Система условно периодическая

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Здесь повторяется ситуация, рассмотренная в предыдущих главах процедура усреднения может быть достаточно эффективной в случае исследования колебательных процессов, описываемых периодическими или условно-периодическими функциями. Некоторые вопросы применимости метода усреднения к каноническим системам решены в работах [8, 12, 29, 31, 125, 168]. Здесь мы изложим в некотором смысле более общий алгоритм реализации метода усреднения для уравнений (1). [c.205]

Ставится задача о нахождении точных (а не приближенных) решений гамильтоновой системы (1) в виде условно-периодических функций времени при вещественных начальных значениях ( 0) Уо) Gin- [c.240]

Таким образом, для доказательства существования точных решений гамильтоновых систем в виде условно-периодических функций времени необходимо выяснить условия, при которых ряды (222) сходятся в классическом смысле. К. Л. Зигель [91, 185] п А. И. Колмогоров [112, 186] выдвинули те плодотворные идеи, которые мы обсуждали в 4.1. Применительно к гамильтоновым система.м это означает [c.240]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Условно-периодические по п решения этой системы описывают собственные системы лучей исследуемого резонатора. Систему (5.76) можно линеаризовать вблизи значений р = q = 0. В результате она примет вид [c.294]

Условно-периодическое решение этой системы очевидно [c.294]

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

Пусть А = А —невырожденная критическая точка функции h, причем h X )6 < 0. Тогда при малых значениях е > О возмущенная система с гамильтонианом (11.2) имеет (п — 1)-параметриче-ское семейство условно-периодических решений [c.246]

Условно-постоянную информацию (хранится в памяти системы) можно периодически дополнять и обновлять. К условно-постоянной информации относятся, например, прейскуранты цен на материалы, характеристики материалов (твердость, пределы прочности, текучести и др.), текстовые и графические описания стандартных или унифицированных деталей машин с их характеристиками, стандартные значения параметров деталей конструкций и т. д. [c.23]

В соответствии с записанной на перфокарте программой привод гибочного ролика перемещается на трубу (условно назовем движением вверх). Включается реле времени. После его отработки привод гибочного ролика с постоянной, но максимальной скоростью получает движение вниз. Процесс протекает до срабатывания индикатора 15 нулевого момента. После этого следящая система размыкается коммутатором 14. Одновременно в запоминающее устройство вводятся сигналы программы и датчика обратной связи, которые сравниваются. Следующее движение вверх осуществляется на скорости, соответствующей разности сигналов, зафиксированных в памяти при предыдущем движении. Указанная система реализует периодическую разгрузку и нагрузку сечения заготовки с автоматическим регулированием величины нагружения в функции усилий, соответствующих заданной разгрузке. [c.184]

Мы увидим, что во многих невозмущенных интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты переменные действие — угол . В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах, [c.238]

В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. [c.250]

Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом [c.367]

На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Таким образом, для почти всех начальных условий фазовая кривая невозмущенной невырожденной системы всюду плотно заполняет инвариантный тор, размерность которого равна числу степеней свободы (т. е. половине размерности фазового пространства). [c.369]

Т е о р е м а. Если невозмущенная гамильтонова система не вырождена, то при достаточно малом консервативном гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы. [c.372]

В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной задачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот. [c.373]

Таким образом, порождающая система (28) описывает периодическое или условно-периодическое движение точки в n-t-l-мерном пространстве (прямое произведение п-мерного конфигурационного пространства Xi, х на одномерное временное пространство t). Ставится вопрос об исследовании движения точки, онр( деляемого системой Вап-дер-Поля (25), в которой lift, можно трактовать как малые возмуш,ающие силы. [c.105]

Под условно-периодическим решением системы (1) понимается такое решеш1е, в котором позиционные переменные выражаются чисто тригонометрическими рядами вида [c.240]

После выполнения первого шага мы можем построить первое [риближение к искомому точному условно-периодическому реше-шю системы (1). Для этого следует в преобразованной сй-теме (235) отбросить возмущающую часть гамильтониана и вместо (235) решать гамильтонову систему [c.243]

В зтом случае ситуация меняется самым радикальным образом. Хотя фиг. П.2.1 по-прежнему представляет собой проекцию на плоскость (р), qj), ясно, что после начала движения, как это отмечено на фигуре, две представляющие точки никогда снова не сойдутся одновременно к своим первоначальным положениям. Таким образом, траектория в пространстве (д , д ) уже никогда не становится замкнутой — движение в целом не является периодическим. Более того, траектория проходит сколь угодно близко к любой точке в пределах прямоугольника, определяемого в пространстве (gi, да) максимальными амплитудами. Указанную траекторию нельзя изобразить в виде (одномерной) линии траектория плотно заполняет весь двумерный прямоугольник. Таким образом, хотя интеграл движения Фд и существует и может быть определен прежним способом, т. е. путем исключения из системы двух уравнений (П.2.2), тем не менее он имеет весьма аномальный характер. Он представляет собой многозначную функцию с бесконечным числом ветвей. Такой интеграл называется неизолирующим. Соответствующее ему движение носит название условно-периодического в плоскости (д , gj). Последнее название не совсем удачно, поскольку главной особенностью рассматри- [c.359]

Пусть x t)—условно-периодическое движение на А-мерном инвариантном торе. Вектор-функция w x t)) удовлетворяет уравнениям в вариациях (9.3). Линейные системы (9.4) и (9.5) сопряжены друг другу h,w) = onst. Действительно, согласно (9.4) и (9.5), функция ip = h, w) удовлетворяет линейному уравнению [c.234]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Постоянная -ф несущественна ее можно положить равной нулю. В исходной неавтономной системе ip = (ot, поэтому = 0. Проектируя возмущенный п-мерный гиггерболический тор на пространство переменньгх ж, у, ip, получим п-мерный инвариантный тор, заполненный условно-периодическими траекториями с п несоизмеримыми частотами. При этом зависимость координат х, у от времени задается соотношениями вида (11.5), что и требовалось доказать. [c.247]

В переменньгх х mod 2тг, у, ip mod 2тг траектории условно-периодических решений (11.5) лежат на п-мерных гиггерболических торах, в точках которьгх зависимы любые п инволютивных однозначных интегралов системы с гамильтонианом (11.2). Поэтому рождение большого числа п-мерных гиперболических торов несовместимо с интегрируемостью возмущенной задачи. [c.247]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] нри исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с номогцью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей на-эаметрического резонанса в случае периодической системы (1). [c.124]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

Задача. Докажите, что если система невырождена, то в любой окрестности любой точки имеются условно-периодические движения с п частотами, а также с любым меньшим числом частот. [c.255]

Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением Я = к ). Термин неинтег-рируемые в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. [c.256]

Забудем временно о гамильтоновости системы и рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений (1), заданную на прямом произведении X G -мерного тора = = ф = (ф1,. . фк) modd 2п) и области G i-мерного пространства G С R = i = (/i,. . /г) - При 8 = 0 движение (1) условно-периодическое, Л-частотное, с Л-мерными инвариантными торами. [c.257]

Поскольку гамильтониан выражается через одни лишь переменные действия T , система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т = onst с частотами со == дН/дх. В частности, положение равновесия Р = Q = О для нормальной формы устойчиво. [c.354]

Далее, будем искать вблизи нерезонансного инвариантного тора невозмущенной системы, соответствующего фиксированным значениям частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанному выше условию нерезонансности. [c.372]

Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений. [c.373]

Иными словами, в системах с двумя степенями свободы (удовлетворяющих условию изоэнергетической невырожденности, вообще говоря, выполненному) при достаточно малых возмущениях переменные действия вдоль фазовой траектории не только не имеют векового возмущения ни в каком приближении теории возмущений (т. е. мало меняются в течение времени порядка (1/е) при любом Н, где 8 — величина возмущений), но и вечно остаются вблизи своих начальных значений как для нерезонансных фазовых кривых, условно-периодически заполняющих двзшерные торы [c.374]

Аналогичным образом дюжно использовать теорему об инвариантных торах для исследования условно-периодических движений системы связанных нелинейных осцилляторов. [c.380]

В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона. [c.383]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...