Задача 2. Плоское напряженное состояние

Задача о плоском напряженном состоянии, хотя и сводится к разысканию скалярных функций от двух независимых переменных, не является проблемой вида (2.115) (см. 12 ). [c.63]

В данном случае в отличие от плоской деформации перемещения i, Ма. з> а следовательно, oij (i = 1, 2 j = 1, 2) и Ф зависят от координаты л 8, т. е. задача о плоском напряженном состоянии является трехмерной. [c.228]

Соотношения (9.30) по форме совпадают о соответствующ,ими уравнениями (9.4) задачи о плоской деформации если в (9.4) заменить коэффициент Ламе % другой постоянной К, определяемой равенствами (9.31), то получим соотношения (9.30). Вместе с тем в отличие от задачи о плоской де( рмации задача о плоском напряженном состоянии является, как уже отмечалось, трехмерной, поскольку напряжения и перемещения в этом случае зависят и от координаты х . Однако при очень малом расстоянии между торцами тела по сравнению с его поперечными размерами, т. е. когда тело представляет собой пластину (рис. 9.2), зависимость напряжений от Xg (в этом случае J g весьма мало), как это усматривается из соотношения (9.24), будет несущественной. [c.229]

На стр. 49 отмечалось, что система уравнений для задач о плоском напряженном состоянии при сделанных предположениях (Од = Т ег = = О, а , Оу, Тху не зависят от 2), которую мы сочли достаточной, не обеспечивает удовлетворение всех условий совместности. Эти предположения требуют, чтобы величины Ех, Еу, 8 , Уху не зависели от 2 и чтобы ухг Ууг равнялись нулю. Первое из условий совместности (125) включалось в теорию плоского напряженного состояния в качестве уравнения (21). Легко проверить, что остальные пять уравнений удовлетворяются только в том случае, когда представляет собой линейную функцию от х и у, что является скорее исключением, чем правилом, в решениях, полученных в главах 3 — 6. Очевидно, что эти решения не могут быть точными, однако, как мы сейчас покажем, они являются достаточно близким приближением для тонких пластинок. [c.284]

Один из способов достижения этой цели состоит в том, чтобы свести задачу к двумерной. Для композитов, армированных длинными волокнами, разумно предположить, что градиенты напряжений и деформаций в осевом направлении (направлении оси 3 на рис. 5, а) пренебрежимо малы по сравнению с градиентами этих величин в плоскости поперечного сечения. Это предположение приводит нас к классической задаче о плоском напряженном состоянии или о плоской деформации. В первом случае предполагается, что напряжение в направлении, перпендикулярном интересующей нас плоскости (компонента Озз, нормальная плоскости осей / и 2 на рис. 5, а), равно нулю данная гипотеза обычно принимается при исследовании поведения тонких пластин (тонких в направлении оси, 9), на которые действуют силы, лежащие в плоскости этих пластин. Однако в слуг чае армированного непрерывными волокнами слоя, изображенного на рис. 5, а, размер изделий в направлении армирования, (направлении оси 3) обычно очень велик, что лучше соответствует условиям плоской деформации, когда перемещения в направлении оси 3 принимаются равными нулю. Поскольку это предположение влечет за собой отсутствие градиентов перемещений в направлении оси 3, деформации и соответствующие им скорости 8,3 равны нулю, т. е. [c.221]

Покажем, что при постоянных объемных нагрузках X = pg и F — PSv решение задачи о плоском деформированном состоянии в напряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоянии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связывающие компоненты деформаций Р у, Уху с перемещениями и и v, в этих двух задачах полностью совпадают различие между ними заключается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения [c.39]

Введение. Полагая равной нулю нагрузку в любом из приведенных в 5.2 решений в рядах по функциям нагружения, получим точные решения в явной форме для пластин со свободными от нагрузки поверхностями, которые можно использовать для удовлетворения краевых условий для пластин. Подобные решения, разумеется, полезны для задач, где задана только приложенная к краю нагрузка (такие задачи о плоском напряженном состоянии рассматривались в 3.2, где для них были полу-, чены только приближенные общие решения), а также для соот-, ветствующих задач изгиба с учетом антисимметричной краевой нагрузки. [c.345]

Задача о плоском напряженном состоянии будет ставиться по отношению к величинам р 2, Рп щ. [c.282]

В задачах с плоским напряженным состоянием (рис. 6.2, а) компоненты напряжения Одз, 013, принимаются равными нулю всюду, а остальные компоненты считаются функциями только и Хг, [c.208]

Обобщенное плоское напряженное состояние. Задача о плоском напряженном состоянии не является в действительности двумерной задачей, поскольку переменная г появляется в качестве параметра в каждом из приведенных выше уравнений. Однако Файлон ) показал, что систему уравнений можно видоизменить, предполагая, что компонент напряжения равен нулю всюду на пластинке, а касательные напряжения х у и Ху равны нулю только на гранях пластинки 2 = Т /г. Идея Файлона заключалась в следующем если пластина тонкая, то знание средних величин компонентов вектора перемещения и тензора напряжений равноценно знанию их точных значений в каждой точке. По этой причине мы заменим каждую физическую величину / ее средним значением /, определяемым по формуле [c.77]

Задача о плоском напряженном состоянии круглых и кольцевых пластин. Зададим разрешающие параметры в форме зависимостей (2.40) [c.107]

Как видно, основные уравнения задачи о плоском напряженном состоянии идентичны по виду аналогичным уравнениям задачи о плоской деформации. Однако если в последней задаче перемещения а, г/ и напряжения Од,д,, а , , всегда являются функциями только X, у, то в первой задаче те же неизвестные, как правило, зависят также и от 2. [c.298]

По существу, мы уже нашли решение сформулированной задачи. Оно дается формулами (2.2.28), (5.14)- (5.18). В последних формулах, однако, как это следует из вывода и условий (5.24), необходимо заменить параметр к на 2к, О23- на 3- на и, кроме того, вновь ввести множитель (и + 1)/4 = 1/(1 + V) в выражении для перемещений, поскольку вместо антиплоской задачи рассматривается задача о плоском напряженном состоянии. [c.130]

Рассмотрим теперь постановку плоских задач в напряжениях. Для определенности рассмотрим случай плоской деформации случай обобщенного плоского напряженного состояния исследуется совершенно аналогично. Соответствующая краевая задача содержит уравнения равновесия (2.67), граничные условия (2.70) и условия сов.местности Сен-Венана (2.61), которые с учетом выражения для [c.59]

Замечание 2.1. Можно показать, что задача об обобщенном плоском напряженном состоянии также сводится к задаче (2.115). [c.63]

Если толщина пластины t - оо, то имеем задачу о плоском деформированном состоянии. Из 4.2 известно, что обе эти задачи при заданных напряжениях на поверхности тела дают одно и то же распределение напряжений а , Оу, в плоскости ху. Различие состоит в том, что во втором случае возникают напряжения = ц (сг.тс -Ь о ) и точки тела испытывают объемной напряженное состояние. Несколько различными будут также перемещения и (х, /) и V (х, у) точек этих тел. [c.371]

Бигармоническая проблема возникает еще при рассмотрении задачи об изгибе пластин. Пусть имеется упругое тело в форме тонкого цилиндра толщины к. Как и в плоском напряженном состоянии, выберем оси координат таким образом, чтобы плоскость 2 = 0 была срединной. Будем считать, что в ходе деформирования прогибы пластинки оказываются малыми, что дает основание сделать следующие выводы. Нормали к срединной поверхности в ходе деформирования переходят в нормали к деформированной срединной плоскости (так называемая гипотеза прямых нормалей). Напряжения Стг считаются пренебрежимо [c.280]

Формулы (15.14.1) показывают, что при плоском напряженном СОСТОЯНИИ величины главных напряжений ограничены величиной 2/с, в отличие от плоской деформации, где они могут быть сколь угодно велики, лишь бы их разность оставалась постоянной. В задаче о трубе под действием внутреннего давления, рассмотренной в 15.13, наружный радиус Ь можно было брать сколь угодно большим, всегда можно приложить настолько большое давление q, чтобы труба полностью перешла в пластическое состояние. Аналогичным образом в задаче о растяжении полосы с двумя круговыми вырезами протяженность пластической зоны определялась лишь возможным углом определя-юш им ту точку, из которой выходит крайняя характеристика. При плоском напряженном состоянии дело обстоит иначе. К контуру отверстия в пластине можно приложить лишь такое давление, которое не превышает 2/с, так как на контуре ar = —q, а Ог по модулю не больше чем 2к, как мы уже выяснили. Соответственно пластическая область, имеющая форму кольца, простирается лишь на конечное расстояние. Аналогичная ситуация возникает при решении задачи о растяжении полосы с симметричными круговыми вырезами (рис. [c.525]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Из общей теории двумерной задачи, 16, следует, что решение, полученное ниже для плоского напряженного состояния, справедливо и для случая плоской деформации. [c.88]

Ниже (таблица 2) дается несколько решенных в теории упругости задач (плоское напряженное состояние) выписаны формулы для напряжений. [c.67]

Задача 4.2 (к 4.2). Для случаев плоского напряженного состояния (рис. 4.11) определить углы сдвига граней элементарных параллелепипедов. [c.133]

Выше дано полное решение задачи в напряжениях для обобщенного плоского напряженного состояния в случае плоского деформированного состояния решение в напряжениях для Рв и Ррв будет тем же самым, однако ргг будет отлично от нуля. При этом на контуре выреза, так как для обычных материалов о < (т < (1/2), будет верно неравенство р ргг /> = 0 [c.507]

С постоянными деформациями, что является прямым обобщением метода, использованного в упругой задаче (Фойе [11]). Предполагалось, что имеет место обобщенная плоская деформация, но при желании схему нетрудно модифицировать так, чтобы ее можно было применить для исследования плоского напряженного состояния. Условия обобщенной плоской деформации позволяют рассмотреть комбинацию осевой и поперечной нагрузок. Кроме того, в перечень задаваемых нагрузок нетрудно включить нагрузку продольного сдвига, поскольку при решении задач об обобщенной плоской деформации рассматриваются перемещения только в плоскости х, у), в то время как нагрузка такого сдвига содержит компоненты только по оси 2. Таким образом, можно решать задачи с полным набором сложных внешних нагрузок. [c.226]

Значение 0 можно определить также графически (рис. 2.61) с помощью кривых для плоского напряженного состояния (штриховые) и плоской и осесимметричной задач (сплошные). Параметр а концентрации напряжений характеризует не только уровень концентрации напряжений в наиболее опасной точке локальной зоны детали, но и (в определенной степени) поле напряжений. Кроме того, с помощью [c.119]

В настоящей главе рассматриваются элементы балочного типа-в условиях плоской задачи теории упругости. Практически это означает, что полученные решения применимы либо для тонких пластинок, когда напряжения считаются равными нулю и Од., у, не зависят от координаты z (плоское напряженное состояние), либо для тел, размеры которых вдоль оси 2 очень велики, и нагрузка в этом направлении не изменяется (плоская деформация). В отличие от плоского напряженного состояния, когда (T =0 и при плоской деформации [c.48]

По указанным выше двум причинам мы изучаем здесь задачи о плоской деформации, а не о плоском напряженном состоянии пластин, армированных двумя семействами нерастяжимых нитей. Задачи о плоском напряженном состоянии, являющиеся иногда практически более важными, могут быть решены методами, аналогичными рассматриваемым здесь, но эти задачи труднее решать аналитически. Теория плоского напряженного состояния создана в работах Ривлина [31] и Адкинса [3]. Краткий, но интересный обзор этой теории приведен в статье Ривлина [34]. Отметим, что теория плоского напряженного состояния тесно связана с более общей теорией армированных нерастяжимыми нитями упругих сред, разработанной Адкинсом, и Ривлином (Адкинс и Ривлин [5], Адкинс [2]). [c.300]

Соответствующие зависимости для каждого из 18 исследованных вариантов задачи о плоском напряженном состоянии стержня расположены в достаточно узкой полосе рассеяния этой функции (А на рис. 2.56) так что, к примеру, в диапазоне значений параметра нагрузки О < 5 < 1 вариация функции Atfi не превышает значения 0,1. На основании проведенного обобщения для плоского напряженного состояния рекомендована универсальная зависимость в виде (штрихпунк-тирные кривые на рис. 2.56) [c.110]

Сравнивая эти зависимости с зависимостякГи (2.1) и (2.2), видим, что задачу о плоском деформированном состоянии можно трактовать и как задачу о плоском напряженном состоянии, но для материала с другими упругими свойствами модулем упругости и коэффициентом Пуассона (х. Так как в уравнение (2.8) упругие свойства материала не входят, то оно остается справедливым и для плоского деформирован-ного состояния. [c.40]

Один нз вариантов постановки двумерной задачи теории упругости — это задача о плоском напряженном состоянии тонкой изотропной пластины со свободными поверхностями. Для плоского напряженного состояния = О и поэтому ej = —v (а - - Оу) [2]. Другим вариантом двумерной задачи теории упругости является задача о плоской деформации, которая также описывается уравиеииями (1.51), гдеследуеттолькозаменить и v на = /(1 —V ), V = v/(l — V) и использовать соотношения = 0, = —v (а -f- Оу) [2J. [c.36]

При осесимметричной деформации целесообразно задать разрешающие параметры Г,- в форме зависимостей (2.40). Используя уравнения (2.51) — (2.54), (2.57) и поступая так же, как и в предыдущей главе, можно получить однородные и частные решения при осесимметричной деформации. Ниже приведены полные решения в форме (7.5) для задач о плоском напряженном состоянии и изгибе отдельного участка круглых и кольцевых пластин из ортотропиого материала с толщиной, изменяющейся по степенному закону (7.2). Эти решения могут быть легко использованы для пластин переменной толщины из изотропного материала, а также для пластин постоянной жесткости. [c.111]

Замечания. 1. В задаче о плоском напряженном состоянии рассматривается деформирование тонкой пластинки (толш,ины 2/ о). нагруженной по ее боковой поверхности силами, параллельными ее средней плоскости аз = 0 и симметрично распределенными относительно нее. Торцевые поверхности а, = + Нд не нагружены. Такое состояние приближенно осущ,ествляется при преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, определяемом мулами [c.220]

Приведем сводку основных уравнений теории упругости сначала для плоского напряженного состояния, которую получим из соот-ветствуюш,их уравнений для объемной. задачи (см. гл. 2), исключив из них ироизводн])1е по координате z. [c.73]

Из сопоставления основных уравнений задачи о плоской деформации о соответствующими уравнениями задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии видно, что они математически идентичны. Заменив в уравнениях первой задачи компоненты ш и aсредними значениями по формуле типа (9.38), а коэффицн- [c.231]

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для кусочнооднородной среды. Пусть имеется многосвязная область D, ограниченная гладкими контурами L, (/ = 0, 1, 2,. ... т), из которых все контуры Lj (/ 0) расположены вне друг друга, а контур 0 охватывает все остальные. Область D заполнена упругой средой с постоянными Яо и цо, а области )/ (ограниченные контурами Lj) средами с постоянными X/ и ц/ (индекс буквы соответствует индексу области). Далее, для удобства будем использовать постоянные х/, различные для плоской деформации и плоского напряженного состояния (см. 4 гл. III). На границах раздела сред следует, как обычно, задавать. те или иные условия сопряжения. Например, такой известной технологической операции, как посадка с натягом, соответствует задание скачка вектора смещений 6/(0- В случае же плоско-напряженной деформации имеет смысл постановка таких условий, при которых внешние напряжения пропорциональны (в случае, когда толщины пластинки и включений различны )). [c.413]

Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что усилия Гар отличны от нуля, а прогиб W и, следовательно, моменты Мцр равны нулю. Будем называть такое плоское напряженное состояние в пластине начальным напряженным состоянием. В отношении него будем употреблять термин безмоментное состояние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной плоскости. При определении усилий Уар мы должны были пользоваться обычными уравнениями плоской задачи теории упругости, а следовательно, линеаризированными выражениями для Сае- Если пластина получает малое изгибное возмущение w, то, конечно, величины iVaWn малы по сравнению с Ма, е, но при варьировании прогиба в (12.10.2) именно эти члены, являющиеся множителями при больших Та , должны варьироваться. [c.415]

Относительное перемещение не равно нулю, и следовательно, нужно считать, что цилиндр имеет щель, ввиду наличия которой точка 2 может смещаться относительно точки / по вертикали на величину 2nrR (рис. 234, б). Движение верхней стенки щели относительно нижней равносильно вращению на угол 2пВ в направлении часовой стрелки относительно центра сечения ци/ индра. При этом В отрицательно, если величина Т положительна. В этом случае щель раскрывается на величину центрального угла — 2пВ. Задача о смыкании стенок такой щели уже решалась на стр. 95 для случая плоского напряженного состояния. Это решение можно преобразовать для случая плоской деформации с помощью подстановок, приведенных иа стр. 446. Компоненты напряжения, получающиеся в результате, в сочетании с осевым напряжением Oj = — аЕТ, получаемым по формулам (г), становятся тождественно равными компонентам, определяемым уравнениями (257) при отсутствии осевой силы. [c.477]

Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости. Если сосредоточенная сила Р приложена на границе полубесконеч-ной тонкой пластины (рис. 5.10) или равномерно распределена по прямой на границе полупространства, то задача об определении напряжений и деформаций является плоской. В первом случае будет иметь место обобщенное плоское напряженное состояние, а во втором — плоская деформация. [c.108]

Соединение слоев при плоском напряженном состоянии. Второй подход расчета упругих характеристик трех-мерноармированных композиционных материалов основан на совместном деформировании слоев в условиях плоской задачи [4]. При этом, как и в первом случае, реальная структура материала сводится к двум слоям, параллельным плоскости 1/, где /, / = 1, 2, 3. Естественно, что данный подход позволяет получать более простые расчетные зависимости для упругих констант, чем первый [см. формулы (5.3)—(5.5)]. [c.123]

Трехмерное напряженное состояние в точке можно полностью определить, измерив три главных показателя преломления и три направления главных оптических осей. Из-за трудностей измерения этих величин исследование фотоупругости обычно ограничивается плоскими или квазиплоскими задачами напряженного состояния. Если положить аз= О, то получается плоское напряженное состояние, для которого уравнения (3.2) запишутся в сяе- [c.62]

Ниже рассмотрен метод оценки напряженного состояния в отдельных слоях многослойной конструкции за пределом упругости, ознованный на учете характера упрочнения материала конструкции в процессе пластического деформирования. Постановка подобной задачи в общем виде дана А. А. Ильюшиным [1], ее приближенное решение применительно к частному случаю плоского напряженного состояния получено в работе [2]. [c.315]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...