Случай Ляпунова

Обычно устойчивость диска исследуется на основе линеаризованных уравнений малых колебаний вблизи невозмущенного движения, прямолинейного или в более общем случае кругового. Однако, поскольку диск представляет собою консервативную систему, корни характеристического уравнения при этом оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают движение устойчивым. Однако такой вывод является незаконным. В самом деле, если мы изучаем движение диска как движение консервативной неголономной системы, последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. [c.61]

Случай Л =0. В этом случае диск представляет собою консервативную систему. Корни характеристического уравнения (3.26), не считая двух нулевых корней, оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают, что система обладает консервативной устойчивостью. Однако с точки зрения теории устойчивости по первому приближению (см. 1) последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. Это исследование было проведено в 2 гл. II. [c.310]

Замечание 6. Гамильтониан случая Ляпунова (см. таблицу 3.1) получается следующим образом [c.173]

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

Рассмотрим случай, когда Л меньше как В, так и С. В качестве функции Ляпунова выберем функцию [c.235]

Сначала рассмотрим частный, но наиболее важный случай, когда функции Qk, введенные А. Д4. Ляпуновым, определяются равенствами [c.328]

Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330]

В этом параграфе рассмотрим лишь главные этапы доказательств основных теорем А. М. Ляпунова, ограничившись применением первого метода к случаю стационарных движений. [c.332]

Формально соблюдаются все признаки турбулентности (перемешивания), однако наличие линейной зависимости фазы от амплитуды (см. рис. 1.5) указывает на существование когерентных структур. Об этом также свидетельствует наличие периодической составляющей в зависимости корреляционной функции от частоты. Спектральная плотность для этого случая показывает доминирующую частоту. Показатели Ляпунова имеют отрицательные значения [9-11]. [c.24]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Изложенные выще результаты полностью переносятся на случай, когда интегрирование производится по произвольной поверхности Ляпунова 5. Пусть некоторая точка до есть точка, где подынтегральное выражение имеет особенность второго порядка. Восстановим в этой точке нормаль к поверхности и, рассматривая ее как ось вращения, образуем цилиндр радиуса е. Обозначим часть полной поверхности, заключенную внутри этого цилиндра, через Ое ). Поскольку 5 есть поверхность Ляпунова, [c.62]

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

Раус рассматривал вопрос не вполне так, как излагают авторы, а основная теорема Рауса об устойчивости движения голономной консервативной системы есть частный случай теоремы Ляпунова об устойчивости движения. [c.424]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Критический случай. Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из имеют чисто мнимые значения. [c.428]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Разрешая уравнение (3.31) относительно оператора А и подставляя его в (3.30), получим семейство непрерывных алгоритмов самонастройки, зависящих от выбора функции Ляпунова V и ее производной W. Конкретизируем этот выбор и синтезируем соответствующие алгоритмы самонастройки для случая, когда функция F в уравнении динамики РТК (3.1) линейна по третьему аргументу, т. е. имеет место (3.21). [c.78]

Здесь И/,, е , а ,, — значения собственной частоты, коэффициентов демпфирования и критических параметров нагрузки для k-ч формы колебаний. Другой способ получения достаточных условий устойчивости основан на методе функционалов Ляпунова [54, 114]. Применительно к особому случаю этот метод приводит к строгим результатам, близким к тому, который содержится в критерии (62), [c.256]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

И показал, что частными случаями условий (1.14) являются случаи Стеклова и Ляпунова. Таким образом он включил их в единое интегрируемое семейство, частными представителями которого являются также интегралы (1.13). Это семейство иногда иногда называется случаем Ляпунова-Стеклова-Колосова . [c.174]

Из рис. 4-4, 4-5-1 - 4-5-3 можно заключить, что условия теорем 1, 2 в общем случае не являются достаточными для интегрируемости (исключая случай Ляпунова, удовлетворяющий этим условиям). Однако, при некоторых дополнительных ораничениях возможны новые случаи интегрируемости, в которых интеграл будет иметь более высокую степень, чем квадратичный. Но это укозывоют эксперименты с шаровой матрицей А (рис 4-8-1 - [c.28]

Достаточным условием устойчивости нулевого рещения с.аужит существование функции Ляпунова. Применительно к рассматриваемому случаю функция Ляпунова есть дифференцируемая функция [c.569]

Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с ия.11оя ения теоремы Четаева. [c.49]

В дальнейшем Л. И. Лурье в ряде работ развил идеи, за. гоженные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г.. А, И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию [c.261]

Значительный вклад в развитие теоретической механики был сделан отечественными учеными. Назовем здесь М. В Остроградского (1801—1862, работы в области аналитической механики) и П. Л. Чебышева Ц821—1894, работы в области теории механизмов и машин), С. В. Ковалевскую (1850— 1891), решившую задачу для сложного случая движения твердого тела около неподвижной точки. Наибол1.ший вклад в теоретическую механику за последующий период был сделан А. М Ляпуновым (IS. j —1918), особенно его трудами по созданию теории устойчивости движения механических систем, Н. Е. Жуковским (1847—1921), основополон ником современной аэродинамики, а также И. В Мещерским (18.59—193. )), давшим решение задачи о движении точки переменной массы, С А. Чаплыгиным (1869—1942), А. Н. Крыловым (1863—1945), Н. Г Четаевым (1902—1959) и др. [c.16]

В теореме Лагранжа—Дирихле ничего не говорится о том, что происходит в случае, когда данное условие не выполняется. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное его решение дают Две теоремы А. М. Ляпунова, одну из которых для рассматриваемого нами случая (и только для него ) можно упрощенно сформулировать так положение равновесия системы неустойчиво, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет максимум. [c.310]

Теорема Лагранжа — Дирихле и теоремы Ляпунова относятся к случаю равновесия консервативной системы. [c.17]

Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости. [c.209]

Отсюда следует, что теорема Дирихле есть просто частный случай первой теоремы Ляпунова, а потому нельзя и противопоставлять их друг другу [c.423]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Помимо разнообразных физ. интерпретаций Т. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели tf снизу через Т. з. Q типа < >/(б), где /—монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q (топологические соли-тоны), реализующие Inf (У, оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость o.iumonoe). Более того, ес.пи ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера—Лагранжа уравнение) на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного. [c.132]

Вышесказанное означает, что если ограничиться аддитивными функционалами Ляпунова (4), то возможно существование только условно-устойчивых многомерных стационарных солнтонов, т. е. устойчивых лишь при нек-рых ограничениях на нач. возмущения Такие ограничения возникают естественно для случая топологических со-литонов, наделённых тождественно сохраняющимися интегральными характеристиками—топологическими зарядами, учёт к-рых упрощает анализ устойчивости, В связи с этим ограничимся распространённым случаем нетополо-гич. солитоков, для к-рых естественной оказывается орбитальная устойчивость. [c.258]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже введение сколь угодно малого демпфирования может существенно изменить выводы об устойчивости, полученные упрощенным методом [II, 100]. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с темн, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, — квазикритически ми параметрами. [c.244]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании. Задача о захватывании вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа, с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая в п. 3 гл. И, а для более общего — в п. 5 гл. VHI краткие библиографические сведения приведены в п. 8 гл. VHI. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным следует отнести движущий момент L (ф). момент сил сопротивления R (ф) и момент силы тяжести mg е os ф, а к быстрым момент сил инерции отесо [Я sin Ш sin ф + + G os b)t+ 0) os ф . Выражение для вибрационного момента, совпадающее с полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычислений, подобных проведенным выше для маятника в данном случае эти вычисления даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять ijj (со/) = 0. Соответствующее выражение для W и уравнение медленного движения приведены в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VHI, получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора, [c.250]

В большинстве работ этого направления нахождение всех характеристических показателей на мнимой оси квалифицировалось как устойчивость. Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как резуш1тат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значении параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...