Перестройки каустик

В типичных однопараметрических семействах лагранжевых отображений встречаются нетипичные особенности (при некоторых значениях параметра). При прохождении параметра через такое значение каустика меняет свою форму. В этом параграфе обсуждаются перестройки каустик в типичных семействах в пространствах малой размерности. [c.43]

Рис. 21. Типичные перестройки каустик в трёхмерном пространстве

Перестройки фронтов, как и перестройки каустик, легче изучать в пространстве-времени. Объединение фронтов в различные моменты времени образует гиперповерхность в пространстве-времени. Легко видеть, что эта гиперповерхность, образованная типичным движущимся фронтом, сама является фронтом типичного лежандрова отображения подмногообразия, размерность которого на 1 больше размерности изучаемого движущегося фронта. [c.75]

Перестройки особенностей потенциальных потоков и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве. Тр. семинаров им. И. Г. Петровского, 1982, вып. 8. 21—57 [c.210]

Таким образом, волновой фронт общего положения в трехмерном пространстве имеет только ребра возврата и точки типа ласточкин хвост . При движении фронта в отдельные моменты времени наблюдаются еще перестройки трех типов А , В1 (см. добавление 12, где нарисованы соответствующие каустики, заметаемые особенностями фронта при его движении). [c.334]

Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версаль-иость отображений. В [112, стр. 56—93] [c.239]

Однако, после первой перестройки (т. е. после образования каустики) лагранжево подмногообразие приобретает некоторые особенности ( слабые разрывы ), так как плотность (и, следовательно, гамильтониан) становится особой на каустике. [c.44]

Рис. 22. Перестройка появления каустики в пространстве-времени

Перестройки оптических каустик 49 [c.49]

Перестройки оптических каустик [c.49]

Следствие 2. Для оптических каустик невозможна перестройка появления блюдца. [c.50]

Для описания топологических ограничений на типичные оптические каустики и их перестройки в 3-пространстве рассмотрим поверхность критических точек лагранжевой проекции оптического лагранжева 3-многообразия. Эта поверхность имеет простые (квадратичные) конические особенности в точках, где лагранжево отображение имеет особенности типа >4 в остальных местах (в точках типа А ) она является гладкой. [c.50]

Из невозможности появления летающей тарелки при перестройке оптической каустики в 3-пространстве следует невозможность появления губ при перестройке плоской оптической каустики. Чеканов доказал также, что компонента типа губы глобально невозможна для односвязной лагранжевой поверхности. [c.52]

Пример 1. В некоторой окрестности перестройки губы или клюв-к-клюву каустики (или фронта), движущейся на плоскости, движу- [c.219]

Перестройки фронтов, рассеяние лучей и особенность каустики [c.303]

В п. 8.5.1 описываются перестройки фронтов, каустика и рассеяние лучей при внутреннем преломлении и внутреннем отражении типичных волн в средах, оптические свойства которых общим образом зависят от точки и направления. Допускается их зависимость и от времени. Но описанные явления не наблюдаются ни в однородных, ни в изотропных средах. [c.304]

Рис. 131. Перестройки фронта, каустика и рассеяние лучей при внутреннем отражении волны

Арнольд В. И. Перестройки особенностей потенциальных потоков в бесстолкновительной среде в бесстолкновительной среде и метаморфозы каустик в трёхмерном пространстве. Тр. Семинара им. Петровского 1982, 8, 21-57. [c.321]

Перестройки каустик могут быть описаны как метаморфозы сечений большой каустики в пространстве-времени изохронами (см. [1], [72]). Нормальные формы больших каустик и функций времени для трёхмерного пространства приведены в следующей таблице [c.45]

Перестройка рождения блюдца 50 Перестройки каустик 43 Пирамида, особенность 28 Платоновой иерархия проектирований 159 Поверхность кргювых векторов 198 Поверхность ортов 198 Положительные точки возврата 122, 149 Положительные точки перегиба 122 Порядок кривой 231 Потешщальное поле Ко 83 Потешщальное поле с потешщалом а 83 Почка 142 [c.333]

Наиб, успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве ве были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t, нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особеспюсти в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распрострапепии возмущения внутрь эллпнса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве — это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х =у ) и л а с т о ч к и н ы хвосты [рис. 4 эта поверхность образована точками (а, Ь, с), для к-рых многочлен х - ах - -Ьх- -с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк рис. 5). [c.245]

Лучевая асимптотика ). Фронт распространяющейся волны представляет собой поверхность разрыва для производных некоторого порядка от смещений. В силу этого в окрестности фронта изменение поля смещений в направлении нормали к фронту значительно более интенсивно, чем такое же изменение вдоль фронта. Это позволяет рассматривать окрестность каждой точки фронта как локально-плоскую волну. На этой идее построен асимптотический метод изучения окрестности фронтов (для неподвижного наблюдателя — окрестности первого вступления некоторой волны). Этот метод давно известен в акустике и оптике. Перенос его в теорию упругости был впервые осуществлен в работе М. Л. Левина и С. М. Рытова (1956). В дальнейшем он подвергался разработке и использовался как средство приближенного решения задач отражения и преломления. Описание поля в окрестности фронта можно строить с разной степенью точности в прикладных задачах обычно пользуются первым приближением, но есть случаи, когда оно принципиально недостаточна (Г. С. Подъяпольский, 1959). Лучевой подход, с одной стороны, обладает большой общностью, например, он применим без особых осложнений к неоднородным средам. С другой стороны, есть исключительные ситуации, где он не работает или требует существенной перестройки, например в окрестности начальных точек головных волн (и вообще точек пересечения фронтов), в окрестности каустики и др. (В. М. Бабич, 1961 Ю. Л. Газарян, 1961 Б. Т. Яновская, 1964). [c.297]

В качестве источника излучения фиксированной частоты (Oi использовалась вторая гармоника лазера на Nd YAG, имеющая следующие параметры Л = 0,53 мкм, мощность в импульсе 2 МВт, длительность импульса т = 20 не, частота повторения 12,5 Гц и спектральная ширина Av O,l см Источником излучения перестраиваемой частоты 0)2 служил лазер на красителе (с накачкой второй гармоникой Nd YAG-лазера), собранный по схеме со скользящим падением на дифракционную решетку. Мощность излучения после усилителя составляла 150 кВт при ширине линии Av2i 0,3 см Перестройка частоты осуществлялась при помощи шагового двигателя, управляемого ЭВМ СМ-4 либо при помощи пьезокерамического сканирующего элемента. Для согласования каустик лазерных пучков использовались телескопы. Поскольку [c.159]

Возбуждение эмиссионного спектра аэрозолей осуществляется электроионизационным СОг-лазером, представляющим собой модифицированный вариант разработки [32] в малогабаритном транспортируемом исполнении. Максимальная энергия в импульсе генерации лазера достигает 500 Дж длительность главного пика генерации на полувысоте и длительность заднего фронта равны соответственно 0,3 и 1,5 мкс диаметр пучка ПО мм. Перед выходом в атмосферу лазерный пучок формируется оптической зеркальной системой Кассегрена с диаметром большого зеркала 2/ о = 500 мм (парабола) и малого 2/ 2=1Ю мм (гипербола). Перестройка фокусного расстояния в диапазоне Ро = 50... 250 м, определяющая дальность зондирования, производится перемещением малого зеркала. Сканирование по углу места осуществляется поворотом телескопа относительно горизонтальной оси, совмещенной с оптической осью лазерного пучка и центром поворотного зеркала телескопа. Пространственное разрешение определяется протяженностью области наибольшей перетяжки каустики сфокусированного пучка и степенью превышения плотности энергии в указанной области над пороговой плотностью энергии низкопорогового пробоя на частицах аэрозоля (гг пр=Ю... 15 Дж/см ) и составляет 5.. . 25 м. Телескоп Кассегрена одновременно служит для приема свечения лазерной искры, что автоматически обеспечивает согласование приемопередающего тракта лидара. [c.100]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версальность оггображений // Итоги иауки н техи. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем.— [c.242]

Каустики плоских кривых изучал еще Гюйгенс в 1650-х годах в связи со своей теорией эволют и эвольвент. В учебнике Лопиталя по анализу бесконечно-малых (1700 г.) рассмотрены задачи об особенностях и перестройках семейств ортогональных плоских кривых. В 1852 г. Кэли исследовал каустику трехосного эллипсоида. В настоящее время теория особенностей систем лучей Гамильтона сильно продвинута и входит составной частью в теорию катастроф (см. обзорную статью [7], а также книгу [9]). Сколько известно автору, особенности систем лучей Куммера в рамках теории катастроф пока не изучались. [c.41]

Перестройки, соответствующие семействам из таблицы, изображены на рис. 21. (Впервые эти рисунки появились в [73] более подробно см. [72], [74].) Параметр а является модулем, следовательно существует непрерывное семейство дифференцируемо неэквивалентных перестроек (в то время как существует только 6 неэквивалентных ростков особенностей типичных больших каустик в четырёхмерном пространстве-времени). [c.45]

Изохроны t = onst не пересекают большую каустику, если i < 0. При i = О появляется единственная точка каустики, немедленно начинающая расти (бесконечно быстро, с самого первого момента). В момент времени t = е эта каустика имеет серповидную форму, размера порядка у/е. Эта каустика имеет две точки возврата и (для перестройки общего положения) две точки перегиба. Р.Том назвал эту перестройку губами . [c.47]

В четырёхмерном пространстве-времени перестройка появления каустики аналогична предыдущей новая каустика имеет вид блюдца с диаметром порядка у/е, глубиной порядка е и толщиной порядка у/ёе. Край этого блюдца — почти эллиптическое ребро возврата (рис. 23). [c.47]

Зака л ю к и н в. м. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версальность отобрг1жений. Современные проблемы математики. (Итоги науки и техн.). Т. 22. М. ВИНИТИ АН СССР, 1983, 56-93. [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...