Фурье-образы одномерные

Комплексный фурье-образ одномерной (в общем случае комплексной) функции f x) можно определить следующим образом [5] [c.27]

Для получения согласованного фильтра с учетом исходных данных синтезируется цифровая голограмма Фурье для функции (7.13), Записанная в виде вещественной неотрицательной величины путем введения пространственной несущей. Синтезированный фильтр, представляющий собой, таким образом, одномерную цилиндрическую линзу, может использоваться в оптическом процессоре либо непосредственно, либо после повышения пространственной частоты по методике, описанной в [192]. [c.155]

Его одномерный (в горизонтальном направлении) фурье-образ по t можно сформировать с помощью системы, состоящей из цилиндрической и сферической линз. При этом распределение интенсивности в выходной плоскости дается выражением [c.576]

Эту систему можно заставить работать в реальном времени, если использовать в качестве устройства ввода сигналов две скрещенные акустооптические линии. Входные сигналы на высокой частоте можно подвести к акустооптическим линиям, а затем осуществить их двумерное фурье-преобразование и после этого отфильтровать соответствующие скрещенные члены на выходе. При этом одномерный фурье-образ такой отфильтрованной картины приводит к формированию функции неопределенности входного сигнала в координатах дальности т и доплеровской частоты v. [c.576]

Распределение комплексных амплитуд в плоскости Рз представляет собой одномерный фурье-образ выражения (39) и имеет вид [c.580]

Для достижения оптической корреляции, инвариантной к вращению входного сигнала, можно использовать второй тип пространственно-неинвариантного коррелятора, построенного по той же основной схеме, что и коррелятор на рис. 8, причем в нем реализуется тот же принцип, а именно преобразование координат с последующим использованием обычного пространственно-инвариантного коррелятора. В данном случае операция координатного преобразования состоит в преобразовании прямоугольных координат в полярные, т. е. (х, у) (I, il)=(P> 6)- Следовательно, преобразованная функция записывается в виде (р, 0), а эталонная функция g (р, 0) представляет собой копию входной, повернутой относительно нее на некоторый угол. Одномерный (по 0) фурье-образ функции g дается [c.580]

В дальнейшем описании функции /ь /г, . fn являются комплексными амплитудами пропускания транспаранта (фотопленки и т. д.) или отражающей способности предмета (который может быть, конечно, трехмерным), когда предмет или транспарант освещается монохроматическим светом. И далее Fn является фурье-образом функции f . Для простоты используются одномерные обозначения. [c.112]

Из таблицы пар одномерных фурье-образов (приложение А) явствует, что соответствующая плотность распределения имеет [c.235]

В этой книге мы выбрали такое определение прямого преобразования Фурье, которое имеет экспоненциальное ядро с положительным показателем. Нащи определения одномерного и двумерного фурье-образов (вообще говоря, комплексных) функций Т (х) и Т(х, у) таковы [c.499]

Теперь мы представим без доказательств ряд формул для одномерных и двумерных фурье-образов. Везде в этом приложении д и Ь представляют собой функции (вообще говоря, комплексные) одной или двух переменных, а О и Н — их фурье-образы, определяемые в соответствии с (А.1) или (А.2). Во всех случаях символ означает оператор преобразования Фурье в одном или двух измерениях. Размерность должна быть ясной из контекста. Если приводится только одна форма соотношения, то это значит, что она пригодна как для одномерного, так и для двумерного случая. [c.500]

А.З. Таблица одномерных фурье-образов [c.502]

В табл. А.1 приведены одномерные фурье-образы, которые встречаются в этой книге. [c.502]

Таблица А.1. Одномерные фурье-образы

Таким образом, в методе фурье-синтеза вначале формируется двумерный спектр томограммы из одномерных фурье-образов проекций по полярной сетке отсчетов, а затем выполняется обратное двумерное преобразование Фурье также в полярной системе координат. [c.30]

В настоящем параграфе рассматривается вопрос о выборе числа проекций для восстановления достаточно широкого класса изображений, представимых в частотной плоскости в виде ряда Котельникова, обобщенного на двумерный случай. Для этого предварительно вспомним связь между преобразованиями Фурье и Радона (см. 1.1). Согласно теореме о центральном слое одномерное преобразование фурье-проекции, полученной под определенным углом просвечивания, равно сечению двумерного спектра изображения вдоль линии, проходящей через начало координат в спектральной плоскости под тем же углом. После определения фурье-спектров от всех проекций в частотной области формируется дискретный набор сечений двумерного фурье-образа искомого изображения. Для анализа возможности последующего восстановления объекта по набору проекций необходимо определить достаточное число сечений двумерного спектра для определения его во всей области задания на частотной плоскости. [c.54]

Где С р — одномерный фурье-образ скорректированных проекций [c.97]

Использование преобразования Радона—Фурье, реализуемого в оптико-электронном процессоре, позволило достаточно просто решить задачу вычисления двумерного фурье-образа произвольной функции в режиме поступления видеоинформации [157] Алгоритм вычисления основан на связи преобразований Радона и Фурье (см. гл. 1). Напомним, что одномерное преобразование Фурье от проекции ] р) представляет собой центральное сечение фурье-образа анализируемой функции х,у). Это означает, что последовательное выполнение над изображением ( х,у) преобразования Радона и одномерного преобразования Фурье позволяет получить значения искомого двумерного преобразования Фурье. [c.208]

В [13, 159] для выполнения двумерного преобразования Фурье через преобразование Радона было предложено использовать одномерные фурье-процессоры, основными элементами которых являются фильтры с линейной частотной модуляцией на поверхностных акустических волнах (ПАВ). Не останавливаясь подробно на принципе действия указанных фильтров, приведем некоторые технические характеристики такого радон—фурье-процессора [159] на ПАВ-структурах с преобразованием Радона, основанным на сканировании изображения светящейся линией. Время получения проекции составляет 10 мс, время получения фурье-спектра — 30 мс после начала сканирования изображения. Это позволяет получать 500 X 500 значений двумерного фурье-образа (500 отсчетов по диаметру в спектральной плоскости и 500 углов в диапазоне 0... 180°) за 1/30 с. [c.210]

За последние три десятилетия метод преобразования Лапласа был значительно усовершенствован. При его применении к одномерным задачам этот метод обладает следующими преимуществами перед более старыми методами Фурье 1) он дает стандартную методику, применяемую ко всем задачам одинаковым образом 2) он применим ко всем граничным условиям и не зависит от последних, что устраняет необходимость разработки новой теории для каждого типа граничных условий 3) он позволяет доказать очень много простых теорем, например теоремы, приведенные в 2 гл. XII, которые можно использовать для получения новых результатов и новых преобразований, и 4) в большинстве случаев трудности, связанные со сходимостью, не возникают, и решение простых частных задач (например, задачи с постоянной начальной температурой и постоянной температурой поверхности) обычно можно считать совершенно строгим. В случае двумерных и трехмерных задач положение не столь удовлетворительно, и в методе, используемом в данной книге, после исключения времени с помощью преобразования Лапласа мы всегда вынуждены применять классические методы Фурье. [c.445]

Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как при X = О была задана температура тела v если бы был задан тепловой поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование по косинусам в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового типа в случае граничного условия типа Е, приведенного в 9 гл. I, потребуется уже другое преобразование и т. д. [c.449]

В [63] предложено одномерное преобразование для каждого сечения по z выполнять в ЦВМ, получая таким образом синтезированную голограмму Фурье (г, s) этого сечения. Такие голограммы можно восстановить в оптической схеме Фурье и получить картину распределения плоскости электронов во всех сечениях. На рис. 6.21 показан пример такого восстановления для пяти сечений [208]. [c.138]

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являюш,ихся функцией только радиуса г, имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты р) и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следуюш,им образом [c.32]

Комбинация из цилиндрической L(.i и сферической L i линз формирует в вертикальном направлении изображение входного транспаранта, а в горизонтальном отображает его одномерное преобразование Фурье. Таким образом, N горизонтальных строк [c.567]

Распределение комплексных амплитуд света в плоскости представляет собой одномерное фурье-преобразование выражения (17) таким образом, [c.568]

И представляет собой одномерное преобразование Фурье пропускания /i(xi, i), отображаемое в горизонтальном направлении. Таким образом, амплитудное пропускание записанного в плоскости Рг фильтра запишется в виде [c.580]

Таким образом (пока в одномерном представлении), преобразование Фурье функции, существующей в пространстве объекта только вблизи нуля, т. е. преобразование точки , дает функцию, имеющую в обратном пространстве всюду постоянное значение . [c.26]

Поскольку в заданный момент времени корреляция осуществляется только внутри данного кластера статический коррелятор Sff Q) отличен от нуля лишь при а = /3. С другой стороны, перестройка кластеров с течением времени приводит к зависимости времени релаксации от расстояния и = между этими кластерами в ультраметрическом пространстве. Принимая последнее однородным и переходя к фурье-образу по решеточным индексам внутри наименьшего кластера, из (2.50), (2.51) получаем структурный фактор одномерной длиннопериодной структуры [c.143]

Из уравнений (10.170) и (10.171) видно, что ПХР является результатом выполнения одномерного преобразования Фурье по радиальной координате от двумерного фурье-образа исходной фуцк1щц. [c.675]

Из (1 20) следует, что фурье-образ проекции представляет собой спектр функции f x,y) вдоль прямой (О (СО8ф+С1)2,81Пф = 0, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом двумерного фурье-образа функции /. [c.26]

Возможна также следующая модификация метода фурье-син-теза. Из выражений (1.29), (1.31) следует, что значения одномерного фурье-образа любой -й проекции совпадают со значениями двумерного фурье-спектра искомой томограммы вдоль прямой psin (ф—i1j)=0, проходящей через начало координат частотной плоскости РФ под углом к базовой линии Если все спектры проекций в частотной плоскости рф повернуть на соответствующий угол и накопить, т е. просуммировать, то в результате сформируется двумерный спектр [c.30]

Для восстановления томограммы по формуле (1.36) необходимо выполнить следующие операции 1) вычислить фурье-образы проекций (р If) 2) повернуть полученный одномерный спектр в частотной плоскости рф на соответствующий угол ilj. В двумерной плоскости такой одномерный фурье-спектр можно описать функ-цией f(p lJ) [psin(ф—ijj)] 3) накопить все спектры в плоскости Рф. Результат накопления описывается функцией S(p, ф) 4) умножить полученный спектр S(p, ф) на двумерный фильтр р 5) выполнить двумерное обратное преобразование Фурье [c.31]

Ш а г 1 По известному набору проекций получается набор их одномерных фурье-образов, которые по теореме о центральном сечении дают в частотной плоскости значения фурье-образов искомого решения на лучах, выходящих из начала координат под углами, совпадающими с углами наблюдения проекций. На этом этапе значения спектральных амплитуд зануляются вне данных лучей, а также вне граничной частоты. [c.68]

В настоящее время широко распространены цифровые и оптические методы вычисления двумерных преобразований Фурье, Преимущества цифровых методов, основанных на использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье, общеизвестны широкий динамический диапазон, высокая точность. Однако, несмотря на то, что одномерное фурье-преобразование, выполняемое, как правило, в спецпроцессорах, реализуется достаточно быстро, тем не менее вычисление двумерного фурье-образа до сих пор не удается выполнять в режиме получения видеосигнала (25—30 кадров/с) для достаточно большого числа элементов в кадре (500X500 отсчетов). Другим недостатком можно назвать явление мимикрии частот при неправильно выбранном интервале дискретизации сигнала. [c.207]

Следующий этап — вычисление одномерного ореобразования Фурье от одномерного набора проекций f p). Напомним, что в результате этого непосредственно получаются искомые значения двумерного фурье-образа функции f x,y), заданного в полярной сетке. Выполнить указанную операцию можно с использованием различных специализированных устройств, например специализированного цифрового БПФ-процессора, что позволяет осуществлять частоту преобразования 500 кГц. Так, для получения двумерного массива коэффициентов Фурье изображения достаточно 20 мс. Для работы цифрового БПФ-процессора необходимо исполь- [c.209]

Аналогичную операцию можно вьшолнить с использованием преобразования Радона. Схема сжатия при этом выглядит следующим образом. Сначала вычисляется преобразование Радона исходного изображения Цх,у) под различными, заранее выбранными углами ф. Затем из полученных проекций (р) с использованием одномерного преобразования Фурье получают функцию / <0 (V), представляющую собой набор значений двумерного фурье-образа изображения. Сжатие выполняется дискретизацией и квантованием, полученных значений коэффициентов Фурье отдельно вдоль каждой линии. Так как проекция /в р)—действительная функция, то ее фурье-преобразование ( ) обладает свойством эрмитовости, т. е. действительная часть — четная функция, мнимая— нечетная. Поэтому должна быть передана или запомнена только положительная часть (v>0) каждой линии в частотной плоскости. При сжатии вдоль каждой линии отбрасываются значения спектра после некоторой граничной частоты которая изменяется от проекции к проекции, т. е. зависит от ф. В [18] для определения значения было предложено следующее правило [c.212]

Таким образом, если известны изображения ядер подсистем, то можно получить изображения ядер практически любой сложной системы, образованной этими подсистемами. Так как для этого требуется выполнить лишь алгебраические операции, то объем вычислений при расчете спектра сигнала на выходе системы определяется числом операций, необходимых для вычисления преобразования Фурье адер подсистем, которое равно Число операций при вычисле-ши изобрахсений ядер можно существенно уменьшить. Для этого при формировании структурной схемы системы следует представлять ее по возможное в виде совокупности подсистем, каждая из которых 06pa30Baia композицией линейного и нелинейного звеньев. Тогда ядра подсистем сепарабельны и задача определения изображения ядер Вольтерра Vj) сводится к вьиислению одномерного преобразования Фурье от Я, (т) и формированию затем yV-мерного массива из полученного одномс рного. [c.107]

Применительно к анализу регулярного рельефа излома в виде блока усталостных бороздок их изображение вводили в ЭВМ в виде квадратной матрицы замера интенсивности РЭМ-сигнала. Размер матрицы изображения 128x 128 точек (128 = 2 ) использовали аналогично одномерному Фурье-анализу. По каждой строке такой матрицы путем одномерного Ф-преобразования определяют преимущественные гармоники, соответствующие периодической структуре блока с усталостными бороздками. В отличие от одномерного случая при двумерном преобразовании Фурье на этом анализ не заканчивается. Производится следующее преобразование, позволяющее выделить те периоды структуры рельефа излома, которые чаще и реже встречаются в полученных 128 одномерных Ф-спектрах от 128 строк матрицы изображения. Суть этой операции можно пояснить следующим образом. [c.212]

Пример распознавание образов по корреляции энергетического спектра. На схеме, представленной на рис. 5.19, транспарант Tj освещается плоской волной квазимонохроматического света. Комплексная амплитуда последнего может быть обозначена а фурье-преобразование от нее в фокальной плоскости линзы Lj-соответственно F . Здесь для простоты снова используется одномерное представление. Рассеиватель в плоскости преобразования разрушает когерентность и создает некогерентное распределение интенсивности, в сущности подобное самосве-тящемуся , которое пропорционально величине Fx являющейся энергетическим спектром (ср. разд. 4.7.1). [c.119]

Процедура моделирования киноформа достаточно проста заданному распределению интенсивности поля на объекте приписывается псевдослучайная последовательность распределения фазы, выполняется дискретное преобразование Фурье и отсчеты амплитуды результата преобразования заменяются константой. Таким образом получается последовательность отсчетов, моделируюш их киноформ. Для изучения искажений восстановленного сигнала достаточно теперь выполнить обратное преобразование Фурье и сравнить значения модуля полученных отсчетов интенсивности поля на объекте. На рис. 10.9 показаны результаты моделирования на одномерной модели [79] а — исходное распределение яркости объекта б — результат восстановления киноформа диффузного объекта с распределением яркости (а) в — результат восстановления киноформа зеркального объекта с распределе- [c.205]

Таким образом, сначала находятся трансформанты Фурье — Бесселя Qi r) каждой слоевой и далее для каждого значения г строятся одномерные ряды Фурье по косинусам, что в итоге дает двумерную картину функции межатомных расстояний в координатах г, Z. Это, в сущности, сечение данной функции, проходящее через ось Z вдоль произвольного радиуса г, но в силу цилиндрической симметрии все такие сечения тождественны. На рис. 108 в качестве примера приведена цилиндрическая функция Паттерсона для дезоксирибонуклеиновой кислоты [6], на рис. 109 — для вируса табачной мозаики [II, 50]. В обоих случаях вид Q r,z) свидетельствует о спиральном характере молекул. Построение Q r,z) для ДНК позволило установить размещение наиболее тяжелых атомов фосфора, что определило конфигурацию двухцепочечного хребта этой молекулы (рис. 45). Из функции Q r,z) для ВТМ был выяснен примерный радиус молекулы и наличие на ней спиральной нарезки, а также некоторые другие детали структуры.Примеры цилиндрической функции Q(r,z) представлены также на рис. 110 и 213. [c.170]

То, что фазовая информация, вообще говоря, исключительно важна для формирования изображения, можно продемонстрировать на простом примере. Рассмотрим одномерный объект с прямоугольным профилем интенсивности (рис. 7.18). Соответствующий комплексный коэффициент когерентности есть просто функция sine. Заметим, что отрицательные лепестки функции sine соответствуют изменению на 180° фазы интер-ферограммы, создаваемой интерферометром, а такие изменения фазы не могут быть обнаружены по причинам, выясненным ранее. Таким образом, результаты измерения соответствуют модулю функции sine. Если, считая эту информацию о модуле истинным спектром объекта, мы подвергнем его обратному преобразованию Фурье, то получим изображение , показанное [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...