Производные от основных элементарных

Таблица П. 1.1 Таблица производных основных элементарных фун-<ц1 Г1

Производные от основных элементарных функций 502 Промахи 56 Промоторы 384 [c.778]

Величины, характеризующие явление, связаны между собой элементарными соотношениями (например, скорость выражается через длину пути и время). Поэтому единицы измерения можно-выбрать только для некоторых основных величин, а для остальных они будут производными. Принятые для основных величин размерности называют первичными (или основными), а для остальных— вторичными (или производными). Если общее число физических параметров, характеризующих явление, составляет т, а число первичных размерностей п, то число независимых безразмерных комплексов г, которое можно образовать из т параметров,, определяется равенством [c.19]

Пусть далее к поверхности в некоторый момент прилагается малое возмущение. После этого граница и прилегающие слои обеих фаз придут в движение. Как уже говорилось, основные черты такого движения можно установить, анализируя поведение элементарной волны, определяемой соотношением (3.1а). Далее примем основные допущения линейной теории а к, т.е. амплитуда мала в сравнении с длиной волны, обе фазы являются невязкими и несжимаемыми жидкостями. Эти допущения позволяют существенно упростить математическое описание задачи. В частности, условие а X позволяет рассматривать h и все ее производные как малые порядка аГк, а квадратичные члены относительно этих величин опускать в уравнениях как малые более высокого порядка. Очевидно также, что скорости возмущенного движения фаз по порядку величины равны [c.130]

Следует еще упомянуть о двух системах, применяемых В теоретических разделах физики и астрономии ( 9.8). В одной из них приравнены единице постоянная Планка, масса и заряд электрона, в другой — постоянная Планка, масса электрона (иногда другой элементарной частицы) и скорость света. Обе системы имеют весьма ограниченное применение. Не говоря уже о том, что все производные единицы оказываются очень далекими от практики, эти системы обладают существенным недостатком с метрологической точки зрения. Значения некоторых постоянных известны с недостаточной точностью, и их уточнение потребовало бы изменения образцовых мер, а открытие новых физических явлений или закономерностей сможет привести к существенному изменению соотношений между значениями единиц, принятых за основные. [c.62]

В теории упругости условия равновесия (статические условия задачи) выводятся по отношению к элементарному объему напряженного, а следовательно, уже деформированного тела. Отсюда все выводы теории упругости, касающиеся статической стороны задачи, можно считать абсолютно строгими только при допущении, что они относятся к координатам тела в его напряженно-деформированном состоянии. Что касается геометрических соотношений, которые выводятся в теории упругости, то все они, безусловно, относятся к координатам тела в его первоначальном недеформированном состоянии. При выводе этих геометрических соотношений принимают х, у, z — координаты материального элемента тела до деформации, х + г/ -f Uy, z -р- —его координаты после деформации и выводят зависимости между производными составляющих перемещения и , Uy и по первоначальным координатам точки, т. е. координатам ее в недеформированном состоянии тела. Таким образом, здесь известная неувязка заключается в том, что мы пользуемся основной системой уравнений, в которую входят, [c.203]

Во-первых, при решении задач, для которых перемещения нельзя считать малыми по сравнению с некоторыми размерами исследуемого тела, ряд авторов предпочитает принимать за независимые переменные координаты материальной точки тела в его первоначальном недеформированном состоянии. Так, например, одни из них преобразуют уравнения равновесия элементарного объема путем замены переменных, переходя от координат тела в его напряженно-деформированном состоянии к координатам исходного состояния тела. Другие при этом уточняют и выводы геометрических зависимостей, т. е. уравнений сплошности, отбрасывая допущения в том, что перемещения малы по сравнению с размерами рассматриваемого тела, а их производные по координатам малы по сравнению с единицей. Таким образом получают уточненную систему основных уравнений теории упругости, относительно громоздкую по написанию, но зато свободную от обычно свойственной ей неувязки. [c.204]

Третье издание учебника имеет следующее построение курса. Часть первая Основные законы термодинамики . Гл, 1 Введение гл, 2 Первое начало термодинамики гл. 3 Второе начало термодинамики (сущность второго начала термодинамики интегрирующий делитель для выражения элементарного количества тепла энтропия аналитическое выражение второго начала термодинамики полезная внешняя работа термодинамические потенциалы и характеристические функции тепловая теорема Нернста дифференциальные уравнения термодинамики в частных производных статистическое толкование второго начала термодинамики) гл. 4 Термодинамическое равновесие гл. 5 Термодинамические процессы гл. 6 Газы и их смеси гл. 7 Насыщенные влажные и перегретые пары гл. 8 Течение газов и паров гл. 9 Общий термодинамический метод анализа циклов тепловых двигателей . Часть вторая Рабочие циклы тепловых двигателей . Гл. 10 Сжатие газов и паров гл. 11 Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания гл. 12 Циклы газотурбинных установок и реактивных двигателей гл. 13 Циклы паросиловых установок гл. 14 Циклы холодильных машин гл. 15 Термодинамические принципы получения теплоты гл. 16 Термодинамика химических реакций . [c.349]

В приближении тонкой линзы (разд. 4.9) не существует различия между асимптотическими и реальными параметрами таким образом, можно рассматривать аберрации тонкой линзы как частные случаи асимптотических аберраций. Как и раньше, будем рассматривать только сферическую и аксиальную хроматическую аберрации, но используемые методы также можно легко распространить и на другие виды аберрации. Основная идея элементарна интегралы аберраций следует выразить таким образом, чтобы они содержали только траектории, но не содержали их производных, тогда можно рассматривать только незначительные изменения смещения луча внутри линзы и не беспокоиться о резко изменяющихся углах наклона. [c.323]

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера. [c.40]

Обычно изображение машиностроительной детали или структуры общего вида изделия начинается путем членения элементарной ортогональной формы и превращения ее в производную базовую форму с иаклонными гранями. Преобразование базовых структур носит целостный характер, параметры преобразования являются основными структурными элементами исходного объема (например, осями симметрии). [c.137]

Итак, элементарная теория полностью содержится в первом члене разложения строгого решения следующие его члены, содержащие производные от задающих нагружение функций, представляют коррективы, вносимые один за другим в элементарную теорию. Порядок их по отношению к основным слагаемым элементарной теории пропорциопален последовательным степеням отношения они оказываются существенными при [c.492]

Наряду с этими суммарными характеристиками движения среды, большое принципиальное значение для понимания самой сущности непрерывного движения сплошной среды имеет классическая теорема Гельмгольца, поясняющая локальный характер движения элементарного объема среды. Эта теорема, представляющая обобщение на случай деформируемой сплошной среды известной теоремы о разложении движения абсолютно твердого тела на поступательную и вращательную составляющие, вводит в механику сплошных текучих сред одно из самых основных ее нредставлеиий о тензоре скоростей деформаций. Этот тензор содержит в своем определении все характерные стороны деформационного движения среды, безотносительно к ее вещественным свойствам, лишь бы только выполнялись указанные ранее условия непрерывности и существования производных в пространственно-временном распределении скоростей в движущейся среде. [c.31]

Когда основные уравнения колебаний образованы методом, который был указан выше для цилиндрической оболочки, берутся компоненты смещения в форме, содержащей два фактора первый — это синус или косинус дуги, кратной (р, второй представляет собой элементарную гармоническую функцию от t после этого уравнения приводятся к линейной системе восьмого порядка, служащей для определения зависимости компонентов смещения от широты 6. Условия на свободных краях выражаются при помощч приравнивания нулю для определенного значения 6 некоторых линейных выражений, связывающих компоненты смещения и их производные по 0. Порядок системы достаточен для того, чтобы можно было удовлетворить этим условиям. Если бы решение системы уравнений, подчиненное краевым условиям, было найдено, то это привело бы к определению типа колебаний и их частоты. [c.578]

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области Я, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут нё иметь рещений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи. [c.33]

Теоретически можно выпрямить почти любую граничную кривую, но практически это, конечно, неосуществимо. Кусочно полиномиальные функции являются наилучшими границами элементарных областей по тем же причинам, по каким они наилучшим образом приближают перемещения с ними удобно работать на ЭВМ. В самом деле, выбор координат можно описать тем же классом полиномов, из которого берутся пробные функции это метод изопараметрических преобразований. Идея эта превосходна. Выбор координат приводит к тем же трудностям, что и для пробных функций преобразование должно быть непрерывным при пересечении границ элементов, так что элементы, соседние на исходной плоскости х, у, остаются соседними на плоскости г . Если прео бразование х( ,г ), г/( ,г ) построено стандартным образом из узловых параметров и мы убеждены в непрерывности по и г (как для стандартных прямоугольных или треугольных элементов), то изопараметрические преобразования приведут к успеху даже для элементов, границы которых — полиномы степени к—1 по х и у. Этот прием ставит новые вопросы теории приближений, так как полиномы по I и т). не будут более полиномами по х и у. Тем не менее изопараметрические преобразования не понижают порядка точности если преобразования равномерно гладкие (разд. 3.3), то полная степень в -й производной достигается. В этом смысле изопараметрический прием представляется наилучшим для уравнений второго порядка и криволинейных границ. С главным краевым условием и — g можно работать просто и эффективно без потерь в основном порядке точности. [c.132]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...