Первый интеграл формальный

Аналогичные теоремы справедливы в случае, когда набор К. резонансный, если росток векторного поля формально эквивалентен своей линейной части (например, в случае центра по линейным членам при наличии формального первого интеграла [c.79]

Это есть необходимое условие того, что упругая энергия тела в действительном состоянии равновесия имеет максимум или минимум по сравнению со всеми возможными смежными состояниями равновесия в раскрытом виде это уравнение мы получим, приравняв нулю интеграл (11.49). Для суждения о том, имеет ли здесь место максимум или минимум, составим полную вариацию упругой энергии. Вариация, выраженная формулой (11.49), является первой вариацией видим, что она формально составлена как первый дифференциал функции от нескольких независимых переменных например, первый дифференциал функции г (л , у) имеет вид [c.346]

Причина такой неоднозначности от изменения порядка интегрирования и суммирования кроется в формальной расходимости всего выражения. Как видно, однако, суть дела состоит в том, что при суммировании в первую очередь по частотам оказывается, что результат суммирования отличен от нуля только Б очень узкой области энергий вблизи поверхности Ферми (эта область, как следует из (37.14), имеет ширину — (г>А )). В этой области интеграл по импульсам оказывается быстро сходящимся, и только поэтому выражение для энергии возбуждений, отсчитываемой от поверхности [c.404]

Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями как из-за того, что пока еще не ясно, какие именно конкретные задачи для этого уравнения должны быть рассмотрены в первую очередь, так и по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных (и даже общих результатов о существовании и единственности таких решений). В самые последние годы большое внимание в этой связи привлекает новый математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Уже сегодня формально удается записать решение уравнения Хопфа в виде континуального интеграла по некоторой обобщенной мере в функциональном пространстве (не обладающей некоторыми обычными свойствами мер, используемых в математическом анализе, и тем, напоминающей пресловутую меру Фейнмана , возникающую в квантовой механике и квантовой теории поля). Однако пока такая запись решения все еще остается лишь чисто формальным приемом, мало облегчающим эффективное построение и изучение искомых решений. [c.28]

Значение эйконала т+(М, у) — у(—у) в этой стационарной точке совпадает (тоже с точностью до членов порядка 0( -л ,/б)) значением эйконала отраженной волны, найденным с помощью лучевого метода. Если расстояние к от рассматриваемой точки М до границы свет —тень удовлетворяет неравенству (5.1), то интеграл 2 (см. (2.8)) можно асимптотически вычислить по методу стационарной фазы ). Первое слагаемое в формуле (2.7) /1 имеет лучевое разложение, совпадающее с разложением падающей волны, 2, будучи формальным решением уравнения Гельмгольца, имеет эйконал отраженной волны, и сумма этих слагаемых обращается в нуль на 5. Из того, что по лучевому разложению падающей волны лучевое разложение отраженной волны определяется однозначно (см. гл. 1), следует, что в области (5.1) асимптотическое разложение 2 совпадает с лучевым разложением отраженной волны. [c.401]

Равенство (2.43) представляет собой первый интеграл типа (2.40) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей q,, а вместо них появляются соогветствующие импульсы pj. Преимущество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импульсы р, как постоянные интегрирования, и тогда последующее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан. [c.62]

Первые интегралы. Уравнения Вольтерра, или уравнения спонтанного движения гиростата с внутренними установившимися движениями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых интеграла интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил (ср. гл. VIII, п. 9). Эти интегралы легко получаются формальным путем из тех же уравнений (48 ), но еще проще получить их, если об ратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в векторной форме. [c.223]

Рассмотрим первый интеграл I,. Поскольку в области интегрирования и чисто мнимы, этот интеграл, взятый формально по действительной оси в комплексной плоскости переменной os0. также представляет собой чисто мнимую величину и поэтому не дает вклада в (23.16). Существенно, однако, что подынтегральное выражение /j имеет полюс, расположенный в верхней полуплоскости очень близко от действительного значения os 0 = os 0j, где os 0] определяется из условия обращения в нуль величины Z os2 20,4-. /Sin 20 — Z. Последнее условие соответствует поверхностным волнам Рэлея на свободной поверхности твердого тела. Значение os 0 в полюсе является корнем уравнения [c.133]

Теорема ([43], [54]). Если аналитическое уравнение с линейной частью г = шг, >0, имеет формальный первый интеграл (то есть существует решение уравнения (1), для которого 0, Р сопз1), то поле V имеет центр в точке 0. [c.94]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Как уже отмечалось, интерес к немарковским кинетическим уравнениям возник в связи с началом активного исследования быстрых процессов в веществе иод действием мощного лазерного излучения. Тот факт, что уравнение Левинсона не нарушает закон сохранения полной энергии, явился приятной неожиданностью . Казалось, что включение эффектов памяти ведет лишь к техническим сложностям в решении кинетических уравнений и не создает каких-либо принципиальных проблем. Очень скоро, однако, численное решение кинетических уравнений типа уравнения Левинсона показало, что все они обладают серьезными дефектами [94]. Во-первых, в процессе решения возникали нефизические отрицательные значения одночастичной функции распределения. Оказалось также, что уравнение Левинсона не описывает релаксацию системы к равновесию после окончания действия внешнего поля и, вообще, в пределе больших времен его решение не стремится к какой-либо стационарной функции распределения. Формальные причины такого поведения решений уравнения Левинсона легко обнаружить. В отличие от интеграла столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86), интеграл столкновений Левинсона (4.5.14) не обращается в нуль если в него подставить равновесные распределения Ферми или Бозе ). Иначе говоря, уравнение Левинсона не имеет равновесного решения Поэтому нет ничего удивительного в том, что уравнение Левинсона предсказывает нефизическое поведение системы на стадии релаксации после окончания действия поля. Впрочем, поскольку это кинетическое уравнение имеет внутренние дефекты, возникают сомнения и в его применимости к описанию стадии возбуждения системы полем. [c.313]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Формулы Буземана и в особенности Ньютона играют важную познавательную и практическую роль в аэродинамике. Поэтому, не ограничиваясь интуитивным характером их вывода, придадим им асимптотический смысл, получив предельное решение при k- 0, что понадобится нам и в дальнейшем. Для этого определим малый параметр как o = Poo/Qmin, где Qmm — минимальное значение плотности в рассматриваемой области течения. Тогда р = ро/ о, где ро роо. Формально у- О при о- О, если сходится интеграл первого уравнения (5.1,21) (гр). Предполагая это, как и в 5.1, систему (5.1.21) — (5.1.24) приведем при k- 0 к виду [c.129]

Как будет показано в следующей главе, эти обобщения уравнений Гамильтона разделяют с последними то важное свойство, что для них автоматически выполняются все условия полной устойчивости, если только они удовлетворяют очевидным условиям устойчивости первого порядка. Следовательно, с этой точки зрения пфаффовы уравнения являются столь же важными для динамики, как и гамильтоновы, хотя первые принадлежат к более общему типу и, кроме того, имеют одно дополнительное преимущество, а именно они сохраняют свою пфаффову форму при любом преобразовании переменных, принадлежащем к формальной группе. В самом деле, достаточно только произвести замену переменных под знаком интеграла в формуле (12), чтобы получить преобразованные значения функций Xi и Z. [c.100]

Рассмотрим случай, когда потенциал V(а, /3, 7) квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно [18, 19, 20, 21, 146]. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволю-тивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в п-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О. И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. [c.212]

Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых, отметим, что при выполнении неравенства j ] >2 существует степенной ряд (возможно, расходящийся), который формально является знакоопределенным интегралом системы (3.1) [158]. Согласно только что доказанной теореме, из существования формального интеграла в нашей задаче следует устойчивость по Ляпунову. [c.67]

Таким образом, формальный интеграл (3.7) будет знакоопределенным при всех ц из области устойчивости в первом приближении, кроме значений Цх и Цг (исключенных из рассмотрения с самого начала, так как вопрос об устойчивости при ц = lx и ц = Ц2 уже решен), а также значений ц, принадлежащих интервалам (3.2). Таким образом, формальная устойчивость точек либраций для значений ц, лежащих в интервалах (3.1), доказана. [c.138]

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Зто- газ из частиц, взаимодействующих по закону / = а/г ). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости Уотн, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение оказывается зависящим только от угла рассеяния 6, но не от Уотн- В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров постоянной а, массы частиц т и скорости Уотн- Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади Уо (сс/т) / ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений (10,7) и (10,13) ). [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...