Гармонические функции. Методы потенциала

Гармонические функции. Методы потенциала [c.88]

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. МЕТОДЫ ПОТЕНЦИАЛА [c.89]

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение функция , представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности. [c.393]

Нахождение формы катода первым методом сводится к отысканию гармонической функции по ее значению и по величине ее нормальной производной на анодной поверхности. Потенциал в нормальной точке М ( , V, ), лежащей вне поверхности анода, в этом случае можно найти по формуле Грина, если условно считать рабочую поверхность анода замкнутой [c.103]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Общие сведения. Мощные методы исследования задач плоского движения грунтовых вод, как и всех задач плоского потенциального движения жидкости, предоставляет теория функций комплексного переменного Это объясняется наличием тесной связи между гармоническими функциями, каковыми являются потенциал скорости ф(л , у) и функция тока г )(л , у), и аналитическими функциями комплексного переменного. [c.471]

Перечисленные задачи решены на основании метода интегральных преобразований, суш,ность которого заключается в сведении пространственных задач теории упругости к задачам теории потенциала для полуплоскости. Показано, что для различных видов контакта штампа с полупространством проблема сводится к смешанной задаче теории потенциала для одной или двух гармонических в полупространстве функций. [c.143]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения. [c.208]

М. Д. Хаскинд и С. В. Фалькович (1947) исследовали гармонические-колебания тонкого, слабо изогнутого, деформируемого треугольного-крыла с дозвуковыми передними кромками. М. И, Гуревич (1954) уточнил исследование функции комплексного переменного, к нахождению которой сводится в этой задаче определение потенциала скорости. Метод Хаскинда и Фальковича был распространен М. И. Гуревичем (1947) и на случай сверхзвуковых передних кромок крыла. [c.158]

В идейном отношении метод непосредственного температурного разложения, как мы видели, является упрошенным вариантом рассмотренного перед этим исследования интефального уравнения для функции Д(г) (не учтена даже в гармоническом приближении анизофопия эффективного потенциала й(г), определяющего функцию Д(г), само поле й(г) определяется как создаваемое просфанственно нераз-мазанными соседними частицами, упорядоченными по узлам и т.д.). В первом приближении он дал, откровенно говоря, очень мало — только закон Дюлонга и Пти. От следующих приближений, связанных с сохранением более высоких производных от -функции в аппроксимации Д(г), следует ожидать учета ангармонических эффектов, однако уже при сделанных потерях получить достоверный их вклад в термодинамические характеристики кристалла оказывается достаточно сложно, даже если оставаться в рамках нулевого приближения теории самосогласованного поля 5(Г ,Г2) = 0. [c.332]

Однако можно значительно лучше аппроксимировать физическую ситуацию, используя более реалистический выбор и таким образом получить значительно лучшую оценку Е. Следующий, наиболее очевидный выбор состоит в том, чтобы принять величину 5о равной интегралу действия для электрона, находящегося в поле классического потенциала V (X). Как можно показать, такой выбор эквивалентен использованию некоторой пробной волновой функции в обычном вариационном методе (методе Ритца). В частности, если выбрать в качестве V X) кулоновский потенциал, то для Е получается такой же результат (при больших значениях а), как и при выборе пробной волновой функции в виде. Если в качестве V (X) выбрать гармонический потенциал, то для Е получается улучшенная [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...