Производные от основных элементарных функций

Итак, элементарная теория полностью содержится в первом члене разложения строгого решения следующие его члены, содержащие производные от задающих нагружение функций, представляют коррективы, вносимые один за другим в элементарную теорию. Порядок их по отношению к основным слагаемым элементарной теории пропорциопален последовательным степеням отношения они оказываются существенными при [c.492]

Когда основные уравнения колебаний образованы методом, который был указан выше для цилиндрической оболочки, берутся компоненты смещения в форме, содержащей два фактора первый — это синус или косинус дуги, кратной (р, второй представляет собой элементарную гармоническую функцию от t после этого уравнения приводятся к линейной системе восьмого порядка, служащей для определения зависимости компонентов смещения от широты 6. Условия на свободных краях выражаются при помощч приравнивания нулю для определенного значения 6 некоторых линейных выражений, связывающих компоненты смещения и их производные по 0. Порядок системы достаточен для того, чтобы можно было удовлетворить этим условиям. Если бы решение системы уравнений, подчиненное краевым условиям, было найдено, то это привело бы к определению типа колебаний и их частоты. [c.578]

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области Я, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут нё иметь рещений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи. [c.33]

Теоретически можно выпрямить почти любую граничную кривую, но практически это, конечно, неосуществимо. Кусочно полиномиальные функции являются наилучшими границами элементарных областей по тем же причинам, по каким они наилучшим образом приближают перемещения с ними удобно работать на ЭВМ. В самом деле, выбор координат можно описать тем же классом полиномов, из которого берутся пробные функции это метод изопараметрических преобразований. Идея эта превосходна. Выбор координат приводит к тем же трудностям, что и для пробных функций преобразование должно быть непрерывным при пересечении границ элементов, так что элементы, соседние на исходной плоскости х, у, остаются соседними на плоскости г . Если прео бразование х( ,г ), г/( ,г ) построено стандартным образом из узловых параметров и мы убеждены в непрерывности по и г (как для стандартных прямоугольных или треугольных элементов), то изопараметрические преобразования приведут к успеху даже для элементов, границы которых — полиномы степени к—1 по х и у. Этот прием ставит новые вопросы теории приближений, так как полиномы по I и т). не будут более полиномами по х и у. Тем не менее изопараметрические преобразования не понижают порядка точности если преобразования равномерно гладкие (разд. 3.3), то полная степень в -й производной достигается. В этом смысле изопараметрический прием представляется наилучшим для уравнений второго порядка и криволинейных границ. С главным краевым условием и — g можно работать просто и эффективно без потерь в основном порядке точности. [c.132]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...