Аттрактор область притяжения

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Рис. 61. Кризис замкнутой инвариантной кривой (нижняя кривая на левом и среднем рисунках) случай 3. Точками отмечена область притяжения аттрактора

Областью притяжения D аттрактора L наз. множество всех нач. точек xeD, для к-рых [c.254]

Для ур-ния (4) область притяжения аттрактора. v=0 совпадает со всем пространством. [c.254]

При q 204 существовавшая до этого гомоклиническая структура (о ее существовании можпо судить по хаотическому характеру процессов установления) становится притягивающей, и в системе, кроме регулярных аттракторов, соответствующих периодическим вращениям, рождается еще один аттрактор — хаотический. Его область притяжения растет с увеличением q, а области притяжения регулярных аттракторов уменьшаются. При q 306 мультипликаторы циклов, соответствующих регулярным враще- [c.282]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Теорема. Пусть Л — гиперболический, аттрактор класса С , — его область притяжения и —любая непрерывная функция. Тогда для т-почти всех точек 1Гл [c.161]

Рассмотрим теперь системы с диссипацией. У открытых систем такого типа фазовое пространство упрощенно можно представлять себе разделенным на области притяжения к различным аттракторам. Для перевода системы из одного аттрактора в другой ее нужно перебросить из одной области притяжения в другую. При этом опять на первый план выступает не величина силового воздействия, а его информационная характеристика воздействие должно перебросить систему в любую точку притяжения второго аттрактора, т.е. системе следует сообщить определенное количество информации 1п(К/ЛК), где АУ— объем притяжения второго аттрактора. Разумеется, чтобы реально осуществить переброс системы с одного аттрактора на другой, требуется затратить определенное количество энергии, и, возможно, существует некоторое минимальное ее значение, ниже которого такой перенос невозможен и соответствующий сигнал не реализует имеющуюся информацию. [c.343]

Областью притяжения аттрактора X является множество состояний в фазовом пространстве, которые стремятся к X при 1 00. Обычно для ТУ-мерного потока имеется конечное число аттракторов. . . , хотя известны примеры и с бесконечным числом аттракторов. С точностью до меры нуль все начальные состояния лежат в области притяжения одного из М аттракторов (см. рис. 7.1). [c.414]

Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна эргодическая компонента движения (ср. п. 5.2а), или строгая эргодичность [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.— Прим. ред. [c.444]

Для почти всех лгд в области притяжения данного аттрактора G не зависит от лгр и равно [c.466]

Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в описанию структуры динамического аттрактора в ходе исследований хаоса было остановлено, что и другие геометрические объекты, такие, как фаница между хаотическими и периодическими движениями в пространстве начальных условий или параметров, также обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили специальный раздел фрактальным границам области притяжения, [c.212]

Рис. 6.21. Схематическое изображение двух аттракторов в фазовом пространстве и фаницы между их областями притяжения в про. странстве начальных условий.

Область притяжения Множество начальных условий в фазовом пространстве, из которых траектории выходят на какое-нибудь конкретное движение или аттрактор. Обычно это множество точек связано и образует непрерывное подпространство в фазовом пространстве. Но граница между различными областями притяжения может быть, а может и не быть гладкой. [c.270]

В качестве простого численного эксперимента с границами областей притяжения попробуйте рассмотреть случай . = 3, > = 1,5. При этих значениях и существуют два аттрактора = оо. Выберите подходящий масштаб для прямоугольника О дг 1, [c.286]

Фазовые траектории, начинающиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит из нее, по вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости и устойчивости. С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сказать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством устойчивости в целом если после некоторого начального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она и далее будет оставаться в этих пределах). [c.237]

Теперь утверждение теоремы следует из того, что области притяжения различных периодических аттракторов, очевидно, попарно не пересекаются, и из того, что непостоянное рациональное отображение может иметь только конечное число критических точек. [c.105]

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения arrpai ropa Т = О, а высокие - в области притяженм аттрактора Т = со. Точки Кюри Тс - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке Rb(TJ = просто потому, что он не может решить , к какому аттрактору ему следует направиться. На языке динамических систем мы говорим, что Тс - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Тс, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т = 0) или к полному беспорядку (Т= ао). [c.86]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

Таковы возможные пути исчезновения устойчивых движений — необходимой предпосылки хаотизации и стохастизации движений динамической системы. Сами по себе они еще не приводят к хаотизации движений, но необходимы для ее возникновения. Более того, в областях, где нет устойчивых состояний равновесия и периодических движений, хаотизация может возникнуть и без этой предварительной подготовки , не в результате подмены простого аттрактора хаотическими движепиями. Хаотические движения могут жестко возникнуть в области притяжения состояния равновесия или периодического движения. [c.215]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

На рис. 11.2 представлен один из видов аттракторов - странный аттрактор, т.е. область притяжения, размещенная в трехмерной системе координат, внутри которой фазовые траектории стохастически стремятся во внешнюю область, но не достигают ее, а внешние фазовые траектории стохастически стремятся внутрь, но не попадают туда. [c.434]

Мы покажем, что мера 1Аф( ) непрерывно зависит от потока / (предложение 5.4). В этом же направленин Я. Г. Синай 26] доказал устойчивость меры Лф по отношению к малым сто.хастическим возмущениям У-потоков ). Формула (I) верна для почти всех точек х в области притяжения аттрактора можно показать, что для А-потоков класса объединение областей притяжения всех аттракторов (включая стоки, т. е. притягивающие точки) покрывает все многообразие М с точностью до множества лебеговской меры нуль. Эквивалентное утверждение если базисное множество не является аттрактором, то его устойчивое многообразие имеет меру нуль (теорема 5.6). [c.146]

Теорема. Пусть А —аттрактор класса С=, W%—его область притяжения, v — вероятностная мера, абсолютно непрерывная по отношению к мере т, с носителем в множестве Wx- Если ограничение потока F на множество Л является то/ Ологическим перемешиванием, то [c.163]

Среднее было найдено путем выбора 10 начальных условий при каждом выборе а. Начальные условия выбирались в первоначальной области притяжения прекратившего существование странного аттрактора. Продолжительность таких переходных хаотических режимов может быть очень велика. Например, в случае отображения Энона Гребоги и его сотрудники обнаружили, что <т> 10 при — = 5-10 и <т> 10 при а — = 10 . [c.188]

Дауэлл и Пезешки [31] исследовали области притяжения в рассматриваемой нами задаче (рис. 5.25 и 6.22). Эти авторы классифицировали области притяжения по тому, сколько раз траектория частицы пересекает ось х = О, прежде чем устремится к дг = 1. Нетрудно видеть, что при достаточно больших начальных условиях существуют чередующиеся полосы, из которых траектория направляется в конце концов к левому (или к правому) аттрактору. Хотя границы полос остаются гладкими, их ширина стремится к нулю, когда коэффициент затухания 7 — 0. Таким образом, если началь- [c.251]

Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положения равновесия [144] (The Ameri an Physi al So iety, 1985).

Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное переменное, то квадратичное отображение г — -I- с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныие в фирме 1ВМ. [c.270]

Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определенная область притяжения, причем границами между этими областями служат неустойчивые предельные циклы (иногда такие циклы, а такн е неустойчивые состояния равновесия называют репеллерами — от английского глагола to repel — отталкивать). Эта картина подобна тому, как на земной поверхности границы между бассейнами рек проходят по линиям водораздела. [c.208]

Нри простой структуре фазовой диаграммы, когда существует единственный аттрактор — устойчивое состояние равновесия как на рис. 2.3, или устойчивый предельный цикл как на рис. 13.3 — его областью притяжения слунтт вся фазовая плоскость. В более сложных случаях стремление возмущенного двин ения к тому или иному аттрактору зависит от того, в какой из областей притяжения оказалась изображающая точка при начальном возмущении. Так, для системы с двумя предельными циклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, располо- кенпая внутри неустойчивого предельного цикла яв- [c.208]

Прежде всего отметим, что начало координат на фазовой плоскости — неустойчивый фокус. Главная отличительная особенность фазовой диаграммы — упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором. Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл — замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую А2 на рис. 13.4, а) и служащая границей области притяжения к странному аттрактору. Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только притягиваются к странному аттрактору, но, можно сказать, втягиваются в него. Оказавшись внутри зоны странного аттрактора, изобран аю-щая точка не выходит из нее и далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно большого возмущения начальная изобранчающая точка оказалась за 16 я. I. Пановко [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...