Тензор деформации для плоского напряженного состояния

На поверхности пластины известны компоненты тензора деформаций e,l = 0,6 10- 622=0,1 10- ei2 = —0,05-10 . Используя выражения закона Гука для плоского напряженного состояния, вычислить соответствующие напряжения 011, 022, 015, если =2-10 МПа, [c.129]

Запишите матрицы тензоров напряжений и деформаций для плоского напряженного н плоского деформированного состояний. [c.191]

В соответствии с [65, 105] выберем декартову систему координат (ж1,ж2,жз) таким образом, чтобы плоскость Х Х2 была параллельна плоскости деформирования (в случае плоской деформации) или совпадала со средней плоскостью пластины (для обобщенного плоского напряженного состояния), а оси х и Х2 совпадали с главными осями начальной деформации. Пусть ei i = 1,2,3) — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей. Обозначим через S тензор, определенный следующим образом для сжимаемого материала S = Li[u], а для несжимаемого S = Ь2[и р] (этот тензор соответствует тензору напряжений линейной упругости). Тогда в случае плоской деформации или плоского напряженного состояния векторы и, f, Q, N и тензор S могут быть представлены в координатной форме следующим образом [c.67]

Тензор деформации 43 ---.для плоского напряженного состояния 59 [c.359]

Аналогичная модель волокнистого композиционного материала для плоского случая — при армировании в двух направлениях — применялась ранее [54, 68] при расчете сетчатых безмоментных оболочек. Для нее матрица жесткости также вырожденная, тензор деформаций в плоскости — шаровой. Напряжения в главных направлениях различались между собой их отношение, равное lg 0, характеризовало направление траекторий армирования (под углом 6 к оси 1). В случае плоского напряженного состояния [68] для статической определимости системы трех напряжений в плоскости слоев, работающих лишь в направлении волокон, необходима укладка, состоящая из трех слоев с различными углами армирования в плоскости. [c.80]

Заметим вначале, что каждый элемент пластины в общем случае плоского напряженного состояния испытывает, кроме собственно деформации (измеряемой некоторым тензором), перенос как жесткое целое (измеряемый комплексным вектором перемещения) и вращение (измеряемое некоторым скаляром). То же самое относится к брусьям. Условия совместности состоят в том, что в каждой жесткой заклепке перемещения и вращение, рассчитанные для пластины и бруса, должны совпадать. [c.162]

Тензор напряжений для случая плоской деформации отличается от тензора напряжений при плоском напряженном состоянии (1.97) [c.61]

Главные дифференциалы приращения тензора деформаций для рассматриваемого состояния плоской деформации удовлетворяют соотношениям (2.115) — (2.119) и условиям аг = —(1г2 и /8з = 0. Так как этим деформациям отвечают главные напряжения о = —02, аз = 0, отношения которых остаются постоянными во время всего процесса деформирования, то уравнения (2.118) можно проинтегрировать и записать в конечном виде ) 81 = —82, 83 = 0, и в виде соотношений, получающихся циклической перестановкой индексов 1, 2, 3. В плоскости деформаций 81 + 82 + 83 = = 0 эти три группы уравнений представляются тремя прямыми, пересекающимися в начале координат О и наклоненными под одинаковыми углами в 60°. Это приводит нас к предположению, что последовательность постых сдвигов (состояние плоской деформации с поворотом) можно представить в виде прямолинейного пути 81 = —82, 83=0, который точка Q с координатами 8ь 82, 83, откладываемыми в направлениях действия главных напряжений аь 02, о проходит вдоль 05з (рис. 2.11). Считая, что последовательность простых сдвигов осуществляется, как и в 2.3, В, в направлении оси х, мы можем воспользоваться выражениями, которые были там выведены и справедливы для состояния простого сдвига независимо от природы материала, а именно выражениями [c.115]

Определим напряженно-деформированное состояние цилиндра для t 0. Введем величину со (i), равную углу закручивания цилиндра, приходящемуся на единицу его длины (так называемую крутку ). Все компоненты тензора деформации равны нулю, кроме деформации сдвига Вгф. В силу закона плоских сечений, имеем [c.151]

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали состоянием чистого растяжения . Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т — = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 5з(0, X) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения. [c.333]

Методики определения искомых величин, принятые в энергомашиностроении [142, 174], опираются на известное решение классической задачи Ляме о полом цилиндре, нагруженном равномерным давлением по внутренней и внешней поверхностям. В этом случае напряженное состояние диска предполагается плоским, осевые деформации и напряжения — малыми или пренебрежимо малыми, остальные компоненты тензора напряжений — равномерно распределенными по толщине диска, и предположения справедливы для дисков с небольшими осевыми размерами ступицы, когда радиальные деформации превалируют над изгибными. Однако применение удлиненных лопаток последних ступеней потребовало создания дисков со значительными осевыми размерами ступицы. Для таких дисков характерны большие изгибные деформации центральной втулки и существенная неравномерность радиальных и тангенциальных напряжений в осевом направлении. В этом случае результаты, полученные по формулам плоской задачи, не отражают действительно возникающего НДС в диске. К тому же использование формул Ляме для определения напряжений на поверхности соприкосновения диска с валом возможно лишь при одинаковой длине сопрягаемых цилиндров и дает удовлетворительный результат в средней части зоны контакта, на достаточном удалении от торцов диска, где можно пренебречь влиянием краевого эффекта [119]. [c.208]

В параграфе приводятся основные уравнения теории пластической наследственности, связывающие компоненты тензоров деформации и напряжений, с учетом ползучести и старения материала в случае плоского деформированного состояния тела. Решается задача о равновесии полуплоскости, находящейся в условиях нелинейной ползучести, под действием сосредоточенной силы, приложенной нормально к ее свободной поверхности. Доказывается, что решение плоской контактной задачи нелинейной теории ползучести сводится к совместному решению двух связанных между собой интегральных уравнений. Приводятся решения этих уравнений для случаев симметричного и кососимметричного нагружения контактирующих тел. [c.221]

Графически состояние плоской деформации в точке описывается кругами Мора для деформации точно таким же способом, что приведен в гл. 2 для кругов Мора для напряжения. При этом тензор деформаций часто представляют в виде [c.132]

Мы установили, что в случае первоначально параллельных волокон существует состояние чистого натяжения, при котором все компоненты тензора напряжений равны нулю, за исключением осевой компоненты 5з(0, Я). Угол наклона волокна 0о для данной частицы в состоянии чистого натяжения связан с начальным углом наклона 0i равенством 0о = A,0i. Следовательно, если в условиях совместности (97) и (98) величину A0i заменить на 00, то эти условия примут точно такой же вид, как и для случая плоской деформации при отсутствии осевого растяжения, Таким образом, теория плоских деформаций, наложенных на состояние чистого натяжения, полностью идентична построенной ранее теории плоских деформаций без осевого растяжения, за исключением того, что величины 5 и 5з параметрически зависят от К. [c.335]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

На основании формул (1.13) для плоского напряженного состояния и плоской деформации к, I, г, s=l,2) между компонентами тензора напряжений Огг, овв, сггв в полярных координатах и компонентами тензора напряжений оц, (Т22, аи в прямоугольных декартовых координатах имеют место соотношения [c.134]

Уравнения (3), (4) и (7) представляют собой зависимости между составля рщими тензоров напряжений и деформаций для плоского деформированного состояния. [c.500]

Для плоско- деформированного состояния компоненты тензора деформации при X = +00 могут быть выражены через напряжения следующим обра- [c.342]

Распределение напряжений у вер шины трещины при плоском напряженном состоянии на примере тонкой пластины с трещиной анализировалось Хатчинсом [250], который по лучил сингулярность типа г для произведения тензора напряжений па тензор деформаций, как и в работе 1П2] для плоской деформации, но только для радиального распределе ния. Для распределения по углу оно отличается от распределения при плоской деформации. [c.11]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Отметим, что существуют определенные особенности постановки задач о плоском напряженном состоянии при больших деформациях. Связаны они с тем, что при плоском напряженном состоянии толщина пластины меняется в общем случае неравномерно в результате деформации, поэтому нормаль к основанию пластины отклоняется от направления нормали к средней плоскости пластины даже в случае, если первоначально пластина была равномерной по толщине. При оценке того, насколько точно модель плоского напряженного состояния отражает напряженно-деформированное состояние тонких пластин при больших деформациях, может быть применен, например, следующий подход. Рассмотрим на средней плоскости пластины окрестность некоторой точки, такую, что радиус этой окрестности соизмерим с толщиной пластины. Если в пределах этой окрестности относительное изменение толщины пластины мало, то отклонением нормали к основанию пластины можно пренебречь и считать, что сгзз = О [58]. Если же в пределах указанной окрестности относительное изменение толщины пластины достаточно велико, то отклонение нормали к основаниям пластины приведет к значительному отклонению от нуля этой компоненты тензора напряжений. Например, учет этого будет существенным, если минимальный радиус кривизны концентратора напряжений соизмерим по порядку величин с толщиной пластины и деформации конечны. Это обстоятельство может быть важно при решении конкретных задач для узких щелей, и в особенности для трещин. [c.22]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Пользуясь обычными формулами перехода, связываюпщми компоненты тензоров напряжений и деформации в цилиндрической системе координант (г,79,г) с соответствующими компонентами в системе главных осей, и принимая, что девиаторы напряжений и деформации имеют одинаковые главные направления в любой момент времени , из (1.1) для случая плоского деформированного состояния тела получим [c.222]

ВОДЫ, среди различных путей плоских деформирований Г Кх,у8)=0 есть один и только один, соединяющий точку Ро Кх=и Уз = 0) (рис. 2.21), представляющую начальное недеформированное состояние тела, с точкой 1( x1, УзО, отвечающей заданному конечному состоянию деформации, вдоль которого одновременно удовлетворяются уравнения (2.200) и (2.201). Для этого выделенного пути деформирования в каждой его точке главные оси конечной плоскости деформации совпадают с главными осями прира-и ения тензора деформаций и, следовательно, также с мгновенными осями главных напряжений. Для этого пути углы р и а равны друг Другу, = при условии, что величины Ях и Уз удовлетворяют определенному дифференциальному уравнениьо, которое получается приравниванием правых частей tg2a = [c.131]

Ниже приведены графики типичных зависимостей от полярного угла компонент тензора напряжений п величин (Те (р) = Т[(р), д (р) и д тах( ) для паклонпой трещины нри а = тг/4 в случае плоского папряжепного состояния и плоской деформации нри п = 3. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...