Операторная топология сильная

Идея введения на Й сильной топологии вместо подражания слабой операторной топологии получила сильную поддержку в работе Сигала [356], и, по-видимому, уместно привести здесь весьма четко сформулированные Сигалом аксиомы. [c.75]

Равномерной топологией называется топология, индуцированная на (Ж) операторной нормой. Ее также называют иногда сильной операторной топологией или метрической топологией множества 33(Ж). Именно такую топологию мы рассматривали до сих пор, когда говорили о ЗВ(Ж) как о С -алгебре. [c.149]

Сильной (операторной) топологией называется самая слабая топология на Ъ(Ж), для которой отображения В->ВЧ, действующие из 3 (Ж) в Ж (последнее снабжено своей сильной топологией), непрерывны. Базис окрестностей для этой топологии получают, рассматривая все множества вида [c.149]

Условие, определяющее пространство не только играет важную роль при установлении общей всюду плотной области определения операторов а (/) и а (/) при любой функции f е но и позволяет сделать следующий интересный вывод, которым мы тут же воспользуемся, чтобы лучше разобраться в ситуации, возникшей в случае модели Ван Хова (гл. 1, 1) отображение /- (/), действующее из в 8(0 <Жу), непрерывно, если пространство [ ] снабжено топологией, ассоциированной с нормой / (п ( ) + 1) I/у Р, а пространство 23(0 5 у) снабжено своей сильной операторной топологией. [c.341]

Доказательство. Прежде всего воспользуемся тем, что Зл ( ) есть замыкание в сильной операторной топологии множества всех конечных линейных комбинаций вида [c.366]

Примечания. Всякая алгебра фон Неймана 3 содержит тождественный оператор и, стало быть, удовлетворяет предположению теоремы. Так как, по определению, = мы на основании теоремы заключаем, что алгебра фон Неймана Ш замкнута относительно слабой операторной топологии и, следовательно, относительно любой из пяти топологий, введенных выше на Зд Ж). В частности, любая алгебра фон Неймана замкнута относительно сильной топологии, индуцированной нормой, и является С -алгеброй. На основании только что доказанной теоремы мы заключаем также, что всякая -подалгебра алгебры 23( ), содержащая тождественный оператор и замкнутая относительно слабой операторной топологии (сильной операторной топологии, ультраслабой топологии или ультрасильной топологии), есть алгебра фон Неймана. Итак, мы имеем ряд альтернативных определений алгебры фон Неймана. Заметим далее, что если VI — алгебра фон Неймана, — множество всех ее операторов проектирования и ( ) — множество, порожденное [c.152]

Здесь линия, идущая вверх от одной топологии к другой, означает, что первая слабее второй. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что на ограниченных подмножествах множества Ъ Ж). а) сильная топология совпадает с ультрасильной и б) слабая топология совпадает с ультраслабой. Отметим также, что отображения А->-АВ (где элемент В фиксирован ) и В->АВ (где элемент А фиксирован ) непрерывны во всех пяти топологиях, но (если не считать равномерной топологии) отображения (Л, В)- АВ не являются непрерывными )- Кроме того, отметим, что отображение Л->Л непрерывно в равномерной, ультраслабой и слабой операторной топологии, но не является непрерывным ни в сильной, ни в ультрасильной топологии. На этом мы закончим наши предварительные замечания о пяти топологиях. [c.151]

Ж = 17 е ЗИ, Ч " е Ж . Тогда Ш" есть замыкание в Ъ Ж) алгебры ЗИ относительно слабой операторной топологии, ультраслабой топологии, сильной операторной топологии и ультрасильной топологии. [c.152]

Доказательство. Прежде всего заметим, что абелевость алгебры фЯф(81) Е эквивалентна абелевости алгебры Е п (Э1)" ф. Кроме того, всякое конечное произведение элементов из Яф(Э1) и и 0) можно привести к виду зТф(/ ) /ф( ), а поэтому Э ф ф совпадает с замыканием (в сильной операторной топологии) множества с,Яф (У г) /ф (ё г) ф = СгЯф (/ /) Е . Следовательно, [c.232]

Доказательство. По теореме Неймана о плотности ( 1, теорема 10) алгебра Я плотна в бикоммутанте Ш" в сильной операторной топологии. На основании теоремы Капланского о плотности [77, гл. 1, 3, п. 5, теорема 3] мы можем заключить отсюда, что единичный шар SKj в 8i плотен в единичном шаре 8i" в 8i" в сильной операторной топологии. Поскольку единичный шар 8i" по предположению метризуем в этой топологии, мы можем для любой пары R, S элементов из 9ii найти две последовательности и S элементов из Sij, которые сходятся к У и S в сильной операторной топологии. Следовательно, в этой топологии а [/ п] сходится кй<[/ ] и [/ ] сходится к S ti [/ ] Таким образом, последовательность [c.259]

Доказательство. Поскольку пространство сепарабельно, бикоммутант Я(p(8i)" допускает счетное разложение ), и поэтому [77, гл. 1, 3, п. I, предложение 1] единичный шар в Лф(0 )" метризуем в сильной операторной топологии. Таким образом, следствие 1 сразу же вытекает из теоремы 10, если вспомнить, что Яф(91), /ф (К) — ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, Ф — циклический вектор, соответствующий состоянию ф в этом представлении, (ф X) = (Ф, ХФ) для всех X е (Я)" и щ [X] С/ф (1) Хи [—1). [c.260]

Из принятой нами формы канонического перестановочного соотношения следует, что всякое конечное произведение членов вида и (а,) У (Ь ) можно представить в виде и а)У (Ь). Поэтому 2В, есть -алгебра с единицей, сильное замыкание которой совпадает с 2Б". Отсюда мы можем заключить, что в Ш" существует счетное всюду плотное семейство элементов, а именно 2Во-КИМ образом, алгебра фон Неймана ЗВ" сепарабельна в сильной операторной топологии. Если представление и а), ]/ Ь) а, е неприводимо, то каждый вектор Ф евЖ цикличен относительно 2В" и, следовательно, относительно ЗВо- Поскольку же [c.297]

По самому построению циклические представления 2Вф, полученные в теореме 7, обладают тем свойством, что отображения Я е К -> 7 (Я/) е 58 и Я е К -> 7 (Я ) е 23 непрерывны в сильной операторной топологии для любых фиксированных функций I п д из ё . Как мы только что заметили, топологию в пространстве ё можно вводить по своему усмотрению. Нужно лишь выяснить, нет ли какой-либо топологии, более естественной, чем другие, и если это так, то можно ли получить какие-либо результаты, рассматривая пространство снабженное наиболее естественной топологией. В этой связи Хегерфельдт и Клаудер [169] ) доказали ряд интересных результатов, на которых мы сейчас очень кратко остановимся. Метрика, определяемая соотношением [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...