Другие задачи в полярных координатах

Другие задачи в полярных координатах [c.102]

S 27. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ [c.103]

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Итак, мы получили, что [c.111]

Сейчас получим другой необходимый нам вид этого уравнения, который является основным для решения задач в полярных координатах. [c.256]

Уравнения Коши. Зависимости между х и д, с одной стороны, и г и , — с другой, в цилиндрических координатах в пространственной задаче такие же, как и в полярных, —в плоской. Поэтому три уравнения Коши (формулы для е , и V, ) такие же, как и в полярных координатах плоской задачи (9.120), три остальные уравнения Коши такие же, как и в пространственной задаче в декартовых координатах, т. е. [c.688]

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149]

Кроме определения кардиоиды, данного в условиях задачи, дадим и другое ее определение. Кардиоида является конхоидой окружности, получающейся при увеличении радиуса-вектора каждой точки данной окружности на постоянный отрезок, равный радиусу этой окружности. Если уравнение кривой (в данном случае окружности) записано в полярных координатах р = то уравнение ее конхоиды р =/(ч ) /. В случае кардиоиды ее уравнение р = f ) + Ь, где Ь — радиус-первоначальной окружности. [c.377]

При помощи соотношения (17.11) можно найти температуру в любой точке конуса при произвольной начальной температуре и произвольной температуре поверхности. Аналогичным образом можно рассматривать и задачи для твердых тел, ограниченных другими поверхностями в полярной системе координат. [c.378]

Воспользовавшись формулами Бине, можно предложить другой способ решения этой задачи, который сводится исключительно к математическим вычислениям. В самом деле, когда определено уравнение траектории в полярных координатах, определение силы [c.119]

Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата к задаче ы.23 [c.95]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

При решении выше рассмотренных задач было удобно использовать декартовы и полярные координаты. Для задач с другими границами — в виде эллипсов, гипербол, неконцентрических окружностей и более сложных кривых— обычно предпочитают применять другие системы координат. При введении таких систем координат, а также при построении соответствующих функций напряжений удобно использовать комплексные переменные. [c.179]

Полярные координаты и соответствующие им компоненты напряжения оказались весьма полезными для задач с границами в виде концентрических окружностей, рассмотренных в главе 4. Напряжения и перемещения на таких границах зависят только от 0, поскольку г—величина постоянная. Когда границы определяются другими кривыми, например эллипсами, удобно использовать криволинейные координаты, одна из которых вдоль границы имеет постоянное значение. [c.192]

Может показаться, что рассмотренная задача имеет лишь академический интерес, так как все обобщенные координаты редко бывают циклическими. Однако каждая материальная система может быть описана с помощью обобщенных координат не единственным образом. Рассматривая, например, движение точки в плоскости, можно взять в качестве ее обобщенных координат либо декартовы координаты х, у, либо полярные координаты г, 0. Каждый из этих вариантов, конечно, одинаково допустим, и вопрос о том, какой из них лучше, определяется конкретными особенностями рассматриваемой задачи. В случае, например, центральных сил координаты х, у являются менее удобными, так как ни одна из них не является циклической, в то время как среди координат г, 0 есть циклическая — угол 0. Следовательно, цикличность координат связана со способом их выбора, и в каждом конкретном случае можно подобрать такую систему обобщенных координат, что все они будут циклическими. Разумеется, если такая система будет найдена, то дальнейшее решение задачи станет тривиальным. Но так как те обобщенные координаты, которые мы рассматриваем как наиболее естественные для данной системы, обычно не являются циклическими, то мы должны разработать специальную процедуру для перехода от одной системы координат к другой, являющейся более подходящей. [c.264]

А6.4.1. Коэффициент интенсивности напряжений. С использованием линейной модели деформирования обнаружено, что, как и во многих других задачах о концентрации напряжений, в устье плоской трещины поля тензоров о(/, 9) и е(/, 9) (здесь г, 9 — полярные координаты в плоскости, ортогональной краю — устью трещины, с началом отсчета в устье) оказываются подобны при самых разных вариантах геометрии тела, формы и ориентации трещины, приложенных нагрузок и температурных полей. Они сингулярны — значения О, е стремятся к бесконечности по мере приближения к началу координат [c.238]

В настоящей главе рассматриваются в квазистатической постановке растяжение и изгиб тонких круглых пластин, обусловленные пространственным температурным полем Г (г, 0, г, /), где г, 0 — полярные координаты в срединной плоскости пластины г — координата вдоль нормали к срединной плоскости пластины t — время, которое играет роль параметра. Эти задачи излагаются в рамках теории изгиба тонких круглых пластин малого прогиба [22], основанной на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о том, что нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной плоскости пластины, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями. Согласно гипотезе о неизменяемости нормального элемента прямолинейные волокна пластины, до деформации нормальные к срединной плоскости, при деформации поворачиваются, оставаясь прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности, и не изменяют своей длины. [c.137]

Наряду с первыми интегралами в дайной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один 1из таких интегралов, а именно интеграл МоГ—О, представляет собой уравнение (2.13) плоскости, в которой происходит движение точки. Два других интеграла вытекают из (2.56). Действительно, направляя ось Oz по вектору Мо и вводя на плоскости Оху полярные координаты, получим [c.78]

Однако в ряде случаев широко используется решение этой задачи, полученное другим способом. Рассмотрим обтекание угла АОВ в полярной системе координат [c.82]

При составлении уравнений механики деформируемого твердого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовы, полярные, цилиндрические координаты и др. Эти уравнения можно записать также и для общего случая произвольных криволинейных координат. В данной главе используем наиболее часто применяемую в задачах декартову систему. В последующих главах для характерных задач покажем также особенности использования полярной системы. Применение других систем координат можно найти в более полных курсах теории упругости. [c.25]

В некоторых задачах более простые решения получаются при пользовании другими системами координат полярными, сферическими, цилиндрическими и т.д. [c.444]

С 7-й классификацией д в и ж е н и й (т. е, физических явлений) не следует смешивать классификацию математических задач задача трехмерная , задача двухмерная , задача одномерная . Здесь имеется в виду зависимость того или другого параметра потока (скорости, давления) соответственно от трех, двух или одной координаты пространства. Для заданного случая движения жи д к ости та или другая математическая задача из названных выше часто получается в зависимости от принятой системы координат. Например, решение вопроса об осесимметричном движении при использовании прямоугольной системы декартовых координат может привести нас к трехмерной задаче при использовании в этом же случае полярной системы координат — к двухмерной (а иногда и к одномерной) задаче. [c.76]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

На основе изложенных выше принципов и конструкций механизмов создан ряд балансировочных автоматов. В автоматах 9720, 9А719 и других задача уравновешивания решается в полярных координатах при двух плоскостях исправления, а в автомате 9722 — в косоугольных координатах при четырех плоскостях исправления. На фиг. 27 показан автомат 9720, на фиг. 28 — автомат 9722, а на фиг. 29 приведена планировка линии МА (23-26). [c.436]

В 1850 г. в Эдинбургском королевском обществе Максвеллом был прочитан доклад О равновесии упругих тел ( Оп the equilibrium of elasti solids ). Автор начинает в нем с критики теории малого числа упругих постоянных, ссылаясь при этом на работу Стокса ), и выводит уравнения равновесия изотропных тел, применяя две упругие постоянные. Он использует затем уравнения для рассмотрения некоторых частных задач. Большая часть их была уже решена раньше другими авторами, но никто из них до сих пор еще не уделял такого внимания опытной проверке теоретических результатов. Он останавливается на случае полого цилиндра, наружная поверхность которого неподвижна, внутренняя же поверхность приводится во вращательное движение на малый угол ой парой, момент которой равен р. . Используя уравнения равновесия в полярных координатах, он без труда показывает, что в этих условиях возникают касательные напряжения и что их величина обратно пропорциональна квадрату расстояния рассматриваемой точки от оси цилиндра. [c.323]

Определение геометрических характеристик сечений производится в настоящее время путем исследования моделей (метод Прандтля, метод Дитмана — Алексеева [2] и др.). Такой путь отличается большой трудоемкостью, многоэтапностью, требует наличия специальных установок. На Сестрорецком инструментальном заводе разработана методика расчета геометрических характеристик сечений концевого инструмента и машинная программа для ЭВМ типа Минск-32 . Расчет производится в такой последовательности профиль поперечного сечения инструмента задается в полярных координатах массивом значений рг —(р —радиусы а,- — угловое положение -й точки профиля). Для повышения точности расчета рекомендуется при задании массива рг — щ каждый участок профиля, ограниченного точками, в которых наблюдается перелом кривой (первая производная изменяется скачками в точке, являющейся концом одного и началом другого участка кривой), задавать не менее чем тремя точками (двумя крайними и одной промежуточной). Необходимость задания исходных данных для расчетов в виде массива значений рг — г объясняется стремлением решения широкого круга практических задач. Так, при расчете геометрических характеристик и напряжений от действия крутящего момента М р и осевой силы Р с приходится решать два вида задач 1) выбор рационального вида профиля при проектировании инструмента 2) оценка возможностей данного профиля путем сопоставления инструмента, изготовленного различными способами различными изготовителями, часто при отсутствии технических данных и геометрических параметров сечения. В последнем случае профиль поперечного сечения получают увеличением на проекторе поперечного среза инструмента. Сече-йие при этом не имеет центра тяжести, его параметры могут быть [c.25]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

R сама зависит от координат точки Ри т. с. от лучевых аберраций ). Тем це менее для большинсгва практических целей Р можно заменять на радичс опорпой сферы Я или на другое приближенное выражение (см, ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величииа Ф зависит ог четырех переменных, входящих 1 олько в трех комбинациях, а именно Х -Ь -Ь У1, Х + У и ХоХ -Ь УоУ- в самом деле, если ввести в плоскостях ХУ полярные координаты, т, е. положить [c.200]

Чао применил сферические полярные координаты, чтобы можно было вычислять рефракцию волн, распространяющихся на большие расстояния по поверхности земного шара. Он указал, что для решения задачи рефракции на каустике им применена методика Людвига [381, 383]. Эта методика использует новый вид однородного асимптотического решения , включающего функцию ри. По одну сторону каустики решение такое же как в геометрической оптике, по другую сторону каустики получено экспоненциально затухающее решение. Вблизи каустики имеет место гладкий переход от осциллирующего к экспоненциально затухающему решению, и решение остается конечным на самой каустике. Изящные выражения Чао мы здесь не приводим из-за слишком большого их объема (см. Чао, [115]). [c.106]

Пусть тело, представляюп1.ее собой тело вращения около оси Хз, деформируется под действием поверхностных сил (массовые силы отсутствуют) симметрично относителыно этой оси вращения. Тогда перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости, проходящей через ось Ха, будет равно нулю, а две другие проекции Ur и Из не будут зависеть от полярного угла ф. Для решения этой задачи удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, ф, хз. Компоненты симметрического тензора деформаций в цилиндрической системе координат, согласно формулам (3.29), будут иметь вид [c.236]

В статье А. Д. Гиргидова и Б. М. Нуллера [106] решены две контактные задачи о вдавливании в упругую полуплоскость, ослабленную по-лукруговой выемкой, штампа с прямолинейным основанием. Штамп, полностью перекрывая выемку, внедряется в полуплоскость под действием центральной силы и момента. На линии контакта тренне отсутствует, середина штампа и центр выемки совпадают с началом координат полярной системы. В одном случае выемка пустая, в другом—заполнена упругим включением. Граничные условия в этих плоских задачах совпадают с условиями 1) и 2) пространственных задач (7.12), поэтому в работах [76] и [106] аналогичны и пути решелия и полученные результаты. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...