Волна, амплитуда на глубокой воде

Следующим шагом в раскрытии характера волнового процесса были работы известных математиков Коши и Пуассона (1816 г.), впервые установивших, что силы, выводящие,, частицы из состояния покоя и создающие их волновое движение, имеют потенциал, а само движение является безвихревым. Основываясь на тех же исходных положениях, Стокс (1847 г.) получил для волнового движения при разомкнутых орбитах частиц слабое поступательное движение всей массы воды в направлении перемещения волн, интенсивно затухающее с глубиной. Кроме того, в отличие от Герстнера Стокс показал, что прогрессивная волна имеет профиль, касательные к которому около гребня образуют с ним угол, равный 120°, а не профиль в виде трохоиды или в пределе циклоиды с углом, равным 0°. Скорость распространения волны по Стоксу зависит не только от ее длины, но и от ее высоты. Доказательства Стокса относились к волнам малой амплитуды на глубокой воде. [c.515]

В случае эллиптичности, который здесь будет рассмотрен (как мы видели, он охватывает задачу о волнах умеренной амплитуды на глубокой воде), сопоставление этих двух воздействий существенно облегчается введением новой переменной определяемой в общем случае как [c.65]

Имеются и другие короткие волны, которые проявляются тогда, когда берега будут наклонными эти волны мы можем отличать названием краевых волн , так как их амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону при увеличении расстояния от берега. Действительно, если амплитуда на краях будет лежать в пределах, допускаемых нашим приближением, то она становится мало заметной на расстоянии, проекция которого на откос превышает длину волны. Скорость волны здесь будет меньше скорости волн той же длины на глубокой воде. Поэтому нет оснований считать этот тип волн очень важным. [c.557]

Сравнивая эту формулу с формулой = g-X/2n, полученной по обычной теории, мы видим, что они согласуются при малых значениях а/Х, и замечаем, что скорость поверхностных волн на глубокой воде увеличивается с увеличением отношения амплитуды к длине волны. [c.413]

Волпы на глубокой воде отличаются от длинных волн (т. е. волн, длинных но сравнению с глубиной) прежде всего относительными величинами, характеризующими движение в вертикальном и горизонтальном направлениях если в случае длинных волн движение в вертикальном иаправлении намного слабее, чем в горизонтальном (разд. 2.2), то для волн на глубокой воде они равны по амплитуде. Действительно, из (14) и (17) для составляющей скорости по оси х (горизонтальная составляющая) и по оси Z (вертикальная составляющая) получаем [c.262]

Общей характеристикой линейных теорий волнового движения является то обстоятельство, что в них линейная комбинация волн равной амплитуды, распространяющихся в противоположных направлениях, может образовывать стоячую волну. (Такие стоячие волны не надо, конечно, путать со стационарными волнами из разд. 3.9.) Найти потенциал скорости стоячих волн на глубокой воде, если вертикальное смещение свободной поверхности принимает вид. [c.341]

Наличие гиперболического синуса в формуле (84) указывает на то, что периодическая волна с конечной амплитудой а < -< 0,054 1 на глубокой воде слабо неустойчива в том смысле, что чем дальше продвигается волна, тем резче выраженной становится ее медленная модуляция. [c.554]

Подчеркнем, что в отличие от обычного солитона КдВ скорость и амплитуда солитона огибающей являются независимыми параметрами. Экспериментально появление таких солитонов и их взаимодействие друг с другом исследовалось для волн на глубокой воде в работе [11]. [c.419]

Затухание гравитационных волн с длинами волн более метра мало, но оно все же значительно больше, чем это следует из линейной теории. Это расхождение, очевидно, вызвано процессами, связанными с нелинейностью при распространении гравитационных и капиллярных волн. Так, если одиночная волна распространяется на мелкой воде с фазовой скоростью J/ gh, то такая волна не обладает дисперсией. Ее профиль по мере распространения становится круче благодаря тому, что верхние частицы среды, для которых глубина h больше, чем для нижних частиц, будут двигаться с большей скоростью, согласно (6.7), и волна начнет захлестываться при подходе к берегу волна обрушивается на него. Эффект захлестывания усиливается еще и потому, что при уменьшении глубины h возрастает амплитуда волны по закону сохранения лотока энергии плотность энергии возрастает из-за уменьшения поперечного сечения слоя воды. С ростом же нелинейные эффекты проявляются еще сильнее. Процесс укручения волн лри их распространении происходит и на глубокой воде вследствие нелинейности уравнений движения. Теория нелинейных волн на ловерхности жидкости получила большое развитие в последнее время, хотя первые работы в этом направлении были сделаны еще в конце прошлого века. [c.27]

Бэкус [62] рассматривал влияние вращения Земли на распространение волн малой амплитуды на большие расстояния и показал, что оно различно для волн мелкой и глубокой воды. В частности, он установил, что для мелкой воды действие вращения имеет порядок й , а для глубокой воды — порядок [c.141]

Для периодических волн плотность лагранжиана 2 (т. е. лагранжиан в расчете на единицу площади горизонтальной проекции в случае волн на глубокой воде) является функцией волнового числа к и некоторым образом определенной амплитуды а. Однако частота со будет также известна, если мы знаем волновое число к и амплитуду а. Поэтому можно исключить а из этих двух соотношений и рассматривать 3 как функцию со и к, т. е. [c.48]

Для волн на глубокой воде кривая бесконечно малых амплитуд обращена выпуклостью вверх (фактически (к) равно У ). тогда как для конечных амплитуд величина со возрастает быстрее, чем Уё - В соответствии с этим кривая со = (к) обращена выпуклостью к точке (со, к) (и выражение (9) отрицательно) это согласуется с заключением Уизема в предыдущем докладе о том, что уравнения в этом случае эллиптичны. [c.50]

Как отмечалось выще, гравитационные волны на глубокой воде могут оказаться особенно полезными для сопоставления теории Уизема с экспериментом. Поэтому желательно определить для них возможно точнее вид плотности лагранжиана 2 (а, к) во всем диапазоне амплитуд, в котором существуют периодические волны. Эта работа была начата Лайтхиллом [5], в результате которой были найдены первые члены ряда (22), приведенные выще. [c.56]

Факторы, приводящие к неустойчивости, описаны в общих чертах в 2. Возмущение, способное извлекать энергию из основного волнового движения, состоит из пары синусоидальных волн, частоты и волновые числа которых отличаются от основной частоты и волнового числа на некоторую малую их долю. Нелинейные эффекты препятствуют ослаблению этих волн вследствие дисперсии, н они приходят в резонанс со второй гармоникой основного движения, вследствие чего их амплитуды совместно увеличиваются, причем увеличение происходит экспоненциально по времени и пройденному расстоянию. В 3 приведено подробное исследование устойчивости цугов волн на воде произвольной глубины Л и показано, что они неустойчивы, если основное волновое число к удовлетворяет условию кк > 1,363, и устойчивы в противном случае. Наконец, в 4 обсуждаются некоторые экспериментальные результаты относительно неустойчивости волн на глубокой воде н дается обзор некоторых возможных приложений этих идей к другим частным системам. [c.83]

В волнах на глубокой воде нет поступательного движения жидкости. В подповерхностном слое жидкости ее частицы совершают круговое движение с радиусом орбиты а, равным амплитуде волны (рис. 12.2.1). Высота волны Н от вершины гребня до основания равна ее удвоенной амплитуде (Я = 2а ). Угловая скорость движения частиц со измеряется в радианах в секунду. Изменение формы волновой поверхности таково, что наблюдается поступательное движение, хотя сама вода не перемещается в направлении распространения волны (слева направо). Это кажущееся перемещение есть результат наблюдения фаз смещения последовательно расположенных частиц жидкости как только одна частица в гребне опускается, другая занимает ее место, обеспечивая сохранение формы гребня и распространение волнового движения вперед. [c.116]

Заключение. В рамках теории мелкой воды исследованы распространение и нелинейное взаимодействие поверхностных двумерных волн малой амплитуды в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Неровность дна приводит к дисперсии волн. В отличие от волн на шельфе спектр волн в канале дискретный. При этом могут распространяться волны, амплитуды которых на мелкой части существенно превышают их амплитуды на глубокой части (захваченные волны). [c.143]

Будем теперь рассматривать движение волн в жидкости в том случае, когда уже больше нельзя будет пренебрегать вертикальным ускорением. Наиболее важный случай, который не был охвачен предшествующей теорией, есть движение волн на сравнительно глубокой воде, амплитуда которых, как мы увидим, очень быстро убывает с глубиной. Однако, как это будет выяснено, существует непрерывный переход к тем случаям, которые исследовались в предыдущей главе, если горизонтальное движение жидкости, начиная от поверхности вплоть до дна, будет в основном одинаковым. [c.454]

Для волн в глубокой воде (когда равновесная глубина много больше длины волны) амплитуда волны экспоненциально падает с глубиной и уменьшается в е=2,718 раз при увеличении глубины на к 2к. Величина называется приведенной длиной волны. В грубом приближении можно сказать, что волны в глубокой воде представляют собой нечто похожее на волны в. мелкой воде для глубин от поверхности до эффективной глубины так как на таких глубинах амплитуда относительно велика и, грубо говоря, постоянна. Однако для глубин, значительно больших амплитуда очень мала. Таким образом, мы предполагаем, что дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде может быть получено из дисперсионного соотношения для волн в мелкой воде заменой равновесной глубины /г на длину "к среднего ослабления амплитуды. Как мы покажем в главе 7, это предположение справедливо. Таким образом, дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде имеет вид kv=Y gx. [c.102]

Глубина проникновения для амплитуды (расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз) равна приведенной длине волны. Поэтому амплитуда колебаний частицы воды, находящейся в состоянии равновесия под водой на глубине одной длины волны от поверхности, меньше амплитуды колебаний частицы на поверхности в ехр (—2л) 1/500 раз. Мы видим, что колебания почти полностью затухают на глубине порядка одной длины волны. На такой глубине движение будет пренебрежимо мало, и мы можем считать, что имеем дело с волнами в глубокой воде. [c.315]

В качестве следующей была рассмотрена задача о распространении периодических волн больпюй амплитуды на глубокой воде воде (Frank, 1995 Ь). Для этой задачи существует ре-Рис. 10 шение (S hwartz 1974), суще- [c.168]

Рис. 113. Периодические гравитационные волны большой амплитуды на глубокой воде. Сплошные линии — значения скорости волны с, энергии волны и ее кинетической и потеш] иальнай составляюш их и ]Ур для волн длины 2я/А и меняюш ейся амплитуды а (определенной по формуле (49)). Штриховая линия — см. ниже соотношение (76).

Был проведен ряд более сложных расчетов, связанных со слабой неустойчивостью волн умеренной амплитуды на глубокой воде. Когда глубина модуляции увеличивалась настолько, что коэффициенты в уравнении (80) менялись существенным образом, эти расчеты указывали на измененную форму модуляции. Грубо говоря, гребни тех волн, амплитуда которых максимальна, движутся вперед быстрее остальных, что уменьшает длину волны перед фронтом амплитудного пика и увеличивает ее за ним. Тогда энергия переносится вперед быстрее за фронтом и медленнее перед ним, что приводит к сильно локализованному усилению амплитудного пика. За конечное время он приобретает заостренную форму, и тогда предположения теории (о плавно меняющейся амплитуде) нарушаются. На практике это ограничивает рост амплитудного пика ряд расче- [c.555]

Если амплитуды малы и используются лишь несколько фурье-компонент, то нелинейные взаимодействия между компонентами можно изучать непосредственно. Это дает возможность иного подхода к некоторым из предыдущих результатов. Именно таким подходом Бенджамен [1] обнаружил неустойчивость типа (15.40) для волн Стокса на глубокой воде. Подробное исследова1ше этой неустойчивости, основанное как на модуляциях, так и на взаимодействиях, будет проведено в 16.11. Здесь для демонстрации самого метода мы применим рассуждения Бенджамена к уравнению Клейна — Гордона, где выкладки проще. [c.507]

В остальных методах, которые будут обсуждаться, не используется приближение геометрической оптики, но делаются другие предположения в частности, обычно предполагают, что амплитуды остаются ограниченными, а в некоторых случаях считают, что отклонения от начального состояния остаются малыми. Именно на этой последней гипотезе основана теория, позволившая Бенджамену получить совершенно сенсационный результат, всесторонне подтвержденный опытами Фенра и состоящий в том, что периодические волны Стокса на глубокой воде, доказательству существования которых так много математиков посвятили [c.9]

Волновое число стационарных волн (/, т) на глубокой воде, движущейся со скоростью (и, 0), представляется точкой, лежащей между сплошной линией (отвечающей волнам бесконечно-малой амплитуды) и штриховой линией (отвечающей волнам максиыа1ьной амплитуды). [c.55]

Определяющим свойством рассматриваемого здесь класса физических систем является то, что вследствие установления равновесия между нелинейными и частотно-дисперсионными эффектами в таких системах могут распространяться периодические волны постоянной формы с конечной амплитудой. Поэтому для любой такой системы динамические уравнения, описывающие распространение относительно невозмущенного состояния в направлении оси X, имеют точные периодические решения, скажем, вида т] (д , <) =Н х — с1), где с — постоянная фазовая скорость, зависящая как от амплитуды волн, так и от их частоты или длины. В этой статье рассматривается тот факт, что во многих случаях эти однородные цуги волн неустойчивы по отношению к малым возмущеаням определенного рода, так что на практике при попытке вызвать их распространение на большие расстояния они будут распадаться. Замечательным недавно обнаруженным примером является неустойчивость гравитационных волн конечной амплитуды на глубокой воде в настоящее время имеются несомненные экспериментальные доказательства этого свойства, которое было обнаружено также и аналитически. [c.83]

Лайтхилл [5, 6] детально исследовал приложение этой теории к волнам умеренной амплитуды на глубокой воде (когда определенные псевдочастоты отсутствуют) в частности, он рассмотрел следующие эффекты дисперсии в группе волн конечной амплитуды (1) большое размазывание по частотам и (2) существенное изменение амплитуды при почти постоянных волновых числах. В его второй работе получена полиномиальная аппроксимация среднего лагранжиана для глубокой воды, справедливая при всех амплитудах. Уизем [9] рассмотрел одномерное распространение волн конечной амплитуды для случая конечной глубины. Оба автора сообщают о хорошем согласовании их аналитических результатов с аналитическими и экспериментальными результатами Бенджамена и Фейра [1], получен- [c.195]

Пусть 2 (х, оз) обозначает средний лагранжиан на единицу площади горизонтальной поверхности для волн конечной амплитуды на глубокой воде, причем х = (/, т) — волновой вектор, со—частота изменения во времени. Система предполагается не-дкссипативной, поскольку в почти однородном цуге волн градиенты скорости представляют собой плавно изменяющиеся функции точки, так что эффектом вязкости Л10жн0 пренебречь. Для этого случая Лайтхилл [5] нашел явное выражение [c.218]

ВОЛНЫ ИОНИЗАЦИИ — см. Ионизационные еолны. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ — волновые движения жидкости, существование к-рых связано с изменением формы её границы. Наиб, важный пример — волны на свободной поверхности водоёма (океана, моря, озера и др.), формирующиеся благодаря действию сил тяжести и поверхностного натяжения. Если к.-л. внеш. воздействие (брошенный камень, движение судна, порыв ветра и т. п.) нарушает равновесие жидкости, то указанные силы, стремясь восстановить равновесие, создают движения, передаваемые от одних частиц жидкости к другим, порождая волны. При этом волновые движения охватывают, строго говоря, всю толщу воды, но если глубина водоёма велика по сравнению с длиной волны, то эти движения сосредоточены гл. обр. в приповерхностном слое, практически не достигая дна (короткие волны, или волны на глубокой воде). Простейший вид таких волн — плоская синусоидальная волна, в к-рой поверхность жидкости синусоидально гофрирована в одном направлении, а все возмущения физ. величин, напр, вертик. смещения частиц (z, X, t), имеют вид 1=А z) os (i>t—kz), где х — горизонтальная, Z — вертикальная координаты, ы — угл. частота, к — волновое число, Л — амплитуда колебаний частиц, зависящая от глубины г. Решение ур-ний гидродинамики несжимаемой жидкости вместе с граничными условиями (ноет, давление на поверхности и [c.332]

Перечисленными свойствами обладают только волны достаточно малой амплитуды (много люньшей как длины волны, так и глубины водоёма). Интенсипные нелинейные волны имеют существенно несинусоидальную форму, зависящую от амплитуды. Характер нелинейного процесса зависит от соотношения между длиной волны и глубиной водоёма. Короткие гравитац. волны на глубокой воде приобретают заострённые вершины, к-рые при определ. критич. значении их высоты обрушиваются с образованием капиллярной ряби или пенных барашков . Волны умеренной амплитуды могут иметь стационарную форму, не изменяющуюся при распространении. Согласно теории Герстнера, в нелинейной стационарно волне частицы по-прежнему движутся по окружности, поверхность же имеет форму трохоиды, к-рая при малой амплитуде совпадает с синусоидой, а при нек-рой макс. критич. амплитуде, равной Х/2л, превращается в циклоиду, имеющую на вершинах острия . Волее близкие к данным наблюдении результаты даёт теория Стокса, согласно к роя частицы в стационарной нелинейной волне движутся по незамкнутым траекториям, т. е. дрейфуют в направлении распространения волны, причём при критич. значении амплитуды (несколько меньше.м к/2л) на вершине волны появляется не остриё , а излом с углом 120 [c.332]

В каждой фиксированной точке, совсем как для волн на глубокой воде, колебания составляющих скорости (41) и (42) отличаются по фазе на 90° колебания горизонтальной составляющей д( дх отстают на 90° от колебаний вертикальной составляющей 5ф/ 2 (что выражается множителем — )- В линейной теории те же выражения (41) и (42) записываются для составляющих скорости жидкой частицы, которая может колебаться с малой амплитудой около этой точки. Из этого мы можем, как и в разд.3.2, заключить, что если бы обе амплитуды скорости были равны АФо сЬ [к (г + К)], то частица должна была бы описывать окружность радиуса со АФо сЬ [к (2 + к). Однако действительное движение частицы с уменьшенной в [к (2 + /1)] раз амплитудой вертикальной составляющей скорости происходит по круговой треактории, сжатой в вертикальном направлении в такое же число раз, т. е. по эллипсу с большой и малой полуосями [c.272]

Рис. 114. Волновые профили п иодической гравитационной волны с амплитудой а на глубокой воде. В используемом масштаб все вертикальные размеры увеличены по сравнению с горизон- , тальньти в 2 раза. Штриховой линией отмечена плоск ость симметрии на йаждом гребне, a — невозмущенная поверхность

Работа Бен-Менахена и Розенмана [74] представляет собой очень существенный вклад в проблему связи между сейсмическими и цунамигенными признаками источника. Используемая ими методика существенно отличается от той, которая была рассмотрена ранее в этом разделе. Действительно, для одних и тех же землетрясений их методика дает меньшие размеры цунамигенных районов, чем методика других авторов, которые использовали данные о волнах Рэлея и Лява в мантии для определения параметров очагов при некоторых землетрясениях на Курильских островах и землетрясении на о. Рэт 4/П 1965 г. Они получили выражение, связывающее амплитуду цунами на глубокой воде с параметрами сейсмического источника и топографией дна на пути распространения волн. Они использовали также решение Кранца—Келлера. [c.79]

Отсюда получается ( 5), что, когда волнопродуктор создает на глубокой воде слабо модулированный цуг волн постоянной частоты, логарифмическая скорость нарастания модуляции с расстоянием от волнопродуктора (пропорциональная амплитуде для волн умеренной амплитуды, см. ниже статью Бенджамена) достигает максимума для волн примерно вполовину максимальной высоты, а затем падает до нуля причем теория не предсказывает нарастания модуляции в случае волн, превосходящих три четверти максимальной высоты. Указанные волны обнаруживают вместо этого расщепление групповой скорости по Уизему (см. рис. 2). Такое видоизменение теории улучшает согласие с экспериментом для случая Бенджамена и Фейра (см. рис. 3), причем остающиеся расхождения вполне можно объяснить влиянием диссипации. Однако для больших значений амплитуд нужны дополнительные эксперименты. [c.43]

Таким образом, теория Бенджамена требует выполнения условий (1) и (2), но не (3). Теория, требующая выполнения.условий (2) и (3), но не (1), будет дана в 9. Там же приводится теория, требующая выполнения условий (1) и (3), но не (2) кроме того, дается сопоставление теории с экспериментами Бенджамена и Фейра, включая и те эксперименты, которые проводились при больших начальных амплитудах. Точнее говоря, при помощи выражения лагранжиана из 4 для произвольных амплитуд мы рассчитаем развитие медленных слабых модуляций цуга гравитационных волн на глубокой воде на продолже НИИ периода, пока модуляции остаются слабыми. [c.59]

Для периодических волн постоянного направления на глубокой воде с частотой (йо и волновым числом ка. слегка модулированных частотой а < (О,,, логарифмическая скорость Р нарастания глубины модуляции с расстоянием и скорость Со распростраиеиия максимумов амплитуды представлены в функции от Н1 (расстояние по вертикали между гребнем и впадииой волиы, деленное иа длину волны). При Н1 > 0,108 имеем Р = 0. но скорость распространения расщепляется на две (г, и Сг). [c.60]

В других докладах на настоящей дискуссии демонстрируется, что основная неустойчивость гравитационных волн с длинными гребнями на глубокой воде пропадает, когда глубина модуляции уменьшается ниже определенного значег- ия (Уизем) или когда частота модуляции превосходит определенное значение (Бенджамен). В настоящем параграфе в дополнение к этим результатам показывается, что появляется третья граница неустойчивости, когда амплитуда превосходит определенное значение ). [c.61]

Практически этот факт был продемонстрирован в опытах, описываемых Бенджаменом и Фейром [2]. На одном конце длинного лотка создавались цуги волн на глубокой воде достаточно большой амплитуды (однако значительно меньшей, чем та, при которой появляются барашки), а затем наблюдалось их распространение на расстояния, составляющие много длин волн. Было замечено, что если такой цуг волн распространяется достаточно далеко, то в нем обнаруживаются значительные нерегулярности, даже если вблизи волнопродуктора отклонения от периодичности были едва заметны. И, наконец, на больших расстояниях от места возникновения цуг волн может полностью разрушиться, а его энергия соответственно перераспределяется по широкому спектру. Начальная фаза этих явлений, на протяжении которой нерегулярности увеличиваются, но все еще остаются достаточно Малыми, поддается анализу и более или менее полно изучена. Далее будут приведены примеры того, как согласуются теоретические и экспериментальные результаты. [c.85]

Для волн на глубокой воде экспериментальные результаты Бенджамена и Фейра достаточно хорошо согласуются с предсказаниями теории, не оставляя сомнения в правильности, по существу, описания процесса нарушения устойчивости. Как уже отмечалось, в большинстве опытов дискретные боковые гармоники, имеющие заданное отклонение по частоте б, создавались одновременно с основным цугом волн путем простого наложения слабой модуляции на возвратно-поступательное движение волнопродуктора. Их начальные амплитуды были примерно одинаковы и очень малы, хотя и достаточно велики для ясного различения возмущений над уровнем помех в системе. [c.100]

Огромные количества энергии можно получить от морских волн. Мощность, переносимая волнами на глубокой воде, пропорциональна квадрату их амплитуды и периоду. Поэтому наибольший интерес представляют длинно периодные (Г 10 с) волны большой амплитуды (<я 2 м), позволяющие снимать с единицы длины гребня в среднем от 50 до 70 кВт/м. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...