Интегрирование дифференциальных операторов

Б.4. Интегрирование дифференциальных операторов [c.476]

Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется усовершенствовать программу. Например, для интегрирования дифференциальных уравнений движения использовать стандартную подпрограмму, реализующую метод Рунге — Кутта дополнить программу операторами, определяющими относительное рассогласование за время т величии шц, ei 5 организовать печать текстовой шапки> таблицы результатов и т. д. [c.95]

Линейные дифференциальные операторы и их альтернаты. Основной задачей в теории канонических систем является, конечно, задача интегрирования, о чем мы дадим краткое понятие в 6—12. Но предварительно мы остановимся в этом и в двух следующих параграфах ( 4 и 5) на некоторых вспомогательных понятиях, которые выясним вообще для систем дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида, применять же их будем всякий раз только к случаю канонических систем. Начнем с напоминания некоторых совсем элементарных понятий. [c.268]

Для получения разрешающих уравнений воспользуемся известным приемом вариационного исчисления. Выполним интегрирование по частям и избавимся в (3.20) от дифференциальных операторов при вариациях перемещений. Тогда [c.78]

Далее в выражении (4.125) путем интегрирования по частям избавимся от дифференциальных операторов стоящих при вариациях б Хп , и получим [c.153]

Здесь следует отметить, что искусственная эскалация ) порядка дифференциального уравнения путем воздействия на него дифференциальным оператором приводит к уравнению, которое яе идентично исходному в том, что оно имеет больше решений, -чем исходное. Дополнительные решения не связаны с физическим соотношением, которое могло бы описать исходное уравнение. Например, общее решение уравнения (2.2) — Eld w/dx содержит две произвольные постоянные интегрирования, которые можно использовать для удовлетворения условий на концах. Если [c.121]

Интегрирование полученного соотношения достаточно просто осуществляется по известным характеристикам дифференциального оператора, стоящего в левой части [130]. [c.402]

R sin Q dR dQ dф]. Для определения преобразования дифференциальных операторов в результате замены координат используется цепное правило [см. формулы (6.8) и (6.9)], а для определения элемента объема интегрирования в новых координатах используются известные формулы (см., например, формулу (5.7) в книге [72]). [c.134]

Так как динамические переменные являются интегралами движения, то = 0. Заметим также, что Тг [iL6 a — а)] = О, поскольку L является дифференциальным оператором, а символ Тг означает интегрирование по фазовому пространству. Тем самым (9В.5) доказано. [c.275]

Оператор (ф ) можно записать иначе, если внести дифференциальный оператор под знак интеграла. При этом, чтобы представить получающийся интеграл в сходящейся форме, нужно воспользоваться тем, что Эг/Эх/ = = -Эг/Эх/, и после интегрирования по частям с учетом условия ф = О на границе ЬС перебросить одно дифференцирование с ядра (IIг) на искомую функцию Фз. Получим в результате [c.84]

Система уравнений движения динамической теории упругости (Д.4) или эквивалентные ей системы (Д.7), (Д.8) очень сложны для интегрирования из-за сложной структуры дифференциальных операторов. Однако процесс интегрирования можно упростить, используя теорему Гельмгольца, которая позволяет любое гладкое векторное поле представить в виде. [c.198]

Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. В рамках канонического формализма явные выражения для гейзенберговских операторов определяются известной формулой Швингера (2.44). В ряде случаев более удобным оказывается метод Янга — Фельдмана, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих соответствующую квантовую систему, путем переформулировки их в интегральном виде с автоматическим учетом граничных условий и последующего разложения искомых решений в ряд по степеням Я. [c.230]

Гиперболические операторы образуют важный класс дифференциальных операторов в частных производных простейший его представитель — волновой оператор второго порядка. Фундаментальное решение любого гиперболического оператора в неособой точке задается интегральной формулой, контур интегрирования которой — компактный (вообще говоря, относительный) цикл в СР зависящий от этой точки. Это позволяет исследовать качественное поведение фундаментального решения методами теории монодромии и определяет сходство такого исследования с материалом предыдущего параграфа. Вот краткий словарь параллельных понятий в этих двух теориях. [c.189]

Все основные известные теории пластичности, как отмечал уже Прагер 2 1, и в том числе его теория, основаны на некоторых ланей-, ных соотношениях между тензорами, полученными путём дифференцирования и интегрирования девиаторов напряжений и деформаций и кроме того на некоторых скалярных соотношениях между их инвариантами. Вводя параметр А, как это сделано в 5, и обозначая через Ь интегро-дифференциальный оператор согласно (1.70), мы можем записать основное соотношение [c.82]

Функционал / вычисляется интегрированием по частям (этот прием широко применяется в теории дифференциальных операторов) [c.20]

МИ шаблонами. Суш ествуют конечно-разностные схемы, в которых производные по одному из двух направлений т] аппроксимируются явным образом, что с необходимостью накладывает ограничения на соотношение шагов интегрирования по и т]. В работе [2] приводятся разностные схемы, которые устойчивы для модельного уравнения. В работе [36] производные по т] аппроксимируются явным образом так, что конечно-разностное представление дифференциального оператора сой/йт] всегда остается положительным, что достигается слежением за направлением со. Отметим, что приведенные схемы, хотя и обладают хорошей устойчивостью и сходимостью, накладывают суш ественные ограничения на шаги интегрирования, и это приводит к трудностям при решении ряда сложных задач теории пограничного слоя. [c.340]

Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении задач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра. [c.598]

Согласно принципу Вольтерра операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке [155]. Поэтому, чтобы получить решение задачи наследственной теории упругости, нужно сначала построить решение обычной задачи и В окончательных результатах заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам. Основное ограничение для применения принципа Вольтерра состоит в том, чтобы вид граничных условий сохранялся неизменным. [c.266]

Операторам сглаживания (И), ( 12), (14) характерен общий недостаток в процессе интегрирования вовсе не учитывается зависимость переменной z от времени t, т. е. никак не учитываются свойства дифференциального уравнения (1). Поэтому правомерной является постановка задачи о конструировании таких операторов усреднения, которые каким-то образом учитывали бы частично информацию о динамических свойствах решений. Построим два таких оператора. [c.24]

Системы сравнения (117) и. (118) имеют одно характерное свойство. Оператор усреднения но фазовым переменным у приводит к разделению движений , т. е. к расщеплению системы дифференциальных уравнений т + м-го порядка на две подсистемы, интегрирование которых может быть выполнено независимо. Одна подсистема, определяющая медленные усредненные переменные х, имеет порядок т, вторая, определяющая у, имеет порядок п. [c.47]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

Оператор А(у), соответствующий краевой задаче, строится при помощи умножения левой части дифференциального уравнения на произвольный элемент V е V (умножение является скалярным, если дифференциальное уравнение векторное) с последующим интегрированием по области Г) изменения независимых переменных. После т-кратного применения формулы интегрирования по частям (формулы Грина) возникает билинейный функционал, обозначаемый А и),у), величина А и) в котором и определяет оператор над решением при вариационной (слабой) постановке краевой задачи. Во многих случаях элемент А(и) е V, хотя это не обязательно. [c.97]

Вычислив матрицу (31,3), а затем образовав произведение (31,1), т. е. просуммировав по и проинтегрировав по углам, мы получим среднее значение вектора поляризации (причем, полученная нами величина будет иметь смысл поперечного сечения). Это так называемая полная поляризация. Если же в произведении (31,1) не проводить интегрирования по углам 0, ср, то получится так называемая дифференциальная поляризация, представляющая наибольший интерес. Она имеет смысл дифференциального сечения а именно, она является средним значением оператора спина частиц, попадающих в единицу времени в телесный угол 2, если поток падающих частиц единичный. Для дифференциальной поляризации мы будем использовать обозначе- [c.174]

Так как операции дифференцирования и интегрирования ио времени и по пространственным координатам взаимно независимы, оказывается возможным разделить решение задачи на две части. Сначала решается упругая задача, причем Е считается константой, а затем в полученных формулах Е заменяют оператором (1) и полученное дифференциальное уравнение по времени интегрируют с учетом начальных условий. [c.215]

Если подействовать оператором D г) на правую и левую части соотношения (20.51), произвести дважды интегрирование по частям и использовать уравнения (20.49) и (20.42), то найдем, что ф (л) подчиняется дифференциальному уравнению [c.571]

Нахождение операторов X, перестановочных с I), является в общем случае задачей, по сложности сопоставимой с интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений (4.1). Поэтому аппарат теории алгебр и групп Ли становится эффективным, когда допустимые операторы найдены из дополнительных условий, например геометрических. Тем не менее указанный аппарат дает эффективное средство для исследования в общей теории дифференциальных уравнений. Теория групп и алгебр Ли стала самостоятельной теорией и находит широкое применение в физике механике и других дисциплинах. [c.43]

Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений осуществляется по методу Рунге—Кутта четвертого порядка. Обращение к соответствующей подпрограмме КК4 выполняется с помощью оператора 250. В случае сбойной ситуации управление передается на метку 8 и печатается текстовая информация СБОИ в ПР КК4 . Нормированные граничные условия (2.22) за- [c.123]

Можно показать, что уравнения принципа возможных изменений напряженного состояния (1.65), (1.66) приводят к условиям совместности. Для этого напряжения 8а нужно выразить через функции напряжений (функции Эри, Максвелла, Морера), т. е. представить 5o=W6s (где W — прямоугольная матрица дифференциальных операторов, такая, что L W = 0 6s — вектор-столбец независимых функций напряжений) и выполнить интегрирование по частям. [c.19]

Изложенный выше подход связан с дифференциальными операторами специального типа (самосопряженными операторами), которые входили во все наши уравнения. В начальных главах мы выводили уравнения ПМГЭ, используя процедуру интегрирования по частям. Такой подход является более обш,им, чем представление F i в виде симметричного произведения, что приводит к (Б.6) и (Б.9). Пусть общее дифференциальное уравнение представляется в виде [c.476]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Здесь дифференциальные операторы div и rot берутся для координат х , у г ) точки интегрирования г в элементе объема dV, а квадратные скобки означают запазйбгваюи мезяаче , т. е. внутри каждой скобки аргумент заменяется на I—R/ . . [c.88]

Предполагая здесь и в дальнейшем, что оператор преобразования Фурье коммутативен с оператором дифференцирования д/дРо, после умножения всех членов уравнений (4-1-Q)— (4-1-3) на os и интегрирования по X от О до 1, 1исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом (5-2-4)—(5-2-5) можно преобразовать к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений [c.157]

Интегрирование нелинейной системы дифференциальных уравнений (4) можно выполнить численно. В системе Maple V для этого предназначен оператор dsolve (с. 373). [c.328]

Таким образом, задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1.4) решается в три этапа. Вначале находятся элементы Ж+ и Л- в виде (1.26) или (1.27) как решения уравнений (1.25) затем с помощью тождества (1.6.4) восстанавливаются элементы Jf+, Jf- и go, параметрлзующие операторы А+ (1.23). Наконец, из сравнения разложений (1.23) и [c.123]

Символ б, или дельта-оператор, означает малые произвольные изменения зависимой переменной А при фиксированных значениях независимой переменной х. Как видно из рис. 6.3, в заданной точке XI величина бД есть амплитуда В —А. Отличие дельта-оператора б от оператора дифференциального исчисления йу заключается в том, что последний связывает йхсйу. Иными словами, йу характеризует расстояние по вертикали между точками данной кривой, находящимися на расстоянии с1х. Важным свойством оператора дельта, используемого при построении вариационных соотношений, является коммутативность по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования, т. е. [c.162]

В систему автоматического регулирования дозаторов непрерывного действия находят широкое применение блоки формирования регулирующего воздействия в виде электрических или пневматических сигналов. Блоки могут работать в режиме автоматического (АУ) и ручного управления (РУ). В режиме АУ блоки РБА формируют регулирующее воздействие по одному из следующих законов пропорциональному (П), пропорционально-дифференциальному (ПД), пропорционально-интегрально-дифференциальному (ПИД). В режиме РУ регулирующее воздействие выполняет оператор. В зависимости от конструктивного исполнения и значений настроек постоянная времени интегрирования = 5-г500 с 20—2000 с 0,5—50 с. Постоянная времени дифференцирования Тд = О-ь 100 с 0—400 с 0—10 с. Постоянная времени фильтра Тф=0 10с 0-20 с. [c.260]

Уравнение (14.6) называется дифференциальным уравнением Фурье. Оператор Лапласа V t имеет также определенный физический смысл. Положительный или отрицательный его знак соответствует нагреванию или охлаждению тела. Нулевое значение оператора соответствует стационарному режиму (дtlдx = 0), когда распределение температуры в теле сохраняется неизменным во времени. В этом случае в результате двойного интегрирования уравнения (14.6) могут быть получены расчетные формулы теплопроводности, выведенные в 13.3 без учета внутренних источников теплоты. [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...