Эллипсоидальные гармонические функции

Эллипсоидальная гармоническая функция [47], точное решение при а > Ь. [c.785]

Ход вычислений при этом получается следующий. В предположении, что Сесть эллипсоидальная поверхностная гармоническая функция, относящаяся к поверхности (9), вычисляется значение Q на поверхности и подставляется в уравнение (11). Получающееся поверхностное значение у> выражается затем через эллипсоидальные функции, относящиеся к вспомогательной поверхности (10) соответствующее выражение функции у) для внутренних точек может быть тогда записано в пространственных эллипсоидальных гармонических функциях. Условие (12) дает затем уравнение для определения а, и при этом оказывается, что это уравнение всегда алгебраическое. [c.905]

Приравнивая это выражение нулю, получаем уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах. Функции, являющиеся решениями этого уравнения, называются эллипсоидальными гармоническими функциями- [c.478]

Эллипсоидальные гармонические функции. Пользуясь обозначениями п. 16.50, можно записать уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах в форме [c.479]

Итак, если а — эллипсоидальная гармоническая функция, имеющая указанные выше свойства, то эллипсоидальными гармоническими функциями будут также и функции [c.479]

Таким образом, в соответствии с первой функцией (5) можно получить следующие эллипсоидальные гармонические функции [c.480]

Вплоть до этого момента исследования не выходили за рамки вопроса о существовании возможных форм равновесия. Так продолжалось до тех пор, пока Пуанкаре в 1885 г. не осветил эту проблему в своей работе, ставшей впоследствии знаменитой. В ней он создал метод для изучения трудной проблемы об устойчивости сфероидальных и эллипсоидальных фигур, который, кроме того, включал в себя и гораздо большее отыскание и изучение других форм равновесия. Без сомнения, тщательное изучение этих вопросов могло быть выполнено только с помощью математического аппарата эллипсоидальных гармонических функций, который к тому времени, когда Пуанкаре начал свою работу, был уже детально разработан Ламэ и другими . [c.15]

Существование грушевидной фигуры именно и было установлено тогда, когда с помощью метода эллипсоидальных гармонических функций удалось учесть необходимое для этого число степеней свободы. Что-то подобное, хотя и не совсем ясно, высказывали ещё Кельвин и Дарвин. [c.27]

Но деформация, через которую впервые проявляется неустойчивость, обнаруживается только тогда, когда смещение анализируется в общем виде с применением эллипсоидальных гармонических функций. [c.85]

Если = О, многочлен У х, у, г) называется многочленом Ламэ или эллипсоидальной гармонической функцией, и для каждого тина функций Ламэ существует отдельный вид эллипсоидальной гармонической функции. [c.92]

Если р = 0 L = D(1 + т ) = т = + Л, опуская постоянные множители. Тогда функция LMN сводится к с + Л)(с + /х), что соответствует эллипсоидальной гармонической функции г. [c.110]

Альтернативный метод построения эллипсоидальных гармонических функций [c.120]

Следовательно, существуют две эллипсоидальные гармонические функции данного типа, соответствующие этим двум разным возможным значениям А. [c.121]

Эти нелинейные уравнения в общем случае будут иметь несколько различных решений, каждому из которых будет соответствовать эллипсоидальная гармоническая функция предполагаемой формы. [c.122]

Линейная независимость 2п + 1 эллипсоидальных гармонических функций данного порядка п [c.128]

Но — одна из трёх эллипсоидальных гармонических функций первого порядка, и на поверхности эллипсоида [c.146]

Необходимо отметить, что при а = Ъ, когда общее число эллипсоидальных гармонических функций порядка п всё ещё (как и в общем случае) равно 2гг -Ь 1, существует только п + 1 разных функций Ь (и функций М). Однако каждой из них соответствует по две разных функции N, а именно, совр р и ятр р, кроме случая р = О, когда существует только одна функция, а именно, N = 1. Это и составляет все 2гг + 1 гармонических функций, но (в задаче есть) только п + 1 разных [c.147]

Найти такое решение ф уравнения Пуанкаре, определённое внутри эллипсоида и на его поверхности, чтобы на поверхности эллипсоида ф и П ф) имели постоянные в их разложении по эллипсоидальным гармоническим функциям соответственно в виде [c.190]

Напряжённое состояние в упругой среде можно представить как сумму двух напряжённых состояний вышеуказанного однородного напряжённого состояния, определяемого заданием напряжений на бесконечности, и добавочного напряжённого состояния, разыскиваемого с помощью введённых гармонических функций. На поверхности эллипсоидальной полости внешние силы отсутствуют поэтому вектор на- [c.372]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Решение строится с помощью формул Папковича и Нейбера в эллипсоидальных координатах (9.55) при применении основных сфероидальных гармонических функций. Результаты при этом представляются в виде громоздких формул и получены лишь в численном виде. [c.296]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

В соответствии с теорией линейного ряда конфигураций равновесия, появление точки бифуркации па последовательности эллипсоидов указывает на то, что в этой точке его пересекает другой линейный ряд. Пока свободная поверхность жидкой массы ограничена эллипсоидальной формой, т. е. пока 4 зависит только от гармонических функций [c.176]

Изложение теории эллипсоидального гармонического анализа и ссылки на ранние работы по функциям Ламэ можно найти [c.234]

Расположение пулей некоторых функций Ламэ данного типа можно определить ещё более точно, чем уже было сделано ранее. Это необходимо в связи с вопросом об устойчивости эллипсоидов Якоби. С этой целью мы докажем, следуя Стилтьесу, важную теорему. Однако вначале рассмотрим метод прямого построения эллипсоидальных гармонических функций в прямоугольных координатах. [c.120]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Итак, можно сде.пать вывод, что сфероид Макпорепа об.падает вековой, а следовательно, и обыкновенной устойчивостью при всех деформациях (которые могут быть представлены разложениями эллипсоидальных поверхностных гармонических функций), если его эксцентриситет меридионального сечения меньше, чем у сфероида бифуркации, т. е. при е < 0,8127. При значениях, превышающих данное, этот сфероид обладает вековой неустойчивостью. [c.162]

Вопрос о его обыкновенной устойчивости, который, конечно, нельзя разрешить данным путём, был изучен Картаном ( artan), показавшим, что сфероидальная форма остаётся обыкновенным образом устойчивой нри всех возможных малых колебаниях (которые могут быть представлены эллипсоидальными поверхностными гармоническими функциями) при условии, что эксцентриситет сечения сфероида меньше, чем 0,9529. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...