Центральная сила — функция расстояния

Пример. Центральная сила — функция расстояния. Приведем для примера к каноническому виду уравнения движения точки на плоскости под действием центральной силы, являющейся функцией расстояния. Примем центр сил за начало координат и введем полярные координаты гиб, которые будут играть роль параметров д и д . Полагая массу равной единице, получим для кинетической энергии выражение [c.471]

Наконец, приведем случай центральной силы, являющейся функцией расстояния от центра силы. Совмещая начало коорди- [c.68]

Если известна траектория, которую описывает точка под действием центральной силы, то, пользуясь теоремой о моменте количества движения, можно найти эту силу как функцию расстояния г от точки до центра силы. [c.294]

Замечание. — Движущаяся точка может находиться под одновременным действием нескольких центральных сил, являющихся функциями от расстояния и вызываемых притяжением или отталкиванием различных неподвижных центров. В этом случае тоже имеется силовая функция, равная сумме силовых функций, относящихся к каждой из центральных сил в отдельности (п° 127). [c.155]

Покажем, что если центральная сила является функцией только расстояния между центром и движущейся частицей, то вопрос о движении частицы решается с помощью двух квадратур. Действительно, пусть [c.175]

Решение задачи о движении точки в плоскости экватора сжатого сфероида, использованное в главах 2 и 4, основывается на существовании двух интегралов движения для случая любой центральной силы, зависящей от расстояния, вследствие чего задача может быть сведена к квадратурам [80] или подвергнута непосредственному качественному анализу [47]. Небезынтересно рассмотреть это решение применительно к конкретной задаче о движении экваториального искусственного спутника Земли. Решение этой задачи в полярных координатах выражается в эллиптических функциях. Учитывая, что общую задачу о движении спутника удобно решать в оскулирующих элементах [61], полезно выявить характер их изменения в случае, допускающем точное решение, чтобы проследить связь между свойствами движения и поведением оскулирующих элементов. [c.400]

Центральная сила направлена к некоторому центру, а ее модуль является функцией расстояния от точки до центра. [c.345]

Таким образом, силовая функция поля тяготения двух точек определяется так же, как и для поля центральной силы, но переменной служит уже не радиус-вектор точки, а расстояние между взаимодействующими точками. [c.61]

Задача 1084. Точка М под действием центральной силы описывает окружность радиусом R, причем центр притяжения О находится на этой окружности. В момент, когда точка находится на расстоянии 2R от центра притяжения, ее скорость равна v ,. Определить скорость точки как функцию расстояния г = ОМ. [c.377]

Рассмотрим в объеме V газ из N одноатомных молекул, взаимодействующих посредством центральных сил, характеризуемых взаимным потенциалом Ф( Ч1—Чг]) =Ф( ). На больших расстояниях атомы притягиваются, а на достаточно малых — отталкиваются, так что график функции Ф(г) имеет вид, изображенный на рис. 45. То расстояние между центрами частиц а, при котором энергия отталкивания начинает резко увеличиваться, можно назвать их диаметром. [c.267]

Центральная сила — функция расстояния. Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна Г (/ ), то в полярных координатах гиб функция Н будет иметь вид [c.484]

Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния. Законы Кеплера. Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния, является одной из самых важных центральных сил и поэтому заслуживает подробного рассмотрения. Эта сила и ее потенциал выражаются следующими функциями от г [c.92]

Пусть точка движется в поле центральной силы, представляющей степенную функцию от расстояния г. Показать, что задача о движении этой точки может быть решена в эллиптических функциях при следующих значениях показателя степени [c.106]

После выполнения интегрирования это равенство можно разрешить относительно энергии Е = Н, что даст нам Н как функцию переменных /,р, /9, ly Следует заметить, что переменные /ф и /0 войдут при этом в в виде суммы /9 + /ф, что указывает на равенство частот Vif, и V0, т. е. на вырождение. Заметим, что, делая это утверждение, мы не пользуемся тем фактом, что сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Следовательно, движение под действием центральной силы всегда имеет, по крайней мере, одну степень вырождения. [c.330]

С другой стороны, F как центральная сила консервативна (т. I, гл. VII, п. 29, в) точнее, если, как это обычно принято в теории центральных сил, обозначим через г расстояние ОР и через о (г) составляющую по направленной прямой ОР силы F (отнесенной к единице массы), то потенциал U будет определенной функцией от г (по крайней мере с точностью до аддитивной постоянной), определяемой равенством [c.84]

I. Общий принцип. Пусть имеется сколько угодно тел М, М М",..., которые действуют одно на другое каким-либо способом и которые, кроме того, двигаются под действием центральных сил, пропорциональных каким-либо функциям расстояний пусть s, s, s",... обозначают пространства, пройденные телами за время t, а и, и, и ,... пусть будут их скоростями к концу этого времени выражение [c.117]

В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения (1.1). Часто бывает удобно рассматривать предельные случаи, в которых между точками происходят только дискретные взаимодействия с конечными импульсами (жесткие столкновения) при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих биллиардных шаров , которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным а, так что большее сближение невозможно. [c.23]

Движение материальной точки в поле центральной силы. Потенциальная энергия является функцией только расстояния г от центра сил и поэтому [c.730]

Помимо центральной силы Гх, направленной к неподвижному центру, на точку массы т действует сила Г2 = — Ру, где скалярный коэффициент Р зависит от времени, расстояния г до центра и от скорости V точки, причем функция Р( , г, V) ограничена. Показать, что траектория точки будет представлять собой плоскую кривую. [c.67]

В отнощении внутримолекулярного движения оба атома каждой молекулы пусть ведут себя, как материальные точки, сконцентрированные в центрах атомов, и действуют друг на друга с силой, направленной вдоль соединяющей их линии и являющейся функцией расстояния между ними. Внутримолекулярные движения должны, следовательно, являться обыкновенными центральными движениями ). Взаимодействие же двух разных молекул должно состоять в том, что каждые два атома первого сорта с массами соударяются как бесконечно мало деформируемые упругие шары но между атомами первого и второго сорта, если они принадлежат разным молекулам, так же как и между атомами второго сорта, никакое взаимодействие не должно иметь места [ < 1. [c.513]

Первое такое предположение, которое мы рассмотрим более подробно, заключается в том, что между атомами в молекуле действуют только центральные силы. Таким образом, мы будем считать, что сила, действующая на данный атом в молекуле, является результирующей сил притяжения и отталкивания его всеми другими атомами и что величины этих сил зависят только от расстояний до данного атома, а их направления совпадают с линиями, связывающими другие атомы с данным. Это равносильно предположению, что потенциальная энергия есть чисто квадратичная функция изменений Q расстояний li между атомами (центрально-силовые координаты) без каких-либо перекрестных членов [c.178]

Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. F = f(r) (рис. 175). [c.302]

Перейдем к рассмотрению свободных многоэлектронных атомов. Структура энергетического спектра сложных атомов обладает значительным сходством со структурой спектра атома водорода. Физическая причина этого сходства заключается в том, что и в более сложных атомах каждый электрон находится под действием приблизительно центральных сил с центром, расположенным на ядре. Как и в случае атома водорода, потенциальная энергия отдельного электрона является и в рассматриваемом случае функцией только расстояния от ядра. Уравнение Шредингера для многоэлектронного атома, как и для атома водорода, решается в сферических координатах методом разделения переменных, и при его решении находятся аналогичные наборы значений квантовых чисел п, /, т/, а выражения для угловых частей собственных волновых функций этого уравнения оказываются точно такими же, как и в случае атома водорода. Однако энергия отдельного электрона теперь оказывается зависящей не только от п, но и от что приводит к расщеплению атомных уровней энергии. [c.20]

В 73 показано, что потенциальная энергия материальной точки, находящейся в поле ньютоновой силы притяжения, является функцией расстояния от точки до центра притяжения. Это положение справедливо и при другом законе изменения центральной силы [c.540]

Консервативные системы. — Консервативными системами называют системы, к которым применима теорема энергии, т. е. энергия которых остается постоянной при отсутствии внешних сил. Мы показали выше, что материальные системы консервативны, если предположить, что внутренние силы центральные и представляют собой функции от расстояний. Однако это условие не является необходимым для того, чтобы система была консервативной. Достаточно, чтобы внутренние силы были консервативны, т. е. чтобы они имели силовую функцию —П, или, что представляет собой одно и то же, чтобы сумма их элементарных работ выражалась полным дифференциалом — 11. Действительно, доказательство теоремы энергии основывается только на одном этом свойстве. [c.26]

Центральные силы. Силы называются центральными,, если они проходят через неподвижную точку О, которая при этом называется центром, сил. Под действием центральных сил точка описывает кривую, лежащую в некоторой плоскости, проходящей через центр сил О. Примем плоскость траектории за плоскость координатных осей х, у с началом в центре сил О. Центральную снлу будем считать положительной, если она отталкивающая, и отрицательной, если она притягивающая. Для движения под действием центральных сил, зависящих от расстояния г движущейся точки до центра О, имеют место два первых интеграла — интеграл площадей и интеграл живой силы, потому что момент центральных сил относительно центра сил всегда равен нулю, а зависящие от г центральные силы всегда допускают силовую функцию. [c.103]

Координаты хну являются циклическими. Точно так же, если материальная точка массы т движется в плоскости под действием центральной силы, направленной к началу координат, как к центру, и являющейся функцией только расстояния г точка от центра, то, пользуясь полярными координатами, будем имегь [c.401]

Возмущенная круговая орбита. При действии центральной силы притяжения, представляющей функцию одного расстояния, круговая орбита всегда возможна при усювии выбора надлежащих начальных усло ВИЙ. Если а есть радиус орбиты, со — угловая скорость движения по орбите, а (р (г) — ускорение на расстоянии г, направленное к неподвижному центру, то мы должны иметь [c.230]

Потенциальная сила — величина, равная градиенту скалярной функции потен циального силового поля и зависящая от координат и, может быть, от времени (см. подробнее в работе [12 ). Примерами потенциальных сил являются сила тяготения и упругая сила. Сила FV ньютонианекого тяготения (притяжения) есть центральная сила, пропорциональная массе т материальной точки, на которую она действует, обратно пропорциональная квадрату расстояния между этой точкой и центром силы и направленная к ценгру силы [17 , Для материальной точки с мае сой m2 [c.33]

В другой работе Ж. Бертран пришел к выводу, что указанные законы являются единственными, при которых орбиты замкнуты . Г. Кениг доказал, что эти законы единственные, при которых материальная точка описывает алгебраические траектории для всех начальных условий. Ф. Гриффин доказал, что единственный закон, который дает эллиптическую орбиту, когда сила является функцией только расстояния, принимающей действительные значения во всей плоскости, и не обращается в нуль в начале кординат, есть закон Ньютона. А. Лежандр положил начало изучению случаев, когда квадратуры приводят к эллиптическим функциям. Задача о центральном движении может быть решена в эллиптических функциях, если величина [c.106]

Силы Ван-дер-Вааль-са (дисперсионные силы) действуют почти во всех соединениях, но в чистом виде они проявляются только у инертных газов с полностью застроенной электронной оболочкой. Силу Ван-дер-Ваальса можно охарактеризовать как центральную силу, важнейшая особенность которой состоит б том, что она не зависит от числа ближайших соседей. В отличие от кулоновских сил, которые убывают с расстоянием пропорционально 1/а , ван-дер-ваальсовы силы взаимодействия между двумя частицами уменьшаются, как функция расстояния приблизительно в 6-й степени, т. е. пропорционально 1/а . Из-за слабых сил связи в ван-дер- [c.77]

Молекулы типа XY.2. Если при описании нелинейной симметричной трехатомной молекулы исходить из валентных или центральных сил, то необходимо ввести только две потенциальные постоянные. В то же время общеа число частот равно трем. Таким образом, если мы первоначально исходил из центральных сил, действующих между тремя атомами, то можно учесть дополнительную силу, действующую на какой-либо атом У при изменении расстояния между атомом X и другим атомом У. В этом случае потенциальная функция имеет вид [ср. (2,97)] [c.204]

Пирамидальные молекулы типа ХУз- Мы видели, что при трактовке четырехатом-пых пирамидальных молекул типа ХУц иа основе валентных или центральных сил берутся только две потенциальные постоянные, в то время как число частот равно четырем. Следовательно, мы можем ввести две новые постоянные. Так как наиболее общая потенциальная функция (2,153) имеет шесть постоянных, то при выборе этих дополнительных постоянных у нас имеется несколько возможностей. Исходя из системы валентных сил н -следуя Гова рду и Вильсону [462], выберем в качестве допо.шительных сил силы, действующие между атомом Х" п каким-либо атомом V при изменении расстояния между атомом X и другим атомом У, а также силы, стремящиеся изменить один из углов У — X — У под влиянием изменения другого угла, т. е. примем потенциальную энергию н виде (ср. [2,201] и фиг. 58) [c.205]

Если Ф(г) — однозначеная функция от г, как это имеет место в физических задачах, то из (16) следует, что если центральная сила Зсвисит только от расстояния, то скорость одинакова во всех точках, равноудаленных от начала. Ее величина в любой точке зависит только от начального расстояния и начальной скорости, а не от пройденного пути. Так как сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между притягивающими телами, то любое тело солнечной системы, например комета, имеет ту же скорость на данном расстоянии от Солнца, независимо от того, удаляется она или приближается. [c.80]

Рассмотрим класс дис х )еренциальных уравнений я = N (я), где N удовлетворяет определенным условиям дифференцируемости. Нас могут интересовать такие свойства решений я (/), которые являются правилом, а не исключением. Такие свойства называются общими (для данного класса уравнений). Вместо того чтобы пытаться уточнить определение общего , поясним его на простом примере из физики. Рассмотрим непрерывные центральные силы. Если обозначить через г расстояние от центра, то семейство функций К (г), где К есть непрерывная функция,— общее для интересующего нас класса сил. С другой стороны, сила, описываемая законом Кулона К l/r не является общей. Это — весьма специальный, частный случай ). Рюэль и Такенс исследовали, как происходят в общем случае бифуркации торов в торы более высокой размерности. [c.307]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...