Каустики и волновые фронты

КАУСТИКИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ [c.86]

Каустики и волновые фронты [c.87]

Рис. 2.18. Каустика и волновые фронты конгруэнции лучей (2.10.16). Эйконал имеет разрыв на оси л (волнистая линия), а волновые фронты пересекают оси z их перпендикулярно им. Каустика, показанная жирной линией, соединяет точки (О, 1) с точкой

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

Раскрытый ласточкин хвост был первым обнаруженным нетривиальным примером особого лагранжева многообразия и играет важную роль в теории особенностей каустик и волновых фронтов он связан с икосаэдром, спрятанным в точке перегиба границы препятствия на евклидовой плоскости. [c.12]

Топология пространств функций с умеренными особенностями может быть использована для изучения топологических свойств каустик и волновых фронтов, а также лагранжевых и лежандровых особенностей. [c.145]

Васильев В.А. Характеристические классы лагранжевых и лежандровых многообразий, двойственные к особенностям каустик и волновых фронтов. Функцион. анализ и его прил. 1981, 15 (3), 10-22. [c.323]

Особенности каустик и волновых фронтов. М. ФАЗИС, 1996. - х+334 с. [c.338]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

Рис. 2.16. а — пересечение лучей вблизи регулярной точки каустики б — волновые фронты, соответствующие случаю на рис. а в — точка возврата, образуемая на каустике волновыми фронтами г — пересечение лучей вблизи точки возврата в этом случае более двух лучей могут пересекаться в одной точке и приводить к образованию сложной интерференционной картины отмечена также точка Q, лежащая в темной зоне одной ветви каустики и в светлой зоне другой ветви. [c.89]

Начиная с 1993 года исследования симплектических обобщений упоминавшихся во Введении теорем о четырёх вершинах и четырёх омбилических точках привели к созданию теории инвариантов и перестроек кривых и волновых фронтов на плоскости [192]-[19б], связанной с теорией инвариантов узлов. Появились работы об оценках числа точек уплощений кривых в многомерных проективных пространствах, числа точек возврата на каустиках лагранжевых цилиндров, близких к системе нормалей окружности (лагранжевых коллапсов), и многие другие [194]. [c.157]

Формула (2.4) будет образцом для построения волнового поля в окрестности каустики в общем случае. Однако, прежде чем провести эти общие построения, придется подробно заняться дифференциальной геометрией лучей и волновых фронтов вблизи каустики, К этим (довольно громоздким) исследованиям мы и переходим, [c.47]

Уравнение лучей и волновых фронтов в окрестности каустики [c.49]

Отсчет координаты z ведется от плоскости, в которой волновой фронт плоский. В этой плоскости размер каждой моды и пучка излучения в целом минимален ( плоскость перетяжки ). По мере удаления от этой плоскости размер каустики увеличивается. Относительное увеличение одинаково для всех мод данного резонатора и определяется выражением [c.74]

Рис. 2.6. а — отражение радиоволн, образующих каустику в -слое ионосферы [слева показан профиль показателя преломления, уменьшающегося в области ионосферной плазмы в соответствии с выражением (1.2.47)] б — конгруэнция падающих лучей в — конгруэнция отраженных лучей на каустике падающий и отраженный волновые фронты образуют точки возврата. [c.73]

Для более строгого описания рассмотрим двумерную конгруэнцию лучей и треугольный контур, состоящий из элемента луча 6, участка каустики и отрезка на волновом фронте Д. Очевидно, что поток вектора через этот контур равен —Д. Площадь, ограниченная контуром, стремится к нулю приблизительно как 6Д. Поэтому отношение потока к площади расходится как —1/6. Используя теорему Гаусса, получаем, что на каустике V стремится к — оо. Так как [c.87]

Волновые фронты, проходящие через две точки, расположенные на одном и том же луче по обе стороны относительно точки касания луча с каустикой, имеют противоположные значения кривизны, поскольку эти фронты отвечают приходящей и уходящей волне (рис, 2.17). Вообще говоря, фаза волны увеличивается на тг/2, когда соответствующий луч касается каустики (см. заключительную часть разд. 2.9). [c.90]

Аналитические свойства конгруэнций лучей, волновых фронтов и каустик [c.90]

Рассмотрим теперь соотношения между конгруэнциями лучей, волновыми фронтами и каустиками с аналитической точки зрения. Конгруэнция прямых лучей, например распространяющихся в однородной среде, может быть определена следующей парой параметрических [c.90]

В частности, теория дифракции занимается главным образом изучением полей вблизи каустик, фокусов и границ тени, связанных с волновыми фронтами, ограниченными отверстиями (или препятствиями). В строгом смысле слова всякое препятствие можно рассматривать как область, в которой показатель преломления отличается от его величины в окружающей среде поэтому дифракцию на отверстиях или рассеяние на препятствиях можно рассматривать как распространение через неоднородную среду. Таким образом, приведенная классификация определяется главным образом соображениями удобства. [c.251]

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Классификации особенностей различных объектов показывают, что алгебраически наиболее естественны классификации простых объектов, то есть объектов, не имеющих модулей. Так, классификация простых критических точек функций, простых особенностей гиперповерхностей, простых лагранжевых и лежандровых особенностей, простых особенностей каустик и волновых фронтов ведёт к списку Ет, Е диаграмм Дынкина, не имеющих кратных рёбер (углов, отличных от 120° между неортогональными простыми корнями), см. [2], Классификация простых критических точек функций на многообразии с краем ведёт к тому же списку, дополненному диаграммами В , С , F4 (допускаются углы в 135°). [c.168]

АРНОЛЬД Владимир Игоревич ОСОБЕННСХЛ-И КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [c.338]

Рассмотрим более подробно двумерную задачу. Обычно построение каустик иллю>стрируется рисунком, подобным рис, 3.1, где показаны локальные взаимоотношения между лучами выпуклого участка фронта волны и соответствующего им участка гладкой ветви каустики. Между тем при продолжении этой картины, т, е. построении каустик и волновых фронтов в целом, возникают характерные, хотя и относительно мало известные, конфигурации. [c.64]

Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся обобщением исследования фушй1ий на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения в математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Главы книги посвящены теории гладких функций, особенностям каустик и волновых фронтов в геометрической оптике. [c.288]

Наиб, успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве ве были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t, нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особеспюсти в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распрострапепии возмущения внутрь эллпнса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве — это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х =у ) и л а с т о ч к и н ы хвосты [рис. 4 эта поверхность образована точками (а, Ь, с), для к-рых многочлен х - ах - -Ьх- -с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк рис. 5). [c.245]

Применим выведенные формулы к ситуации, изображенной на рис. 3.1а. Луч стартует в х = Xi с ai =0, через какое-то число проходов доходит до правого открытого края резонатора, частично отражается от него и идет назад. Нетрудно видеть, что сечение х = Xi является местом поворота траектории луча здесь находится каустика соответств>тощего этой траектории колебания, излучение которого, таким образом, сосредоточено между Xi и правым краем. Движению луча слева направо и обратно соответствуют участки волновых фронтов шириной Х2 — Xi = Ь с одинаковыми Az число полос интерференции, умещающихся внутри этой полосы, составляет lAzjX. Классифицируя моды, как всегда, по числу максимумов (полос) на зеркале, получаем для поперечного индекса т соотношение 2Az = (m + 1)Х. [c.155]

Рассмотрим набег фазы вдоль оси абсцисс в системе лучей (5.7), когда п проходит полный период и Хп пробегает все значения на оси абсцисс от каустики до каустики и обратно. Смегцепие па dxn вдоль оси X соответствует смеш епию волнового фронта, ортогонального к лучам, на величину dxn sin (fn и изменению фазы на к dxn sin ipn- Если это выражение проинтегрировать по всем указанным значениям то для однозначности фазы полученный набег должен быть кратен 2тг. Точнее сказать, он должен быть равен (2ш -Ь 1)тг (т — целое), поскольку каждое касание луча с каустикой влечет дополнительный пабег фазы тг/2 (см. [138]). Таким образом, система лучей (5.7) должна удовлетворять условию самосогласованности [c.259]

Вследствие двумерности системы таких условий два. При написании этих условий будем исходить из следуюш,их физических соображений. В каждой точке каустики ее касается луч, входягций в исследуемую систему лучей. Так как фазовая скорость волны вдоль луча равна скорости света в вакууме, то волновой фронт вдоль каустики также должен распространяться со скоростью света в вакууме. Если каустика представляет собой замкнутую линию, то длина ее должна быть кратна длине волны, чтобы волновой фронт, обежав каустику, вернулся в исходную точку с той же фазой, с которой он из нее вышел. Если же каустика опирается на отражаюш ие зеркала, то ее длина должна быть кратна половине длине волны, так как она до замыкания проходится дважды (если, конечно, волна не приобретает дополнительной фазы при отражении от зеркала). Это и есть первое фазовое условие. [c.266]

Второе фазовое условие также имеет простой физический смысл. В точку 82 (рис. 5.4) приходят два волновых фронта, вышедших из точки Зг — один распространяется вдоль лучей 3 В и ВЗ2, второй — вдоль каустики 31Р32. Разность фаз этих двух фронтов должна быть кратна 2тг, точнее сказать, если учесть дополнительный набег фазы на каустике, равный тг/2, она должна быть равна (2т + 1/2)тг. Таким образом, второе фазовое условие имеет вид [c.266]

В случаях когда р = тг/2, каустика вырождается в прямые линии, выходящие из фокусов и уходящие в бесконечность (рис. 7.11, а), в то время как волновые фронты (S = onst) вырождаются в окружности с центрами в точках д = Ь. Лучи с фокусами прих = —6 и направленные к точке z = +оо описываются уравнением эйконала [c.491]

При анализе лучевой картины светового поля принято выделять важный структ)фный элемент, называемый каустикой. Каустика - это поверхность (или линия), огибающая систему л) ей (рис. 1.3.6). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в фокальную линию (ось системы координат). Каустика сферической волны вырождается в точку п фокус. Каустика может сформироваться как в неоднородной среде, так и в однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на рис. 1.3.7, где лучи п нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...