Методы конических сечений

Кульминационным пунктом Начал является третья книга, основное содержание которой составляет изложение системы мира. Весьма интересно и важно заявление Ньютона в самом начале этой книги. Из него явствует, что сначала он написал ее, придерживаясь популярного изложения, чтобы она читалась многими. Затем, однако, он переложил сущность этой книги в ряд предложений, по математическому обычаю, так чтобы они читались лишь теми, кто сперва овладел началами. Сделал это Ньютон, по его собственному признанию, для того, чтобы те, кто, недостаточно поняв начальные положения, а потому совершенно не уяснив силы их следствий и не отбросив привычных им в продолжение многих лет предрассудков, не вовлекли бы дело в пререкания . Интересно также, что Ньютон особо подчеркивал необходимость хорошенько изучить определения, законы движения и первые три отдела первой книги, после чего можно уже прямо переходить к третьей книге и обращаться к другим предложениям, если того пожелают , лишь в тех местах, где на них сделаны ссылки. Три особо рекомендуемых для понимания третьей книги отдела первой книги посвящены первый отдел математическому аппарату (методу флюксий, или методу первых и последних отношений, которым, кстати сказать, Ньютон пользуется далеко не везде в своих Началах ) второй отдел озаглавлен О нахождении центростремительных сил и третий — О движении тел по эксцентричным коническим сечениям . Попробуем последовать указаниям Ньютона и пойти по пути, который ои наметил. [c.166]

Точный расчет влияния отклонений формы на распределение лучей в фокальной плоскости системы может быть выполнен по методу хода лучей. Погрешности формы задаются с помощью поправок, вводимых в уравнение поверхностей зеркал [53], например, в случае зеркала, имеющего форму конического сечения (в общем виде), — ро = 2кг — (1 -ф т) 2 р = -)- у , [c.217]

В статье А. В. Верховского и А. 11. Спирина [36) приведены результаты расчета напряжений в резьбе методами конических и шаровых сечений. Исследованы нормальные напряжений от растяжения болта и изгиба витков резьбы, а также касательные напряжения от момента затяжки. Однако и этой работе не учтены касательные напряжения в резьбе от местной нагрузки на витки, хотя эти напряжения могут превосходить нормальные напряжения в витке — короткой балке. [c.118]

Воспользуемся формулой, полученной методом тонких сечений, для конической матрицы [48] [c.108]

В.Н. Сиренко (1983 г.) бьши проведены для определения стационарных и нестационарных аэродинамических характеристик осесимметричных тел с подвижными (за счет толщины пограничного слоя) поверхностями и наконечниками метеорной формы. Бьши получены решения для конических тел, колеблющихся в сверхзвуковом потоке при больших углах атаки вплоть до разрушения стационарного конического течения. Необходимо также отметить предложенный В.В. Луневым (1968 г.) метод искривленных тел, позволяющий в рамках метода плоских сечений свести задачу о нестационарном обтекании колеблющихся тел к серии стационарных задач. [c.6]

Для решения задачи необходимо знать параметры течения в области между телом и волной на некоторой начальной плоскости (поверхности), в которой нормальная составляющая скорости должна быть сверхзвуковой. Для большинства тел, представляющих интерес в практических приложениях, такая плоскость существует. Если тело имеет затупленный передний конец, так что за скачком уплотнения в некоторой области скорость газа меньше скорости звука, то данные на начальной плоскости должны быть известны из решения задачи об обтекании затупленного переднего конца тела (см. ниже). Если же передний конец тела заострен и обтекается с присоединенным скачком уплотнения, то течение вблизи острия тела можно считать коническим и начальные данные брать из расчета этого двухмерного конического сечения. Оригинальный метод расчета неосесимметричного обтекания конических тел предложен в той же монографии К. И. Бабенко и др. (1964). Этот метод подсказан физическим содержанием задачи. При обтекании тела, отличающегося от бесконечного конуса только в некоторой окрестности вершины, течение на больших расстояниях от нее будет близко к коническому, хотя из-за сохра- [c.170]

Методы определения конических сечений (эллипсов, парабол, гипербол и т. п.) [c.131]

Заметим в заключение, что метод сопряженных конических сечений, связанный с теми или иными динамическими гравитационными сферами, не является единственным приближенным методом расчета космических траекторий. Продолжаются поиски других приближенных методов, более точных, чем описанный, и в то же время требующих меньшего числа вычислений, чем метод численного интегрирования. Увы, приходится экономить время работы даже самых быстродействующих электронных вычислительных машин [c.72]

Полученная траектория, состояш ая из трех состыкованных конических сечений, является хорошим начальным приближением для расчета численными методами точной траектории с учетом всей совокупности действуюш их факторов. [c.286]

Можно было бы думать, что эти решения можно также следующим образом определить с помощью метода малого параметра. При 1 = 0 все решения системы (19 28) имеют вид конических сечений в плоскости [хг, Х2), вращающихся с угловой скоростью, равной —1, около фокуса, расположенного в начале координат. В окрестности кругового решения (19 30) с периодом расположены траектории, которые со- [c.232]

Для заданного азимута запуска траектория выведения на орбиту ИСЗ оптимизируется независимо от расположения Земли и Луны. Однако участок разгона с орбиты зависит от расположения Земли и Луны, которое определяет требования к изменению плоскости движения при втором запуске ступени S-IVB. Поэтому участок выведения на траекторию полета к Луне должен оптимизироваться совместно с определением независимых переменных. Схема, выбранная для вычислительной программы прицеливания ракеты-носителя на участке выведения к Луне, основана на аппроксимации по методу наименьших квадратов оптимальных параметров активного участка полета ступени S-IVB, выражаемых через параметры гиперповерхности. Это позволяет независимо оптимизировать выведение на траекторию полета к Луне в процессе итерационного вычисления зависимых переменных. Гиперповерхность, показанная на рис. 31.1, образована путем состыковки конических сечений для двух притягивающих центров. [c.93]

В заключение отметим, что кроме рассмотренных цилиндрических пружин постоянного сечения с пологим наклоном витка существует много других конструкций витых пружин конические, призматические и различные фасонные (параболические, двойные конические, бочкообразные и др.). При этом шаг пружины может быть как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только круглой, но и прямоугольной формы. Методы расчета таких пружин достаточно сложны и рассматриваются в специальной литературе. [c.234]

Заканчивая рассмотрение одномерного метода расчета, заметим, что этот метод может быть применен нри расчете параметров газа в промежуточных сечениях струи, при построении границы струи, при истечении газа из конического сопла и при истечении в вакуум или среду с повышенным уровнем статического давления (Л < 1). [c.426]

Поскольку X] задано по условию задачи, а определено по (10-59), то по (10-60) несложно найти Si. Промежуточные значения площадей поперечных сечений сопла можно найти по той же формуле (10-60), если задаться законом изменения по его длине приведенной скорости X (х) или давления е (х). Но если необходимо с помощью сопла Лаваля обеспечить только заданное значение средней скорости, а равномерность распределения скоростей в сечении несущественна, то иногда выполняют расширяющуюся часть конической с углом раствора, не превыщающим 12°. Для получения равномерного поля скоростей на выходе из сопла его очертания должны быть рассчитаны методами теории двумерных течений. [c.454]

Как и у цилиндрических колес, шаг и модуль плоского колеса переносятся в процессе нарезания по методу обкатывания с инструмента на начальный конус нарезаемого колеса. Для конических колес не делают различия между начальным и делительным конусами. Так как значение шага зависит от расстояния поперечного сечения колеса до вершины делительного конуса, то под шагом и модулем конического колеса подразумевают шаг р и модуль на делительной окружности его внешнего торца. [c.250]

Для экспериментального исследования распределения давления по высоте прессуемой при кристаллизации заготовки использовали метод отпечатков. Для этого в донной и боковых стенках матрицы просверливали отверстия, в которые устанавливали цилиндрические плунжеры. Противоположные концы плунжеров имели конические заточки и опирались на прокладки, на которых после снятия нагрузки оставались отпечатки. По величине отпечатков путем пересчета определяли величину бокового давления в каждом сечении. [c.93]

Применением методов изображения к задачам обтески камней занимался французский инженер Фрезье (1682—1773), разработавший способы построения конических сечений по усложненным данным, а также приемы построения кривых линий на вогнутых и выпуклых поверхностях с помощью общих проективных методов. [c.407]

Одна из наиболее трудных задач состоит в из.адерении количества продуктов реакции после отжига, поскольку желательно ограничить полную толщину реакционной зоны величиной приблизительно 2 мкм. В большинстве исследований были использованы методы оптической металлографии. Наиболее важен в этих работах этап приготовления образцов, так как необходимо получить плоскую поверхность шлифа и избежать появления ступеньки между твердым волокном и значительно более мягкой матрицей. В каждой лаборатории принята своя методика приготовления микрошлифов, но, по-видимому, основные условия состоят в следующем необходимо избегать излишнего нажатия при полировании и следует создавать хорошую опору для края образца в опрессовочном материале или использовать специальный держатель, Шмитцем и Меткалфом [38] разработана методика косых сечений, которая была использована в последующих исследованиях. Для определения местного увеличения в направлении скоса был использован расчет конического сечения разрезанного наискось волокна. Этот метод пригоден для толщин менее 0,3 мкм и становится не столь надежным при больших толщинах из-за ошибок, вызванных отсутствием плоскостности сечения. Электронная ]микроскопия с использованием метода реплик оказалась не впол- [c.103]

Соотношение, открытое Гамильтоном, дает новые заключения относительно метода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследуюп1 вм интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат известное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельном случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчки, то благодаря этому изменяются только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета движется по эллипсу вокруг солнца и нолучает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гиперболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается la же. р]сли такие толчки происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто постоянные изменяются непрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точности изображают действие возмущающих сил. Эта теория вариации ностоян-дых представится в течение нашего исследования в новом свете. [c.7]

Кроме сочинений Архимеда Ибн Корра перевел на арабский язык Конические сечения Аполлония, Алма-гест Птолемея, а также был редактором Начал Евклида. Его собственные математические трактаты по содержанию и методам близки к сочинениям Архимеда, но включают и оригинальные открытия автора. Трактат Книга о карастуне , также написанный под сильным греческим влиянием, получил широкое распространение в средние века в XII в. был переведен в Западной Европе па латинский язык под названием Liber harastonis . [c.50]

В предисловии к этому труду Эйлер пишет Хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач (речь идет о Началах Ньютона), однако задач, чуть отстуиающ их от них, я уже решить не мог . Задача XXIII из Начал Ньютона, приведенная выше, как раз служит подтверждением этих слов Эйлера. Действительно, если в этой задаче сделать самое незначительное изменение, а именно, одно коническое сечение (эллипс) заменить другим (параболой), то все решение коренным образом меняется. Дальше Эйлер говорит в том же предисловии Я попытался, насколько умел,. .. те же предложения проработать аналитически благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса . Следует обратить особое внимание на то, что Эйлер говорит о сути вопроса . В самом деле, язык синтетической геометрии придает каждой механической задаче такой характер, что то обш,ее, что объединяет разные задачи (например, основные законы динамики), легко может исчезнуть из ноля зрения. Эйлер справедливо говорит там же, что хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания . Применение анализа в значительной степени снимает эти трудности. Я изложил их планомерным и однообразным методом ,— говорит Эйлер . Однообразный метод — вот главное достоинство аналитического языка. Вот как решает Эйлер ту же задачу, которая решена Ньютоном (Задача XXIII) Задача ставится Эйлером в значительно более общем виде. О форме траектории ничего не говорится. Найденный ответ будет применим к траектории любого вида. Эйлер вводит дифференциал дуги траектории [c.145]

Для представления кривых используются различные математические методы сплайны [1, 3], рациональные кубические полиномы [2, 47, 49, 96, 130, 157], полином Безье [95, 104] и дифференциальные уравнения для конических сечений [47, 48]. Для быстрого гене-шрования некоторых кривых разработаны аппаратные средства 24, 67, 84, 231]. [c.418]

Метод конических потоков, который приводит к простым результатам в случае треугольного крыла, оказывается также полезным для решения задачи о подъемной силе широкого класса крыльев с различной стреловидностью и трапецевидностью. Он может быть также использован в теории сопротивления крыльев с заданной формой сечения, в частности, если сечение состоит из прямых линий. [c.48]

Для установления зависимости объема от высоты Л рассмотрим половину выштамповки уклона, считая ее конической, и применим метод продольных сечений (рис. 27). [c.212]

Дальнейшая стадия проектирования для выбранных вариантов требует уточненных расчетов, учитывающих все необходимые факторы, влияюнще на полет космического аппарата. Такие расчеты проводятся обычно методами численного интегрирования с использованием наиболее точных констант и имеют целью получение точных значений параметров полета и выведения на орбиту. Так как уточненные расчеты часто бывают весьма трудоемкими, то задача разработки эффективных методов расчета стоит здесь не менее остро, чем в отношении расчетов для стадии предварительного проектирования. Эффективная методика уточненного расчета должна сочетать необходимую точность с быстротой вычислений. Поэтому при создании методик необходимо максимально использовать знания об орбите. Например, движение космического аппарата относительно Земли внутри ее сферы действия близко к движению по коническому сечению с фокусом в центре Земли. Движение вне сферы действия Земли близко к гелиоцентрическому движению по невозмущенной орбите и т. п. Учет этих обстоятельств открывает путь к совершенствованию методики уточненных расчетов. Конечно, возможны также и другие пути. [c.272]

При переходе космического аппарата через границу сферы действия приходится переходить от одного центрального поля тяготения к другому. В каждом поле тяготения движение рассматривается, естественно, как кеплерово, т. е. как происходящее по какому-либо из конических сечений — эллипсу, параболе или гиперболе, причем на границе сферы действия траектории по определенным правилам сопрягаются, склеиваются (как это делается, мы увидим в третьей и четвертой частях книги). В этом заключается приближенный метод расчета космических траекторий, который иногда называют методом сопряженных конических сечений. [c.70]

В методе Коуэлла коническое сечение как первое приближение к орбите явно не используется. Уравнения движения в прямоугольных координатах интегрируются непосредственно, давая прямоугольные координаты возмущаемого тела. Этот процесс сходен с процессом, примененным в гл. IV (разд. 12), с той лишь разницей, что необходимы три координаты вместо двух и на каждом шаге интегрирования возмущающие ускорения от планет прибавляются к притяжению Солнца. Начало координат обычно выбирают в центральном теле, но это ограничение не является обязательным, и для этой цели можно использовать [c.148]

Вычислив из этих уравнений значения и , можно приба ить высшие члены в (119), определяя таким образом более точное значене р, после чего е и О) могут быть перевычислены при помощи (122). Этот метод очень краток и, кроме того, имеет преимущество быть оди аково применимым для всех конических сечений. [c.222]

Вариация координат. Наиболее простым и непосрелсткенпым способом учета возмущающих сил является вычисление возмущений координат. Пусть, например, планета подвергаемся притяжению Со.чица и другой планеты. Если бы второй планеты не было, то первая двигалао. бы вокруг Солнца по коническому сечению. Возмущающее действие второй планеты изменяет координаты и составляющие скорости в этом лви-жении, и эти различия вычисляются соответствующими способами. При помощи этого метода уравнения действительной кривой получить весьма затруднительно, так что неизвестно, что происходит в течение долгого промежутка времени. Этот метод применяется только к кометам и малым планетам. [c.286]

Вариация элементов. Этот метод носит разные названия вариация элементов, вариация параметров и вариация произвольных посю-янных интегрирования. Согласно идее этого метода мы можем считать, что тело, подчиняясь закону тяготения, всегда движется по коническому сечению, но по такому, которое меняется каждый момент. Изменяющееся [c.286]

Этот метод широко применяется в небесной механике, где обычно функцию выбирают таким образом, чтобы движение, определяемое формулами (96), было невозмущенным кеплеровским движением. Тогда а, и р, суть величины, определяющие положение и форму конических сечений, которые рассматриваются как промежуточные орбиты. Так как в истинных орбитах эти величины суть функции времени, определяемые уравнениями (99), то мы приходим таким образом к методу возмущения элементов, который был рассмотрен другим путем в главе X книги Мультона. [c.415]

Однако следует заметить, что степень близости представления подобными модельными орбитами тех, которые требуются в действительности, зависит от продолжительности времени, затрачиваемого космическим кораблем на движение вблизи границ переходной области. Например, корабль, движущийся по геоцентрическому эллипсу с такими значениями большой оси и эксцентриситета, которые обеспечивают его удаление в апогее более чем на 42 земных радиуса, находился бы в силу И закона Кеплера гораздо более длительное время в пределах сферы действия Луны, чем корабль движущийся по орбите с другими значениями большой оси и эксцентриситета. Поэтому в первом случае можно ожидать гораздо более значительных изменений орбиты, чем во втором. Расчет орбиты прохождения через границу сферы действия можно выполнить по способу Энке или Коуэлла методом, описанным в разд. 11.4.4. При входе во внутреннюю сферу действия Луны возможно использование невозмущенной селеноцентрической орбиты до тех пор, пока корабль не выйдет из этой сферы действия. Итак, сказано достаточно для того, чтобы подчеркнуть, что в исследованиях выполнимости можно нередко пользоваться решением задачи двух тел в виде конических сечений для получения данных [c.386]

В этой главе обсуждаются три тесно связанные между собой темы, а именно определение орбит, yлyчпJeниe орбит и межпланетная навигация. При определении орбит из наблюдений (после их редукции) находятся элементы орбиты тела солнечной системы. При использовании классических методов Лапласа, Гаусса и т. п. приходится исходить из наблюдений положений тела на небесной сфере (эти положения обычно задаются значениями прямых восхождений и склонений). Поскольку орбита тела, обращающегося вокруг Солнца, представляет собой коническое сечение (если пренебречь возмущениями), то в общем случае необходимо найти шесть элементов, так что наблюдения прямого восхождения и склонения небесного тела в три различных момента дают минимальное число данных, требующихся для определения орбиты тела. Это, безусловно, справедливо для эллиптической или гиперболической орбиты в случае параболы (е = 1) надо найти только пять элементов, так что теоретически достаточно трех значений прямого восхождения и двух значений склонения, в то время как для круговой орбиты (при этом е = О, а долгота перигелия теряет смысл) достаточно двух наблюдений как прямого восхождения, так и склонения. Однако на практике приобретают значение различные обстоятельства, и можно утверждать, что для нахождения приемлемой предварительной орбиты требуются три различных наблюдения тела в разные моменты времени. Следовательно, цель определения орбиты состоит в выводе орбиты, которая приближенно представляет действительную орбиту небесного тела из такой приближенной, или предварительной, орбиты можно рассчитать эфемериды, т. е. таблицы вычисленных положений, предсказывающих будущие координаты небесного тела. Эти эфемериды используются для слежения за объектом, в результате чего накапливаются наблюдения для последующих расчетов улучшенной орбиты, как будет показано ниже. [c.418]

Требуемые приросты скорости при пространственном орбитальном движении. В том случае, когда тело движется по известной орбите,-представляюш ей собой коническое сечение, и должно изменить свою скорость так, чтобы перейти на другую орбиту с заданными элементами, требуемые значения импульсов тяги, направленных но касательной, по-нормали или по бинормали к траектории, а также по радиусу или по тран-сверсали, могут быть определены тем же методом, как это делалось выше. При рассмотрении пространственного движения тела удобнее всего пользоваться прямоугольными декартовыми координатами в трех измерениях Силу тяги (импульсную или непрерывную) можно рассматривать как некоторое управляемое возмущение. Анализ такого движения приведен в работах 17] и 12]. [c.184]

Получение отверстий лазером возможно в любых материалах. Как правило, для этой цели используют импульсный метод. Производительность достигается при получении отверстий за один импульс с больиюй энергией (до 30 Дж). При этом основная масса материала удаляется из отверстия в расплавленном состоянии под давлением пара, образовавшегося в результате испарения относительно небольшой части вещества. Однако точность обработки одноимлульсным методом невысокая (10. .. 20 размера диаметра), Максимальная точность (1. .. 5 %) и управляемость процессом достигается при воздействии на материал серии импульсов (многоимпульсный метод) с относительно небольшой энергией (обычно 0,1. .. 0,3 Дж) и малой длительностью (0,1 мс н менее). Возможно получение сквозных и глухих отверстий с различными формами поперечного (круглые, треугольные и т. д.) н продольного (цилиндрические, конические и другие) сечений. Освоено получение отверстий диаметром 0,003. .. 1 мм при отношении глубины к диаметру 0,5 10. Шероховатость поверхности стенок отверстий в зависимости от режима обработки и свойств материала достигает/ а — 0,40. .. 0,10 мкм, а глубина структурно измененного, или дефектного, слоя составляет 1. .. 100 мкм. Производительность лазерных установок при получении отверстий обычно 60. .. 240 отверстии в 1 мин. Наиболее эффективно применение лазера для труднообрабатываемых другими методами материалов (алмаз, рубин, керамика и т. д.), получение отверстий диаметром мепее 100 мкм в металлах, или под углом к поверхности. Получение отверстий лазерным лучом нашло особенно широкое применение в производстве рубиновых часовых камней и алмазных волок. Например, успешно получают алмазные волки на установке Квант-9 с лазером на стекле с примесью неодима. Производительность труда на этой операции значительно увеличилась по сравнению с ранее применявшимися методами. [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...