Определенность положительная квадратичной формы потенциальной энергии

Обмен устойчивостью 410 Определенность положительная квадратичной формы потенциальной энергии системы 385 [c.477]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при = I/2 =-= о, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия систел ы. [c.433]

Определенные квадратичные формы весьма часто встречаются в механике и в ее практических применениях — в теории колебаний, в теории устойчивости и т. п. В частности, определенной положительной квадратичной формой является потенциальная энергия упругой системы (13.420 при наличии обобщенного закона Гука (13.39) или (13.40), кинетическая энергия материальной системы с голономными и стационарными связями [c.495]

Если нагрузка р > О мала, то квадратичная форма Пг, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р>0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Ег = —р 2 начнет подавлять первое слагаемое /г, так что квадратичная форма Пг превратится либо в неопределенную по знаку, либо в. отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ) р = р, при котором квадратичная форма Пг утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р можно указать такое откло- [c.385]

Предположим, что квадратичная форма в (20.13) определенно положительна. В этом случае вблизи положения равновесия 1 = 72 = -- = 5 = 0 квадратичная часть потенциальной энергии и полная потенциальная энергия будут положительны. Так как П (0) = О, то это означает, что потенциальная энергия будет иметь в этом положении минимум и, следовательно, положение равновесия устойчиво. [c.459]

Первая из них с точностью до постоянного множителя равна потенциальной энергии деформации стержневой системы на векторах усилий 1=51. По смыслу потенциальной энергии деформации (аналогично (2.28) для одного элемента) она является положительно определенной. Вторая квадратичная форма получается из первой путем линейного преобразования векторов [c.161]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), то эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты qx и <72 выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным. [c.436]

Так как квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий определенно положительны, то коэффициенты инерции и жесткости удовлетворяют условиям (59) и (61), т. е. [c.437]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты /г . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы [c.459]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Метод выделения квадратов связан с линейным преобразованием координат. Поэтому потенциальная энергия остается положительно определенной квадратичной формой ). Мы не изменяем обозначения коэффициентов этой формы, обозначая их, как и раньше, с и, хотя они и отличаются от коэффициентов, входящих в выражение потенциальной энергии в формулах (II. 175). [c.232]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

В этой системе координат потенциальная энергия выражается, как и раньше, положительно определенной квадратичной формой [c.246]

Считая положение равновесия yi=. .. = устойчивым, принимаем, что квадратичная форма (1), выражающая потенциальную энергию как функцию прогибов, является положительно определенной [c.254]

Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея R (см. 8), которые задаются положительно определенными квадратичными формами [c.262]

Мы получили замечательный результат в новой системе отсчета диагональную форму принимает не только квадрат расстояния s , но и потенциальная энергия V. Одним линейным преобразованием координат можно одновременно привести к диагональному виду две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная (в остальном эти формы произвольны). [c.185]

Опуская два штриха в конечных координатах, можно выразить этот результат так. Даны две квадратичные формы А и В, причем А — положительно определенная, тогда существует линейное однородное преобразование, - которое превращает А в сумму квадратов переменных, а В — в квадратичную форму, в которой отсутствуют произведения членов, соответственно этому кинетическую и потенциальную энергии (101.41) можно преобразовать к следующим выражениям [c.361]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

По формуле (69) с учетом (70), (71), (76), (77) и (75) А W можно представить в виде квадратичной формы переменных Условия определенной положительности последней будут достаточными условиями минимума W для твердого тела с полостью, содержащей жидкость, в поле внешних сил с потенциальной энергией П. [c.303]

Другими словами, в задачах линейной теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой, что и удельная потенциальная энергия. Следовательно, 6 5 > О и всякое положение равновесия линейной упругой системы устойчиво. [c.25]

Из уравнения 1]/ з — О найдем значение координаты в положении равновесия Seq = 4а. Поскольку потенциальная энергия является положительно-определенной квадратичной формой координат, то колебания изохронны, т.е. частота колебаний, как и в задаче 4.1.9, не зависит от амплитуды. Лагранжиан частицы [c.175]

Составить канонические уравнения малых колебаний консервативной системы с п степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами [c.201]

Уравнения (2) можно разрешить относительно компонентов деформации последние будут линейными функциями компонентов напряжения. Потенциальная энергия W, если перейти в выражении (4) к напряжениям, будет однородной положительно определенной квадратичной формой компонентов напряжений. При этом справедливы формулы Кастильяно [c.23]

ТО потенциальную энергию системы и в гармоническом приближении можно окончательно представить в виде положительно определенной квадратичной формы [c.237]

Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия в этом полон ении имеет изолированный минимум, а второе из выражений (4.2) есть положительно определенная квадратичная форма. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства [критерий Сильвестра)-. [c.73]

Выражение (2.17) представляет собой квадратичную форму от компонентов вектора я , основанную на матрице квадратичной формы К , являющейся матрицей жесткости элемента. В соответствии с физическим смыслом потенциальной энергии деформации эта квадратичная форма неотрицательна и при q =g она обращается в нуль. Для несвободного элемента =0, и квадратичная форма становится положительно определенной [4,]. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что [c.24]

Здесь, как и в (2.50), через Тх обозначена потенциальная энергия системы, соответствующая медленным движениям, а через > = 0 1,..., Л ) -функция, которую назовем потенциальной функцией как обычно, Тх предполагается положительно определенной квадратичной формой с коэффициентами, которые могут зависеть от X. [c.68]

Итак, 6 1F есть потенциальная энергия, соответствующая силам-bXj. Но упругая энергия является положительно определенной квадратичной формой, так как нельзя приложить к системе такие силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому О [c.343]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Суждение о наличии изолированного минимума потенциальной энергии может быть получено на основе критерия Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Потенциальная энергия V= -Uраскладывается в ряд Маклорена в окрестности положения равновесия q = О [c.111]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Ho квадратичная форма (8) представляет собой однородную функцию второй степени относительно координат. Поэтому неравенство (8) имеет место во всем пространстве, за исклю-1ением начала координат, где эта форма обращается в нуль. Другими словами, потенциальная энергия также представлена в виде положительно определенной квадратичной формы относительно координат ). [c.232]

Кинетическая Т д, д) = д Ад/2 и потенциальная П(д) энергии системы являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все собственные частоты системы сох, СО25 , ( г Ф к) и соответствующие им амплитудные векторы их, и2,. .., и . К системе приложено внешнее воздействие Qi = (г = 1, п). Найти движение системы, если в начальный момент она находилась в покое. [c.194]

Условия симметрии Eijki = Еш можно установить непосредственно из (2.Ш). Кроме того, немедленно получается формула Клапейрона U = /20ki ki- Так как удельная потенциальная энергия деформации, как известно, при е,/ = О обращается в нуль и при любом деформировании должна совершаться положительная работа, и всегда больше нуля i/ О, и в (2.18) речь идет о положительно определенной квадратичной форме. [c.58]

Процедура решения задачи малых колебаний, нриведенная в конце 9, за небольшими исключениями полностью проходит при ослаблении требований, предъявляемых к системе. А именно, квадратичную форму в кинетической энергии по-прежнему считаем положительно определенной, а потенциальную энергию предполагаем положительно постоянной П д) > 0. Свойство кинетической энергии оставляет возможность перехода (10.8) к нормальным координатам, но вследствие ослабления свойства потепциальпой энергии в выражении (10.2) вместо (10.7) выполняется [c.46]

В самом деле, чтобы уравнения движения системы были линейными, ее-фуикдия Лагранжа должна быть квадратичной функцией координат и скоростей в совокупности. Поэтому кинетическая энергия, всегда являющаяся квадратичной функцией скоростей, должна быть квадратичной функцией скоростей (по общим свойствам — положительно определенной) с коэффициентами, не зависящими от координат. Потенциальная же энергия всегда может быть освобождена от линейных по координатам членов их (кооэдинат) линейным преобразованием, а постоянный член в ней несуществен. Поэтому она также должна быть квадратичной формой — теперь координат —и притом положительно определенной, еслн мы интересуемся финитными движениями. Итак, общий вид функции Лагранжа для системы, описываемой линейными уравнениями, есть [c.85]

Матрица жесткости конечного элемента является симме- )11чной матрицей. Этот факт не вызывает удивления, поскольку потенциальная энергия деформации представляет собой симме- ричную, положительно определенную квадратичную форму. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...