Каустики систем лучей

Каустики. Поверхность (или линия), огибающая систему лучей, называется каустикой (рис. 21.7). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в [c.230]

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

Приведение к нормальным формам различных объектов диффеоморфизмами, сохраняющими волновые фронты или каустики,— основное техническое средство исследования геометрии систем лучей и фронтов. Например, исследование метаморфоз движущегося [c.453]

Каустика типичной системы лучей на трехмерном многообразии имеет особенности, изображенные на рис. 48, Аналогичным образом описываются особенности каустик систем экстремалей общих вариационных задач. [c.104]

Конечно, линия уровня кратчайшего расстояния до эллипса образует только часть эквидистанты. Однако, большинство свойств особенностей систем лучей, каустик и фронтов становится более наглядным, если мы рассмотрим не только минимумы, но и остальные экстремальные точки функционалов. В нашем примере мы начали с изучения эквидистант и затем выделили нужные части. [c.1]

Рис. 2. Каустики как огибающие систем лучей и как множество особых точек эквидистант

Принципы применения теории особенностей к изучению систем лучей, волновых фронтов, каустик и их перестроек в общих вариационных задачах те же, что мы видели в предыдущем примере. [c.3]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

О. п. состоят, как обычно, из системы сред, ограниченных преломляющими и отражающими плоскими и сферическими поверхностями. Реже встречаются более сложные поверхности (напр, параболоид вращения, цилиндр вращения и т. д.). В практике наиболее часты системы, центры сферич. поверхностей к-рых или лежат на одной прямой линии, называемой осью системы, или м. б. рассматриваемы как лежащие на одной прямой. Они называются оптическими центрированными системами. Мы рассмотрим их свойства, изучение которых составляет предмет геометрич. оптики (см. Свет) и которые являются основаниями теории оптич. инструментов. Пространство, в котором находятся лучи, попадающие в оптич. систему, называют п р о с т р а н с т.в о м предмета, а пространство, где расположены лучи по выходе из системы,—п р о-странством изображения. Оба пространства мыслятся неограниченными. Лучи, выходящие из какой-нибудь точки освещенного предмета, по прохождении через систему вообще располагаются т. обр., что точки их взаимного пересечения обыкновенно группируются в небольшом пространстве, образуя т. наз. изображение точ-ки оно называется действительным, когда пересекаются лучи, или мнимым, когда пересекаются их, продолжения. Исключение представляет случай, когда лучи в пространстве изображения близки к параллельности. В этом случае мы говорим, что изображение лежит на бесконечности. Поверхность, к-рой касаются все лучи, образующие изображение точки, носит название каустической, или каустики. В случае идеального изображения точки все лучи собираются в одну точку (получается т. н. гомоцентрический пучок луче й). [c.71]

В точке Мо, лежащей на каустике, введем декартову систему координат X, у, г. Пусть плоскость х, у) совпадает с касательной плоскостью к каустике в точке Мо, а ось х направлена по лучу, проходящему через Мо в сторону возрастания т. Выбор направления оси г будет уточнен несколько позже. [c.49]

Каустики систем лучей. Рассмотрим гиперповерхность в зимановом многообразии (полном). Геодезические, выходящие 3 точек гиперповерхности и перпендикулярные ей, образуют систему лучей. По системе лучей можно построить нормальное )тображение (точно так же, как в п. 2.2 для евклидова пространства) нормальному вектору длины 1 это отображение поставляет конец отрезка геодезической длины t, начина-ощегося в точке приложения вектора. [c.103]

Вследствие двумерности системы таких условий два. При написании этих условий будем исходить из следуюш,их физических соображений. В каждой точке каустики ее касается луч, входягций в исследуемую систему лучей. Так как фазовая скорость волны вдоль луча равна скорости света в вакууме, то волновой фронт вдоль каустики также должен распространяться со скоростью света в вакууме. Если каустика представляет собой замкнутую линию, то длина ее должна быть кратна длине волны, чтобы волновой фронт, обежав каустику, вернулся в исходную точку с той же фазой, с которой он из нее вышел. Если же каустика опирается на отражаюш ие зеркала, то ее длина должна быть кратна половине длине волны, так как она до замыкания проходится дважды (если, конечно, волна не приобретает дополнительной фазы при отражении от зеркала). Это и есть первое фазовое условие. [c.266]

Рассмотрим систему лучей, обладающую каустикой с двумя ветвями (рис. 5.16) и общими асимптотами. Хотя это и не принципиально, будем считать, что каустики симметрично расположены относительно декартовых координат. Построим криволинейную ортогональную биссекториальную систему координат. Координатные линии этой системы делят пополам углы между лучами, при этом линии N ортогональны к каустикам и линии К ортогональны к линиям Л/". Координату будем отсчитывать вдоль линии Щ от точки пересечения ее [c.297]

Теорема. Каустики типичных систем лучей в простран- твах измерений устойчивы и локально диффеоморфны [c.103]

Каустики плоских кривых изучал еще Гюйгенс в 1650-х годах в связи со своей теорией эволют и эвольвент. В учебнике Лопиталя по анализу бесконечно-малых (1700 г.) рассмотрены задачи об особенностях и перестройках семейств ортогональных плоских кривых. В 1852 г. Кэли исследовал каустику трехосного эллипсоида. В настоящее время теория особенностей систем лучей Гамильтона сильно продвинута и входит составной частью в теорию катастроф (см. обзорную статью [7], а также книгу [9]). Сколько известно автору, особенности систем лучей Куммера в рамках теории катастроф пока не изучались. [c.41]

В ЭТОЙ книге собраны главные результаты, полученные при реализации описанной выше программы, начиная с 1972 года, когда была открыта связь между особенностями систем лучей, их каустик, волновых фронтов, преобразований Лежандра, групп, порождённых отражениями, и групп Вейля [2]. Группы Л, О, Е (имеющие только простые рёбра в диаграммах Дынкина) появились в первую очередь. Впоследствии, в 1978 году, была открыта юаимосвязь между группами с двойными рёбрами [В, С, Р) и особенностями на границе (например, особенностями функции расстояния до многообразия с краем) (см. [3]). [c.4]

Техника, на которую опирается изучение особенностей систем лучей, каустик, волновых фронтов и других объектов, связанных с геометрической оптикой и вариационным исчислением, идёт из симплек-тйческой и контактной геометрии. Симплектический анализ работы О.П.Щербака привёл А.Б.Гивенталя [8] к открытию задачи классификации волновых фронтов, решения которой юаимно однозначно соответствуют конечным группам Кокстера, порождённым евклидовыми отражениями. [c.4]

Поверхность, огибающая совокупность лучей преломленного пучка, носит название каустической поверхности каустики), а ее сечение любой плоскостью, проходящей через луч, — каустической кривой. Если пучок при прохождении через оптическую систему сохранил гомоцеитричность, то каустика вырождается в точку, представляющую вершину гомоцентрического пучка. Нарушение гомоцентричности означает большее или меньшее искажение [c.302]

При анализе лучевой картины светового поля принято выделять важный структ)фный элемент, называемый каустикой. Каустика - это поверхность (или линия), огибающая систему л) ей (рис. 1.3.6). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в фокальную линию (ось системы координат). Каустика сферической волны вырождается в точку п фокус. Каустика может сформироваться как в неоднородной среде, так и в однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на рис. 1.3.7, где лучи п нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...