболее сильной спин-орбитальной связью. Его поверхность Ферми напоминает, видимо, поверхность свободных электронов, изображенную на фиг. 9.11, в которой сохранено расщепление на шестиугольных гранях (в отличие от самого легкого из г. п. у. металлов — бериллия). [c.300]

После довольно значительной предварительной исследовательской работы [383, 385] метод импульсного сильного магнитного поля был впервые систематически применен Голдом [168] (1958 г.) для под-робного изучения зависимости от ориентации достаточно сложного спектра частот свинца (см. рис. 5.19). Его интерпретация полученных экспериментальных результатов представляла собой важный вклад в понимание поливалентных металлов. Интерпретация производилась для поверхности Ферми в модели почти свободных электронов (ПСЭ) — модели, которая на первый взгляд казалась совсем неподходящей для металла с большим атомным номером, подобным свинцу. В схеме приведенных зон различные части, которые отсекаются от сферы свободных электронов гранями зоны Бриллюэна, вновь складываются в своих зонах. Получающиеся части ПФ дают грубое представление о том, как может выглядеть ПФ, если периодический потенциал допустимо рассматривать как относительно слабое возмущение. Отдельные части ПФ, полученной с помощью модели ПСЭ, показаны на рис. 5.15, и можно видеть, что существует множество экстремальных сечений. Некоторые из них были правдоподобно идентифицированы Г олдом с отдельными ветвями наблюдаемого спектра частот. Несколько лет спустя Андерсон и Голд [18] (1965 г.) предприняли еще более подробное исследование свинца (см.рис. 5.19), используя значительно усовершенствованную методику эксперимента, и подтвердили в главных чертах первоначальную интерпретацию Голда, выявив еще много ветвей спектра, предсказанных моделью ПСЭ, но не обнаруженных в первой работе. [c.36]

Приведенные выше оценки, основанные на модели свободных электронов, на самом деле дают довольно верное представление о том, что в действительности наблюдается в одновалентных металлах. Однако поливалентные металлы имеют гораздо более сложные поверхности Ферми, иногда состоящие из нескольких отдельных частей, причем размеры некоторых частей могут быть значительно (иногда в 100 раз) меньше, чем 10 см кроме того, их форма обычно далека от сферической. Орбиты в реальном пространстве тоже, конечно, соответственно меньше. Циклотронная масса также может значительно отличаться от т . Так, для висмута отношение т/т для некоторых направлений поля составляет 1/100 (а циклотронная частота соответственно в 100 раз выше, чем для свободных электронов), в то время как для некоторых орби в ферромагнитных металлах величина т/т может достигать 10. Наконец, для некоторых частей ПФ поливалентного металла энергия Ферми (отсчитываемая от самого низкого состояния энергетической зоны, соответствующей этой части ПФ) может быть гораздо меньше, чем несколько электронвольт, как в модели свободных электронов. [c.57]

В первое время поело завершения разработки теории Зоммерфельда полагали, что наблюдаемое на опыте влияние магнитного ноля на сопротивление металлов может быть приписано тепловому разбросу скоростей электронов, т. е. к Г (см., например, [105]). Однако расчет показал, что такое предположение может объяснить только малую часть наблюдаемого в действительности влияния магнитного поля на сопротивление металлов и не способно интерпретировать ряд других особенностей этого явления. Бете [106] и Пайерлс [107] предположили, что вариации электронных свойств различных металлов могут быть связаны с характерным для каждого из них отступлением от идеальной изотропной модели свободных электронов. Так, с одной стороны, влияние периодического поля решетки может привести к тому, что электроны, обладающие одинаковыми энергиями (фермиевскидш), будут иметь при движении в разных направлениях различные скорости. Это означает, что поверхность Ферми (поверхность постоянной энергии электронов) в простраистве импульсов отличается от сферической. [c.198]

Аналогично с (50.21), сдвиг одноэлектронных состояний при электрон-фононном взаимодействии можно найти, дифференцируя (50.20) по Пд.. Для единичного электрона при низкой температуре (Пд = 0) мы это выше уже обсуждали. Исходя из (50.20), расширим эти результаты на случай электронного газа (т. е. на какой-либо газ свободных ферми-частиц и произвольное возбуждение фононной системы). Одним из важнейших результатов для газа свободных электронов будет изменение E k), в особенности вблизи k = kp, т. е. вблизи поверхности Ферми. В то время как в точке k = kp не происходит изменения, энергии В ниже поверхности Ферми смещаются к более высоким, а выше поверхности Ферми — к более низким значениям. Величина dEldk, следовательно, там будет меньше. Другими словами, это означает, что скорость электронов вблизи поверхности Ферми уменьшается. Мы не будем останавливаться на этих поправках к одноэлектронному приближению зонной модели, тем более что по сравнению с этими поправками становится существенным рлияние электрон-электронного взаимодействия. Следовательно, электрон-электронное взаимодействие и электрон-фононное взаимодействие должны рассматриваться совместно. Укажем по этим вопросам на книгу Пайнса Г16]. Более глубокое сбсуждение уравнения (50.20) дает Тейлор [19]. [c.206]

Некоторые численные результаты, основанные на этих формулах, представлены и обсуждены в приложении. 7 для случаев а) типичного металла, имеющего ббльшую поверхность Ферми, близкую к модели свободных электронов, и б) висмута, который служит примером противоположного крайнего случая малой и весьма анизотропной поверхности Ферми. Там приведены также приближенные значения коэффициента анизотропии (l/F)(dF/d0) из уравнения (2.114), который определяет отношением кМц, и кратко обсуждаются порядки величин для двумерного металла (см. п. 2.3.4). В связи с экспериментальными методами можно сделать следующие общие выводы. [c.117]

Поверхности Ферми поливалентных переходных металлов (как с незаполненными /-оболочками, так и с незаполненными /-оболочками) сложнее, чем те ПФ, которые мы до сих пор рассматривали. Это объясняется главным образом тем, что уровень Ферми находится как раз в середине /-зоны, так что модель свободных электронов нельзя использовать даже в качестве грубого приближения при интерпретации сложного спектра частот дГвА. Дополнительное усложнение заключается в том, что в некоторых из этих металлов достаточно сильное обменное взаимодействие приводит к ферромагнетизму, а в Р1 и Рс1 электрон-электронное взаимодействие обусловливает сильный парамагнетизм. Несмотря на эти трудности, за последние 15 лет произошел значительный прогресс в расшифровке сложных ПФ большинства переходных металлов (обзор см. в работе [284]). Это произошло как благодаря усовершенствованиям в технологии, которые дали возможность получать чистые и достаточно совершенные монокристаллические образцы, так и благодаря улучшению измерительной и вычислительной техники и развитию теории зонной структуры. Все это позволило успешно интерпретировать экспериментальные данные. В последующем рассмотрении мы остановимся только на некоторых важных моментах и приведем несколько примеров для иллюстрации сложности результатов. Мы не будем обсуждать редкоземельные металлы (с незаполненными /-оболочками) отметим только, что они обладают особенно сложными поверхностями Ферми, о которых пока еще далеко не все известно подобный обзор содержится в работе [480]. [c.272]

ПФ, ясно, что существует серьезная опасность неправильной интерпретации сложного спектра частот дГвА. В тех случаях, когда модель свободных электронов неприложима, ситуация становится еще более запутанной, и для сколько-нибудь надежной расшифровки обычно приходится прибегать к теоретическим расчетам зонной структуры. ПФ u2Sb, полученная в работе [221] с помощью расчета зонной структуры, приведена на рис. 5.30 в качестве типичного примера сложной поверхности Ферми. Эта поверхность позволяет получить только полуколичественную интерпретацию весьма сложного спектра наблюдаемых частот дГвА. [c.290]

Чемберс [71] показал, что соображения, основанные на модели почти свободных электронов, применимы и для более общих моделей. В частности, он вывел полезное выражение, определяющее только через локальные характеристики поверхности Ферми в области пробоя. Для ПФ, схематически показанной на рис. 7.3, значение может быть с хорошей точностью определено формулой [c.402]

Мы выяснили, что существование энергетических зон — важнейшая особенность энергетического спектра электронов в кристалле. Построение энергетических зон — сложная задача теории твердого тела и, например, изложение методов построения зон выходит за рамки данного курса. Полезно дать предсгавление о виде энергетических зон и связанных с ними ферми-поверхностей в простом приближении. В качестве такого мы выбрали модель пустой решетки, т. е. решетки, характеризующейся исчезающе малым по величине периодическим потенциалом. Ввиду предельной слабости потенциала энергетические зоны пустой решетки строятся на основе приближения свободных электронов. [c.83]

Не объяснены аномалии при постоянной концентрации валентных электронов. Форма аномалии приблизительно такая же, какая была предсказана для кривой EjK с резким изгибом этой характеристики вместо разрыва, как и для твердого состояния, так как рь является функцией энергии Ферми. Эта изогнутая кривая предложена Эдвардсом [328] на основе теоретических расчетов (см. рис. 14). Такие изменения dEldK будут коррелировать с кривой плотности состояний, которая имеет один минимум и два максимума величины Е это произойдет при значении Е, соответствующем примерно двум электронам на атом по аналогии с твердым состоянием. Кривая N(E) такого вида была вычислена Ватанобе и Танака [322] для жидкого цинка из кривых EjK, полученных на основании модели почти свободных электронов Эдвардсом [328]. Кривая плотности состояний для жидкости, конечно, не возвращается к значению NE=0 при более высоких значениях Е, а продолжается вплоть до второй энергетической зоны, т. е. кривая приближается к параболической зависимости для состояния свободных электронов. Аномалии в рь могут получиться при значении концентрации валентных электронов на атом 2,3 скорее, чем при 2, из-за уменьшения резкого определения как поверхности Ферми, так и краев энергетических зон в жидком состоянии. [c.124]

В дальнейшем благодаря главным образом работам Джонса 160—63] стабильность электронных фаз при помощи простой электронной теории металлов была связана с взаимодействием между поверхностью Ферми и зонами Бриллюэна при этом особо подчеркивалось влияние такого взаимодействия на плотность состояний N Е) у поверхности Ферми. у- и е-латуни обладают соответственно кубической объемноцентрированной, сложной кубической и гексагональной плотноупакованной структурами , для которых в момент соприкосновения поверхности Ферми для свободных электронов с основными гранями соответствующих зон Бриллюэна последние оказываются в значительной мере заполненными. Моменту соприкосновения поверхности Ферми с границей зоны Бриллюэна отвечают критические значения электронной концентрации так, для р-латуни в момент контакта е/а = 1,48, для улатуни при соприкосновении поверхности Ферми с гранями 330 и 411 большой зоны Бриллюэна электронная концентрация е а — 1,54 и, наконец, для е-латуни внутренняя зона оказывается в основном заполненной при ela = 1,75. Эти значения отношений числа валентных электронов к числу атомов, полученные на основе модели зон Бриллюэна, очень близки к первоначальным значениям е/а, полученным из химических формул (ср. 1,5 1,62 и 1,75 с 1,48, 1,54 и 1,75), однако необходимо помнить, что в обоих случаях указанные значения выведены на основе определенных моделей, развитых специально для интерпретации стабильности электронных фаз. В настоящее время известно, что химические формулы применять нельзя, а при использовании простой модели зон Бриллюэна возникает следующее ограничение, о котором уже упоминалось выше для приведенных значений е/а необходимо было бы допустить, что энергетический разрыв на границе зоны Бриллюэна равен или близок к нулю. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...