Функция гармоническая и двойного слоя

Для изучения гармонических функций используются три специальных класса функций так называемые потенциалы простого слоя (о котором уже говорилось), двойного слоя и объемный потенциал. [c.92]

Изложим ряд свойств этих потенциалов (см., например, [11, 54)), объясняющих их роль в теории гармонических функций. Остановимся сначала на свойствах потенциалов простого слоя и двойного слоев. Очевидно, если плотности суммируемы на 5, то потенциалы представляют собой функции, гармонические внутри и вне поверхности. Если для внутренней области (обозначаемой через /)+) доказательство состоит лишь в вычислении всех вторых производных по координатам точки р, то для внешней области (обозначаемой через 0 ) требуется еще проверить неравенство (6.20). Действительно, имеем [c.92]

Позаботимся прежде всего о том, чтобы получить требуемую многозначность. Гармоническая функция, претерпевающая заданный разрыв при переходе через поверхность S, натянутую на контур Г, известна это интеграл Гаусса или потенциал двойного слоя постоянной интенсивности, нанесенного на поверхность, [c.457]

Здесь р, М) — некоторая интегрируемая функция точек поверхности 2. Функция ф, определяемая формулой (12.8),— гармоническая функция вне 2. Потенциал (12.8) называется потенциалом двойного слоя. [c.160]

Функция Грина. Гармоническая функция как сумма потенциалов простого и двойного слоя [c.166]

Любую гармоническую функцию можно представить в виде потенциалов простого и двойного слоя. Действительно, по второй формуле Грина [c.176]

Источники и вихревые кольца. Согласно известному классическому результату [42, стр. 219] любая гармоническая функция может рассматриваться как потенциал соответствующего распределения источников и диполей (простого и двойного слоя) на границе течения и даже [42, гл. XI] любого из них в отдельности. Хорошо известны также представления плоских и осесимметричных течений посредством вихревых слоев. [c.292]

Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0 последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (11.176) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации 8). Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал А — определен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме 5, где дА/дп = дА /дп. Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286] потенциал двойного слоя плотности ф(у) на 5. Далее, если имеем Х,= (р — р )/(р+рО. то Ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма [c.317]

Эта функция, как и (1.115), — гармоническая всюду, кроме точек поверхности сг. Она носит название потенциала двойного слоя. [c.139]

Предположим теперь, что функция g не имеет ни нулей, ни полюсов с положительной действительной частью. В таком случае гармоническая функция 1п может быть представлена в правой полуплоскости в виде потенциала двойного слоя плотно- [c.414]

Уравнение задачи О также оказывается разрешимым при выполнении тоже одного условия, но здесь собственную функцию надо еще напти, а поэтому фактическая проверка разрешимости уравнения затруднительна. Тем более, что, как правило, это условие не будет выполняться, поскольку в отличие от задачи здесь нет каких-либо ограничений на краевое условие, нарушение которых делает задачу неразрешимой. Заметим, что представление решения задачи О в виде потенциала двойного слоя приводит автоматически к тому, что искомая гармоническая функция будет убывать на бесконечности как I/R , что не требуется по постановке задачи. [c.102]

Приложения к задаче Дирихле. Функция, гармоническая в любой точке области, ограниченной поверхностью 5, и принимающая в каждой точке М этой поверхности заданные значения / (М), может быть представлена как потенциал двойного слоя, плотность которого (А<Л1) удовлетворяет следующему интегральному уравнению (см. стр. 248) [c.261]

Задача Дирихле для полупространства. Гармоническая в полупространстве z>0 функция W, х, у, г), представляющая потенциал двойного слоя плотности х(д , г/), распределенного по области 2 плоскости г = О, определяется равенством [c.237]

Эти соотношения аналогичны соотношениям для скачка гармонического потенциала двойного слоя в эластокинетике. Покажем, что первый поверхностный интеграл в (13) является разрывной, а второй — непрерывной функцией. Действительно, иа первого уравнения системы (8) следует соотношение [c.178]

Потенциал скорости обтекания тела с вихревой пеленой может быть представлен в виде суммы регулярной во внешности тела гармонической функции и формального потенциала двойного слоя — в виде соответствующего интеграла по поверхности пелены (формальность состоит в незамк-нутости этой поверхности и,возможно, в ее негладкости, проявляющейся в спиралевидно-коническом скручивании края). Строгое исследование задачи подразумевает установление максимально широкого класса поверхностей, для которых интеграл по поверхности вихревой пелены обладает обычными свойствами потенциала двойного слоя, а также возможность определения формы этой поверхности, исходя из полной системы граничных условий задачи обтекания и условия Жуковского-Чаплыгина. Кроме того, по-видимому, должно выполняться дополнительное условие, что при непрерывной деформации тела в бесконечный цилиндр составляющая потенциала скорости, соответствующая вихревой пелене, должна непрерывно преобразовываться в непрерывную ветвь ar tg в, где в — полярный угол. [c.171]

Рассмотрим гармоническую функцию (л ) == u (л ) — onst, которая в Bl равна нулю и, следовательно, равна нулю во всей области гармоничности, в частности в области В — В,). Приближая точку х из (В — Bj) сколь угодно близко к точке приходим к противоречию (см. 21), и линейная независимость системы (у) доказана. Для доказательства замкнутости рассмотрим потенциал двойного слоя [c.409]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...