Гармонические функции других типов

Гармонические функции других типов [c.123]

Можно показать, что две произвольные поверхностные сферические функции различного порядка, которые являются конечными на единичной сфере, ортогональны друг к другу, а также и то, что 2п + 1 гармонических функций произвольного порядка п зонального, тессерального и секториального типа, определенные в 85, 86, все взаимно ортогональны. В дальнейшем мы увидим, что свойство [c.146]

Если сила не является гармонической функцией времени, то типы колебаний в различных частях системы вообще отличаются и друг от друга и от типа колебания силы. Гармонические функции являются, таким образом, единственными, которые сохраняют свой тип неизменным, что и служит, как было отмечено во введении, сильным доводом в пользу предположения, что они соответствуют простым тонам. [c.171]

Другой важной особенностью излучения, полученного с помощью электронного генератора, является его когерентность. В классической теории электромагнитного поля это выражается очень просто каждая компонента электромагнитного поля представляет собой гармоническую функцию времени со строго определенной фазой. На квантовом языке строго определенная фаза поля означает неопределенность полного числа фотонов, так как, согласно квантовой теории излучения между фазой ф компоненты электромагнитного поля и числом п фотонов этой частоты (для данного типа колебаний), существует соотношение неопределенностей Д Аф — 1. В радиоспектроскопии, где п очень большое число, возможно определить одновременно с большой точностью число фотонов, а следовательно, амплитуду и фазу радиочастотного поля, не вступая в противоречие с соотношением неопределенностей. [c.13]

При гармоническом возмущении в линейных системах с одной степенью свободы имеется только один резонанс, для которого частота возмущения приближенно или точно равна собственной частоте осциллятора. В нелинейных системах, наоборот, возможны многочисленные другие типы резонанса. Покажем это на примере недемпфированного осциллятора, причем возьмем довольно общий случай, когда возмущающая функция состоит из двух гармоник [c.245]

В соответствии с изложенным в конце раздела Зв, любая собственная функция многоатомной молекулы (безразлично, электронная, колебательная, вращательная или полная) должна принадлежать к одному из типов симметрии той или другой точечной группы, рассмотренных выше. Следовательно, колебательные собственные функции тех состояний, в которых возбуждены один или несколько квантов для нормальных колебаний различного типа симметрии, также должны принадлежать к одному из возможных типов симметрии. Это утверждение справедливо независимо от того, можно ли рассматривать колебания как строго гармонические или нет (см. также раздел 5). Поэтому возникает вопрос, к какому результирующему типу симметрии относится состояние, в котором возбуждается несколько нормальных колебаний или же возбуждается несколько квантов для одного или нескольких колебаний [c.139]

Другой интересной модификацией волн Лява являются поперечные (сдвиговые) волны в полупространстве со свободной границей гребенчатого профиля [20] (периодическая система канавок прямоугольной формы, пропиленных на поверхности твердого тела перпендикулярно направлению распространения волны). В зтом случае поверхностный слой полупространства как бы размягчается и имеет меньшие эффективные модули упругости по сравнению с остальной толщей полупространства. Таким образом, получается эквивалент замедляющего слоя для волн Лява. Вдоль такой границы мон<ет распространяться замедленная поперечная поверхностная волна. Однако граничные условия на такой (сложной формы) поверхности приводят к тому, что эта волна не может быть гармонической в пространстве, а имеет слон<ную пространственную структуру (типа структуры блоховских функций для движения электрона в периодическом поле кристаллической решетки). Благодаря этому данное волновое образование имеет очень сильную дисперсию фазовой и групповой скоростей. [c.30]

При решении задачи оптимизации направленного ФК использовались способы анализа и параметризации функции коэффициента связи такие же, как и в предыдущей задаче. Характерной особенностью направленных ФГ, функция коэффициента связи которого обращается в О на концах области связи, является полубесконечный рабочий интервал частот, т. е. ФГ на основе НЛП позволяет заградить все высшие гармонические составляющие сигнала, поступающего на его вход, начиная со второй гармоники. Интересным свойством ФГ является также наличие для значений Со< <20 дБ двух оптимальных решений К(г), соответствующих локальному и глобальному минимумам минимаксной оптимизационной задачи [279, 291]. На рис. 10.14 показаны функции коэффициента связи и переходного ослабления направленных ФГ для двух типов решений задачи оптимизации. Решения получены для п=5 Со Ш Сз=30. Характерно наличие провала в центре функции коэффициента связи направленного ФГ, соответствующего локально оптимальному решению задачи оптимизации (кривые 2). С увеличением Со оба решения для К (г) сближаются. Для значений Со, больших некоторого критического, они сливаются в одно. Отмеченное свойство направленных ФГ имеет место и при использовании других способов параметризации функции коэффициента связи [291], отличных от способа параметризации с помощью сплайн-функций. Поэтому можно считать, что его наличие не связано с конкретным выбором способа параметризации. Отмеченное свойство ФГ на НЛП может использоваться для разработки направленных ФГ с малыми значениями переходного ослабления в полосе пропускания. Результаты оптимизации направленных ФГ с решениями, отвечающими глобальному оптимуму, даны в [25]. [c.257]

Так как бигармоническая функция ф может быть выражена через две гармонические функции ijji и aiiz, скажем как ф = + + фз, полная функция a i 3 в действительности также представляет собой бигармоническую функцию т. е. исходная бигармоническая функция.в действительности выражается в виде суммы некоторой Ангармонической функции a i 3i и гармонической функции -фг- Если сказанное проделать для каждого из трех решений 12, 13 и 14, то три бигармонических решения типа a T 3i (включая три независимые гармонические функции) будут, очевидно, независимыми друг от друга, тогда как гармонически е решения типа ijja, по-видимому, не являются независимыми и содержат только одну независимую гармоническую функцию. Таким образом, полное решение содержит только четыре линейно независимые гармонические функции, те же самые, что и в решении Папковича. [c.128]

Другой тип неоднородности представляют собой грунты, коэффициент фильтрации которых К изменяется в области фильтрации непрерывно. Для этого типа неоднородности удалось построить решения ряда задач в различных частных предположениях о характере функции К х, у). Например, были рассмотрены задачи для случая, когда У К (х, у) является гармонической функцией (Г. С. Салехов, Г. Г. Тумашев, И. А. Чарный и др.). [c.612]

Теория колебаний проливает яркий свет на разложения произвольных функций в ряды других функций специальных типов. Наиболее известным примером таких разложений является разложение, называемое обычно разложением Фурье, где произвольная периодическая функция разлагается в ряд гармонических функций, причем период заданной функции кратен периодам последних. Хорошо известно, что трудность этого вопроса заключается в доказательстве возможности разтожения если предположить, что она существует, то само определение коэффициентов являетсч [c.140]

Существуют основания для сомнений в пригодности использования случайных функций в качестве входных сигналов. Если бы человек отвечал как линейная динамическая система на сигналы в виде ступенчатой и гармонической функции, то измерение характеристик его реакций значительно упростилось бы. Частотную характеристику можно было бы измерять простым сравнением амплитуды и фазы выходной и входной синусоид на одной частоте, а реакция на ступенчатую функцию сама по себе содержала бы полное описание динамических характеристик. К сожалению, хотя некоторые несложные эксперименты (типа экспериментов Эллсона и Уилера) на первый взгляд подтверждают возможность использования линейной модели, другие простые эксперименты ясно показывают, что человек-оператор представляет собой нелинейное звено в том случае, если входной сигнал не случаен, т. е. когда он имеет предсказуемую форму типа ступеньки или синусоиды. Например, рассмотрим типичные реакции человека на ступенчатый сигнал, показанные на рис. 9.6. В то время, как кривая а представляется типичной реакцией системы второго порядка с малым демпфированием (не считая большой временной задержки до момента появления выходного сигнала), кривая Ь непохожа на реакцию ни одной линейной системы, хотя такие реакции часто встречаются в экспериментах с отслеживанием человеком ступенчатых сигналов. Время от времени, когда испытуемый ожидает появления на входе ступенчатого сигнала, он начинает реагировать в неправильном направлении, а затем исправляется (кривая с). Кривая й представляет реакцию, которая часто встре- [c.171]

Для электромагнитов типа изображенною на рис. I пондеромоторпые силы в (53) не зависят от перемещения х. Но в других системах эти силы будут функциями координат, и уравнения, аналогичные (53), оказываются нелинейными. В ряде случаев для определения их периодических решений можно использовать методы гармонического баланса, гармонической линеаризации и т. п. [c.344]

Возможны также решения, отличные от приведенных в таблице 3.1 типов, которые могут оказаться удобными для частных случаев. Например, можно получить решения, содержащие так называемые обобщенные гармонические или обобщенные бигармо-нические функции ф и ф, определяемые соответственно соотношениями <ф = /(х, у, z) или V

бигармонические функции, когда функция / равна нулю, плюс другие функции, когда / не равна нулю. Для примера можно проверить, что если у) является функцией X и у, удовлетворяющей уравнению [c.129]

Мы уже подчеркивали, что тип симметрии колебательных уровней одинаков как для гармонических, так и для ангармонических колебаний так, например состояние, соответствующее возбуждению дважды вырожденного колебания с г)=1, остается дважды вырожденным даже в том случае, если потенциальная функция является ангармонической. В случае гармонического осциллятора степень вырождения состояния, возникающего при возбуждении нескольких квантов одного вырожденного колебания, а также состояния, возникающего при возбуждении нескольких вырожденных колебаний, более высока, чем степень вырождения любой составляющей колебания с другой стороны, если принять во внимание ангармоничность, то столь высокое вырождение, как правило, не сохраняется, а вместо этого наблюдается расщепление уровней как раз на те подуровни, которые были получены раньше с помощью теории групп (табл. 32 и 33). Причины этого явления подробно разобраны в работе Тисса [867], показавшего, что случайное вырождение, появляющееся в некотором приближении, всегда снимается в более высоком приближении и остается, только истинное вырождение, определяемое точечной группой молекулы. Это совершенно справедливо лишь до тех пор, пока мы не учитываем вращемия молекулы (о взаимодействии с вращением см. гл. IV). [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...