О функциях гармонических и бигармонических

О функциях гармонических и бигармонических [c.250]

Известное решение О. Лява для случая аксиальной симметрии (вокруг оси 2) следует из (1.2), если принять % (г, г), Сх = О, Су = 0. Более общее представление решения в цилиндрических координатах (через гармоническую и бигармоническую функции) дано С. Г. Гутманом (1948). [c.8]

Предварительно необходимо рассмотреть следующий вопрос, имеющий, вообще говоря, общий интерес. В 6 гл. I отмечалась теорема о среднем для гармонических функций. Опираясь на нее, установим аналогичную теорему для бигармонических функций [71]. Пусть и(р)—некоторая бигармоническая функция. Тогда функция Аи(р)—гармоническая и для любой внутренней точки ее области определения справедлива последовательность равенств [c.262]

Последнее сразу же следует из (1.3.3), но надо заметить, что три бигармонические функции и, v, w не независимы действительно, по (1.3.8) вектор и представим (при /С = 0) через четыре гармонические функции — гармонический вектор а и гармонический скаляр О [c.127]

Прежде всего заметим, что всякая гармоническая функция <р (х, у, z) есть решение бигармонического уравнения, так как она удовлетворяет уравнению V tp = О, а потому и подавно удовлетворяет уравнению (9.40) V V p = V O = 0. Таким образом, устанавливаем, что [c.255]

Если функция ф опять является не только бигармонической, но и гармонической, то, используя соотношения ф = — V ij>/(1 — v) = = О и d Jda + = О, можно свести это решение к виду [c.348]

Метод основан на постулате о том, что член у Ф должен быть гармоническим (см. гл. III, раздел 2), так как V (У Ф) = 0. Поэтому ответ необходимо искать в виде решения Лапласа для У Ф. Бигармоническому уравнению может удовлетворять функция Ф, выраженная через две гармонические функции / и g, т. е. у2/ = О, = О, соотношением типа [c.70]

В плоской задаче, для которой ю = О, и = и х, у) и и = V х, у), решение упрощается. Искомые функции могут быть выражены только тремя гармоническими функциями (грз = 0). Вместо трех разрешающих бигармонических функций остаются две (Од = 0). [c.52]

Рассматривается задача ш = О, и = и (г, в), V = и (г, 0). В этом случае число гармонических функций (114) уменьшается до трех (т1з = 0), а бигармонических (117) до двух (сод = 0). [c.53]

Если функция ф удовлетворяет уравнению = О, т. е. если функция q> является как. гармонической, так и бигармонической, то выражения (ЗЛба) и (3.166) совпадают с (3.126) и (3.12в) и являются точными решениями. В этом случае соотношение о + 0 = 0 имеет место также и для других решений (3.15а) и (3.156), (3.15в) и (3.15г) и аналогичных им Для плоского напряженного состояния, и таким образом все эти решения являются, точными решениями трехмерной задачи теории упругости. / [c.150]

При решении многих плоских задач удобно принимать гармонические функции fi хх, Хг) в выражениях (9.85) в форме однородцых гармонических полиномов, определяемых вещественной Re и мнимой Im частями функции о = 2 - комплексного переменного г — Xi + ix . В этом случае представления (9.85) бигармонической функции Ф принимают вид [c.240]

Решения, содержащие гармонические функции. Если, например, в выражениях (5.19) положить = О и, кроме того, взять V2(t + bJ = —(2/v) (a j у), где V ij) = О, с тем чтобы были удовлетворены уравнения (5.18а), то получим приведенные выше точные решения (3.126) и (3.12в) для плоского напряй енного состояния. Новое решение можно ползгчить, положив в выражениях (5.19) = Ьг = = О, tz — = = — 2/[3(1 — v)] J i )dx, где = 0. Полагая функцию if гармонической, удовлетворим уравнениям (5.18а) (хотя эти уравнения будут удовлетворены и в том случае, если положить функцию ij) бигармонической, что приведет к более общему решению, показанному ниже). С учетом соотношения = О [c.345]

До сих пор обсуждались только точные решения задачи о пластинах со свободными от нагрузки поверхностями. Близкие по характеру решения (3.126), (3.12в) и (5.62) для мембранного случая, а также (5.61) и (5.63) для случая изгиба имеют несколько ограниченнзто область примёнения, поскольку они основаны на использовании гармонических функций. Эти функции (а они являются более простыми, а поэтому и более удобными для использования, если только можно ими ограничиться) содержатся и в более общих решениях (5.64) и (5.65), которые основаны на использовании бигармонических функций. [c.349]

Вместе с тем при изучении стоксовского течения в угловой области обнаружена бесконечная система вихрей. Функция тока / стоксовского течения подчиняется би-гармоническому уравнению. Его решение при / = О и нулевой нормальной производной от / на границах угловой области получено в [4, 5]. В [5] доказана полнота найденной системы функций в частном случае параллельных стенок. Там же содержится утверждение о полноте и в угловой области. Подробное рассмотрение структуры стоксовских течений в угловых областях проведено в [6]. Авторы работ [7, 8] независимо от [5] вьшели условия сходимости рядов по упомянутым функциям при решении одной краевой задачи для бигармонического уравнения в полуполосе. В приведенном в [8] приближенном решении задачи о течении в прямоугольной каверне показаны возникающие в углах области вторичные вихри. В [9] вихревые системы в угловых областях получены как частный случай решения более общей задачи. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...