ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Явная и неявная схемы из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Для решения нестационарных одномерных задач теплопроводности можно построить большое число разумных разностных схем. Однако мы рассмотрим только те разностные схемы, важность которых подтверждена вычислительной практикой. [c.79] В связи с наличием в нестационарном уравнении теплопроводности двух дифференциальных операторов — по временной и пространственной переменным - различают два вида схем явные и неявные. Рассмотрим особенности этих схем на примере решения одномерной нестационарной задачи (3.1) —(3.3) на равномерных пространственной и временной сетках (см. рис. 3.1). [c.79] 1 мы уже доказали, что записанные разностные уравнения аппроксимируют уравнение теплопроводности с порядком О (Ат+ h ) и граничные условия с порядком О (7г). [c.80] Уравнения (3.22) или (3.23) вместе с уравнениями (3.24) — (3.26) образуют разностные схемы, позволяющие найти сеточную функцию ил Рассмотрим, в чем заключается принципиальная разница между схемами, использующими уравнения (3.22) и (3.23). [c.80] Разностная схема (3.23)—(3.26) называется явной, так как позволяет искомые значения сеточной функции а/ в явном виде выразить через найденные ранее значения Алгоритм численного расчета по явной схеме очень прост и легко программируется. [c.81] Из условия устойчивости следует, что измельчение пространственной сетки должно сопровождаться измельчением временной сетки. Например, при увеличении числа пространственных узлов N в 4 раза, требуется увеличить число шагов по времени в 16 раз. Необходимость соблюдения условия (3.28) приводит к тому, что при определении шага по времени для решения реальной нестационарной задачи мы не можем исходить только из характера протекания во времени изучаемого физического процесса. Это в ряде случаев приводит к неприемлемым затратам машинного времени. Кроме того, при неоправданно большом числе временных шагов может начать проявляться погрешность округления, возникающая в ЭВМ при реализации арифметических операций. [c.81] Проиллюстрируем физический механизм возникновения неустойчивости при расчете по явной схеме на примере плоской стенки без источников теплоты. Положим, что начальная температура стенки равна нулю во всех точках пространственной сетки, кроме одной точки с номером п k (рис. 3.4) Un =- О, п = I,. .. N, пфк, и% 1. [c.82] Из рис. 3.4 видно, что возникает разболтка и получается разностное решение с возрастающими по величине от слоя к слою значениями fu/[, не имеющее ничего общего с точным решением, представляющим функцию, которая принимает только положительные значения и убывает в точке с номером k. Разболтка началась из-за того, что температура и упала в отрицательную область и стала меньше, чем температуры соседних точек, что противоречит физическому смыслу. Нетрудно убедиться, что при расчете на границе устойчивости с шагом Дт = 0,5 получим = 0,5, и == О, ] 0,5, т. е. все температуры положительны и не превышают температур соответствующих им соседних точек на предыдущем временном слое. Дальнейший расчет с шагом Ат = 0,5 привел бы к получению колеблющегося решения и/ с убывающей нормой и . [c.82] Расчет же по неявной схеме при любом Ат дает решение, правильно отражающее качественный характер изменения температуры. [c.82] Эту схему называют схемой с весами. Видно, что схема (3.29) при а О неявная, так как содержит в правой части искомые значения и[, на новом временном слое. Чтобы отличить неявную схему (3.22), последнюю называют чисто неявной. [c.83] Кроме предельных случаев явной (ст = 0) и чисто неявной (а=1) схем достаточно часто применяют схему с весом а =1/2, называемую схемой Кронка — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени Нт Н = = О (Ат + Л ), а также является безусловно устойчивой. Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце 3.3. [c.83] Вернуться к основной статье