Приближение малой амплитуды колебаний

Необходимо отметить, что полученные результаты справедливы в том случае, когда колебание и течение отвечают тем допуш,е-ниям, которые приняты при решении задачи. Решения первого и второго приближений пригодны для случая малых амплитуд колебаний скорости и больших значений частоты колебаний, что ограничивает применение рассмотренных решений. [c.163]

Гармоническое приближение II 52, 53, 115 динамический структурный фактор в этом приближении II 383—385 его недостаточность II 115, 116 и бесконечная теплопроводность II 124 и зависимость частот нормальных колебаний от объема II 118, 119 используемое для описания колебаний решетки II 50—78 и теория теплоемкости II 79—96 квантовая теория II 371—374 отличие от предположения о малой амплитуде колебаний II 115 форма в случае парного потенциала II 53 энергетические уровни Л -ионного кристалла II 80. [c.394]

Чтобы оценить влияние этих сил сопротивления движению, построим приближенное решение для случая малых амплитуд колебаний. Предполагая, что Фо< 1, можно приближенно принять [c.160]

Для бесконечно малой амплитуды колебаний (в линейном приближении по отклонениям (а - 1) от равновесного шара а = 1), согласно (2.1), имеем [c.160]

Так как амплитуда колебаний г мала по сравнению с подъемом клапана у, то можно приближенно принять 2у — г 2у м (у — г) [c.364]

Рассмотрим теперь точку и = О, и = 0. В этой точке уравнения (5.65) теряют смысл, так как значения и я v не определены, а следовательно, не имеют смысла и правые части этих уравнений. Так как исходные уравнения движения динамической системы удовлетворяются решениями А = О, Ь = О, или, что то же, м = О, о = О, то целесообразно доопределить правые части системы (5.65) таким образом, чтобы точка W = О, 0 = 0 была состоянием равновесия. Однако следует иметь в виду, что в окрестности точки ы = О, и = О становится сомнительной возможность использования уравнений (5.65) для приближенного анализа системы (5.60), так как для колебаний с достаточно малой амплитудой момент М (<Р), удовлетворяющий условию - < 1, [c.164]

При изменении t внутри пределов постоянства функции /(<) будет справедливо уравнение колебаний математического маятника, которое для малых амплитуд можно приближенно представить в виде уравнения гармонического осциллятора [c.251]

Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение t, мало. Поэтому можно считать, в том же приближении, что вертикальная компонента скорости движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения Ог = [c.56]

Будем решать уравнение (80,2) последовательными приближениями по малой величине vq — амплитуде колебаний скорости газа в звуковой волне. В нервом приближении пренебрегаем квадратичными членами полностью. Решение уравнения [c.431]

Приближенное выражение периода колебаний для сравнительно малых значений амплитуды а получим, разлагая подынтегральное выражение в (37) в ряд [c.498]

Если движение платформы гиростабилизатора представляет собой колебания ее оси г/о с малой амплитудой вблизи направления, определяемого координатами Ро и бо и р = Ро -(- Ар, а 8 = 8о + А8, то в первом приближении уравнения (XX.9) и (XX.10) движения платформы принимают вид (значок А при написании координат Ар и Ас опускаем) [c.495]

Так как амплитуда колебаний z предполагается малой по сравнению с подъемом клапана у, то можно приближенно полагать 2у — z 2у и (у — zf= y поэтому [c.349]

Если амплитуда колебаний маятника мала, то в первом приближении можно написать [c.508]

Увеличение парциальной частоты ведомого звена (на выстое) от 350 до 700 рад/с (режим V) весьма незначительно уменьшает амплитуду крутильных колебаний привода. И, наоборот, уменьшение 2 до значения при достаточно малом значении Е (режим VI) приводит к суш,ественным искажениям. По мере возрастания критерия Е отрицательный эффект от близости парциальных частот уменьшается (режим V//). Тем не менее, по-видимому, такие режимы являются нежелательными из-за возможности повышенного взаимного возбуждения ведущей и ведомой частей механизма (см. п. 20). В этом отношении весьма показательна осциллограмма режима VII, при котором иа-за недостаточной точности воспроизведения на АВМ первой передаточной функции на выстое четко видно взаимное возбуждение и зона нарастания амплитуд колебаний. Заметим, что отмеченный эффект представляет большой практический интерес, так как при указанных условиях он может возникнуть в механизмах с приближенными выстоями, когда на некотором достаточно большом отрезке времени первая передаточная функция механизма колеблется около нуля. [c.209]

Затруднения эти вызываются тем, что роторы быстроходных машин на рабочих режимах ведут себя как гибкие тела. Уравновешивание их на малых оборотах по методике, разработанной для жестких роторов, не дает удовлетворительных результатов, так как даже при скоростях, равных половине первой критической, не всегда можно пренебрегать деформацией оси вращающегося ротора, особенно при большой неуравновешенности. С приближением же к критическим скоростям ротор приобретает значительный упругий дисбаланс , приводящий к резкому увеличению амплитуды колебаний. [c.194]

Выражение (506) определяет неявную зависимость коэффициента ослабления р от значения амплитуд колебания давления в фиксированных сечениях канала ха L, чисел Мо, скорости звука Со и граничных условий. Поэтому для определения коэффициента ослабления р по уравнению (506) необходимо воспользоваться методом последовательных приближений. В качестве первого приближения можно использовать уравнение (504) для малых значений р. [c.220]

Поскольку статическое деформирование системы по форме ее колебаний воспроизвести трудно, величину a t находят приближенно как амплитуду вынужденных колебаний системы с частотой, достаточно малой по сравнению с резонансной р, или с частотой, равной [c.318]

Решение (9) относительно скоростей 0Di(/) и ( >2 t) получено при отбрасывании в уравнениях (11) и (12) членов, содержащих координаты Z и z. Теперь остается лишь подставить это решение в уравнения (13) и (14) и решить получающиеся в результате уравнения относительно координат гиг. Для облегчения этого пренебрежем малыми величинами р и р тогда уравнения оказываются несвязанными . Одновременно примем для величин D п D эквивалентные выражения силы вязкого трения. Последнее допущение позволяет получить приближенное решение уравнений (13) и (14) без ограничения закона демпфирования каким-либо одним определенным выражением. Все критические свойства нелинейной природы демпфера сохранятся при условии, что эквивалентная приведенная постоянная вязкого трения рассматривается как функция амплитуды колебания. В итоге уравнение (13) принимает простой вид [c.107]

Однако даже при весьма точных измерениях приведенной длины и периода маятника для получения точных окончательных результатов необходимо учесть влияние еще целого ряда факторов, которых ие учитывает формула (13.21). Прежде всего, эта формула, полученная в результате замены sin а па а, является приближенной. Для уменьшения ошибки измерения производятся при очень малых амплитудах колебаний маятника, и при этом вводится поправка, которая для малы.х амплитуд может быть рассчитана с большой точностью. Далее приходится учитывать поправки па температуру, так как с изменением температуры изменяются все размеры маятника (вследствие теплового расширения). Ошибки вносят также и силы трения, действующие иа маятник со стороны подвеса и окружающего воздуха, — онн несколько увеличивают период колебаний. Для устранения этих ошибок по возможности уменьшают трение в подвесе (подвешивают ь аятннк на агатовой призме) и вводят поправку на давление, учитывающую нзнененне влияния воздуха. Учет всех этих поправок позволяет достичь огромной точности в измерении силы тяжести. В наиболее точных измерениях ошибка не превьшшет 2- 10 от измеряемо величины. [c.411]

Следует иметь в виду, что второе приближение пригодно для малых колебательных чисел Маха (Мд) и при больших значениях параметра /ггоНел, т. е. для малых амплитуд колебания скорости. При больших амплитудах колебания скорости и при условии, что [c.106]

Интегрирование по движущейся поверхности 8 г, /) в (1.10) заменено здесь интегрированием по неподвижной поверхности 5, а оставшаяся разность интегралов по поверхностям 5 (г, /) и 5 превращена, согласно теореме Гаусса, в объемный интеграл. При малой амплитуде колебаний точек граничной поверхности объем V, заключенный между поверхностями 8 г, 1) и 5, может быть приближенно записан как йУх% й8 здесь при переходе считается, что й8 от времени не зависит. При этом (1У/сИ= Ш (18, где Ш==% — колебательная скорость поверхности тела. Воспользовавшись далее уравнением движе1П1я Эйлера и совершив несложные преобразо- [c.121]

В то же время механизм генерации осредненной завихренности в осциллирующих пограничных слоях Стокса, ответственный за возбуждение течений в прямых каналах при наличии стоячих акустических волн [5], нельзя исключать из рассмотрения. Теоретическое исследование термоосцилляционной конвекции в прямых каналах в приближении малых амплитуд hih показывает, что этот механизм вносит свой вклад. И этот вклад определяется относительной амплитудой колебаний столба его роль быстро возрастает с увеличением ЫН. При этом суммарное осредненное воздействие высокочастотных осцилляций столба неизотермической жидкости в общем случае характеризуется двумя параметрами термовибрационным параметром Ry = (/)Q /0 /2vx и безразмерной амплитудой колебаний Ык. В предельном случае hIh 1 осредненная конвекция определяется лишь вибрационным параметром R ГП. [c.28]

Вновь рассмотрим дифференциальное уравнение колебаний маятника (II. 230а). Будем искать приближенное решение этого уравнения, предполагая, что колебательное движение маятника приближается к стационарным автоколебаниям. Б этом случае амплитуда колебаний маятника должна мало отличаться от постоянной величины. Обозначим эту амплитуду a(t) и положим [c.288]

Простые выражения (73) и (75) углов б и i]) получены из точных формул (67) путем пренебрежения высокочастотными колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом же предположении основыралась приближенная теория гироскопа ( 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой теории, можно непосредственно прийти к упрощенным дифференциальным уравнениям для углов б и tp, минуя громоздкий путь составления точных уравнений (48), нахождения их решений и последующего упрощения этих решений. [c.615]

Как видно из рис. 5.12, при приближении к границе зоны отношение амплитуд для акустической ветви стремится к бесконечности, что означает уменьшение амплитуды колебаний легких атомов, при этом, как и при малых значениях к, соседние атомы колеблются в фазе (положительные значения отношения U1I112). [c.157]

Итак, первым приближением при рассмотрении колебаний атомов в кристалле является гармоническое Ьриближение. В этом приближении полагается, что средние равновесные расстояния между соседними атомами отвечают минимуму кривой U R), причем они соответствуют статической модели кристалла. Атомы колеблются относительно средних положений своих центров тяжести, причем амплитуды колебаний достаточно малы, что позволяет ограничиться учетом квадратичных смещений атомов. Сразу же отметим, что хотя гармоническая модель согласуется со многими экспериментальными данными, некоторые свойства кристаллов, например тепловое расширение, могут быть объяснены лишь при учете эффекта кубичного члена. Такое приближение называют ангармоническим. Оно будет рассмотрено несколько подробнее в конце данной главы. [c.209]

Спрашивается, в чем же состоит порочность подобного способа нахождения решений для рассматриваемого случая Ответ на этот вопрос мы находим в уже отмеченном свойстве неизо-хронности колебаний системы. В самом деле, выбранная нами форма решения предусматривает существование движения с постоянным периодом 2я/(Оо, т, е, периодом колебания в нулевом приближении. В действительности же период движения с конечной амплитудой принципиально отличен от периода колебаний системы с бесконечно малой амплитудой. Поэтому и получается указанное нами противоречие, которое может быть ликвидировано только посредством отыскания решения с периодом, отличающимся от периода колебаний в нулевом приближении. [c.27]

Интегрирование этих уравнений сложное. Можно пытаться это сделать при помощи последовательных приближений, оперируя так же, как и в предыдущей задаче. Опуская общий случай, займемся тем частным случаем, когда колебания имеют очень малую амплитуду. Приближение будет заклю- [c.254]

Интеграл, входищиЯ в формулу (2), называется полным эллиптическим интеграло.м. Он не может быть выражен в конечной форме при помощи элементарных функций существуют таблицы, которые дают его значения для различных значеР1ий параметра Если угол а очень мал, т. е. если амплитуда колебаний незначительна, то можно легко получить приближенное значение интеграла. Заметим, [c.186]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

При этом можно считать, что развитие больших амплитуд каждой гармоники, если только оно возможно, совпадает с кривой развития при раздельном действии каждой из них. Так как в практических расчетах в большинстве случаев нужно найти развитие колебаний с большими амплитудами, то степень уменьшения амплитуд нерезонирующих гармоник можно наметить приближенно, исходя из кривых развития колебаний с малыми амплитудами. [c.234]

Эти записи показывают, что для расслоенного и волнового течений амплитуда и частота колебаний давления очень малы. При приближении к кольцевому режиму амплитуда колебаний и их частота возрастают. В случае пробкового течения амплитуда колебапий больше, чем для расслоенного течения, и очень быстро увеличивается при подходе к снарядному режиму течения. [c.10]

Вибрационная устойчивость. В качестве модели использовали двухфазную среду несжимаемая жидкость — твердые частицы, полностью заполняющую эллипсоидальную полость, совершающую угловые колебания малой амплитуды. Исследования нелинейных колебаний и устойчивости движения такой системы провс денные в работах [4, 7] с помощью изложенной выше методики, позволили установить, что движение частиц приближенно описывается следующими уравне]1иями [c.111]

Наличие у лазеров на гранате с неодимом релаксационных гармонических колебаний мощности излучения приводит к тому, чта в амплитудно-частотной характеристике лазеров (АЧХ) (появляются резонансы. В данном случае (под АЧХ понимают зависимость амплитуды колебаний мощности излучения лазера, вызываемых гармонической модуляцией его параметров, от частоты модуляци (например, модуляции мощности накачки или потерь резонатора). Используя приближение малой глубины модуляции и малых колебаний мощности излучения, легко получить выражения для АЧХ лазера. Предположим, что модулируются потери излучения в резонаторе. Для удобства введем новое обоз начение 7р=Тр = /Сп , которое обычно называют обратным временем затухания поля в ре-зонаторе [c.76]

Амплитуда этих колебаний будет мала по сравнению с амплитудой колебаний а, соответствующей первому приближению лишь в том случае, если 2PIQ — малая величина. Только при этом условии мы путем последовательных приближений можем оценить влияние сил инерции катящегося груза. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...