Определенность положительная квадратичной формы потенциальной энергии системы

Обмен устойчивостью 410 Определенность положительная квадратичной формы потенциальной энергии системы 385 [c.477]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при д = = 2 = 0, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы. [c.456]

Определенные квадратичные формы весьма часто встречаются в механике и в ее практических применениях — в теории колебаний, в теории устойчивости и т. п. В частности, определенной положительной квадратичной формой является потенциальная энергия упругой системы (13.420 при наличии обобщенного закона Гука (13.39) или (13.40), кинетическая энергия материальной системы с голономными и стационарными связями [c.495]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Если нагрузка р > О мала, то квадратичная форма Пг, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р>0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Ег = —р 2 начнет подавлять первое слагаемое /г, так что квадратичная форма Пг превратится либо в неопределенную по знаку, либо в. отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ) р = р, при котором квадратичная форма Пг утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р можно указать такое откло- [c.385]

ТО потенциальную энергию системы и в гармоническом приближении можно окончательно представить в виде положительно определенной квадратичной формы [c.237]

Первая из них с точностью до постоянного множителя равна потенциальной энергии деформации стержневой системы на векторах усилий 1=51. По смыслу потенциальной энергии деформации (аналогично (2.28) для одного элемента) она является положительно определенной. Вторая квадратичная форма получается из первой путем линейного преобразования векторов [c.161]

Здесь, как и в (2.50), через Тх обозначена потенциальная энергия системы, соответствующая медленным движениям, а через > = 0 1,..., Л ) -функция, которую назовем потенциальной функцией как обычно, Тх предполагается положительно определенной квадратичной формой с коэффициентами, которые могут зависеть от X. [c.68]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), то эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты qx и <72 выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным. [c.436]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты /г . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы [c.459]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

В этой системе координат потенциальная энергия выражается, как и раньше, положительно определенной квадратичной формой [c.246]

Мы получили замечательный результат в новой системе отсчета диагональную форму принимает не только квадрат расстояния s , но и потенциальная энергия V. Одним линейным преобразованием координат можно одновременно привести к диагональному виду две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная (в остальном эти формы произвольны). [c.185]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

Другими словами, в задачах линейной теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой, что и удельная потенциальная энергия. Следовательно, 6 5 > О и всякое положение равновесия линейной упругой системы устойчиво. [c.25]

Составить канонические уравнения малых колебаний консервативной системы с п степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами [c.201]

Итак, 6 1F есть потенциальная энергия, соответствующая силам-bXj. Но упругая энергия является положительно определенной квадратичной формой, так как нельзя приложить к системе такие силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому О [c.343]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Кинетическая Т д, д) = д Ад/2 и потенциальная П(д) энергии системы являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все собственные частоты системы сох, СО25 , ( г Ф к) и соответствующие им амплитудные векторы их, и2,. .., и . К системе приложено внешнее воздействие Qi = (г = 1, п). Найти движение системы, если в начальный момент она находилась в покое. [c.194]

Процедура решения задачи малых колебаний, нриведенная в конце 9, за небольшими исключениями полностью проходит при ослаблении требований, предъявляемых к системе. А именно, квадратичную форму в кинетической энергии по-прежнему считаем положительно определенной, а потенциальную энергию предполагаем положительно постоянной П д) > 0. Свойство кинетической энергии оставляет возможность перехода (10.8) к нормальным координатам, но вследствие ослабления свойства потепциальпой энергии в выражении (10.2) вместо (10.7) выполняется [c.46]

В самом деле, чтобы уравнения движения системы были линейными, ее-фуикдия Лагранжа должна быть квадратичной функцией координат и скоростей в совокупности. Поэтому кинетическая энергия, всегда являющаяся квадратичной функцией скоростей, должна быть квадратичной функцией скоростей (по общим свойствам — положительно определенной) с коэффициентами, не зависящими от координат. Потенциальная же энергия всегда может быть освобождена от линейных по координатам членов их (кооэдинат) линейным преобразованием, а постоянный член в ней несуществен. Поэтому она также должна быть квадратичной формой — теперь координат —и притом положительно определенной, еслн мы интересуемся финитными движениями. Итак, общий вид функции Лагранжа для системы, описываемой линейными уравнениями, есть [c.85]