Общие свойства гармонических функций

Общие свойства гармонических функций [c.268]

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 269 [c.269]

Исследование интегральных уравнений (7.8) и (7.9) удается провести, сочетая основные положения общей теории интегральных уравнений с упомянутыми выше свойствами гармонических функций и теоремами единственности краевых задач. [c.100]

Уравнения можно получить опираясь на свойства гармонических функций (и, в частности, путем применения формулы Грина) или используя гидродинамический прием наложения течений, или, что проще всего, непосредственно из общих представлений аналитических функций в области решетки. Возьмем, например, приведенное выше выражение (5.13) комплексного потенциала ИГ(д) [c.49]

Формулировка задач о штампе и трещине в виде смешанных для гармонической функции позволяет использовать аппарат теории гармонических функций для исследования свойств и построения оценок решений названных задач теории упругости. В более сложных ситуациях, в частности в условиях действия одновременно и нормальных и сдвиговых нагрузок, подобное сведение к задаче для одной гармонической функции в общем случае не удается. Исключение составляет осесимметричный случай, когда наряду с нормальными нагрузками действуют радиальные и окружные сдвиговые нагрузки. Эти задачи разделяются на последовательность трех задач (о трещинах отрыва, радиального и окружного сдвига), каждая из которых эквивалентна смешанной задаче определения одной гармонической функции. Такое разбиение позволяет распространить некоторые свойства решений задач о трещинах отрыва, устанавливаемые в гл. 5, на осесимметричные задачи при наличии сдвига. [c.84]

В разд. 3.3 отмечалась связь общего решения уравнений теории упругости с гармоническими функциями. Оказывается, что существуют аналогичные представления общего решения системы (1.7) через три бигармонических потенциала—представления Б.Г. Галеркина. Более того имеет место следующее свойство решения уравнений теории упругости в отсутствие массовых сил каждая из компонент смещения W/, являющаяся четырежды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей [c.88]

В случае одной сосредоточенной силы, нормальной к границе полупространства оно может быть получено наложением особых решений, соответствуюш.их, во-первых, действию сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде, во-вторых, линии центров расширения (элементарное решение второго типа). Решение для одной сосредоточенной силы далее легко обобщается с помощью принципа наложения на случай произвольной, распределённой по границе нормальной к ней нагрузки. Второй путь решения заключается в сведении рассматриваемой задачи к некоторой краевой задаче теории потенциала — оказывается (это можно получить, исходя из общего решения в форме П. Ф. Папковича), что задача теории упругости о разыскании напряжённого состояния в полупространстве при заданном значении нормального напряжения на границе полупространства и при отсутствии на ней касательных напряжений и сводится к разысканию одной гармонической функции, обладающей всеми характеристическими свойствами потенциала простого слоя, распределённого по плоской области загружения с плотностью, пропорциональной интенсивности нагрузки. [c.90]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Как известно, зачастую еще и теперь первичность синусоидальных колебаний сводят к простоте круговых функций. Рэлей отлично знает эту аргументацию ( 27), но никоим образом ею не ограничивается. Он приводит гораздо более существенные и убедительные соображения, связанные с теоремой Фурье и свойствами реальных анализаторов звука, давая тем самым основы современного понимания роли спектрального аппарата в вопросе о разложении колебаний. Неразложимость простого тона связана с тем, является ли сама физическая система, на которую действует колебание, гармонической. Поэтому Рэлей здесь же указывает Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным вышеизложенным. В главе о колебаниях струн (см. стр. 193.— Ред.) мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совершаемого струной... Здесь мы уже располагаем решающим критерием (стр. 39). [c.16]

Гармонические функции в пространстве хорошо изучены и обладают многими свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций двух переменных. Однако в пространстве нет понятия сопряженности гармонических функций, которое связывало бы потенциал с функцией тока, как на плоскости. Хотелось бы наряду с потенциалом скоростей ф(л , г/, г) иметь еще две функции х(х,у,2) и г 52(л , г/, г) —гармонические или удовлетворяющие другим простым уравнениям, такие, что поверхности уровня г ) Си 1 )2 = С2 нересскаются по линиям тока течения, причем три семейства поверхностей Ф = с, 1(з1 = Сь 1з2 = С2 взаимно ортогональны. К сожалению, таких функций тока построить в общем случае не удается. [c.210]

Все гармонические функции обладают одним общим свойством, сформулированным в теореме Дирихле. Эта теорема устанавливает, что для заданного замкнутого контура области, которой удовлетворяет функция С/, и для заданных значений функции U на контуре существует только одно решение уравнения Лапласа для всех внутренних точек области. Следовательно, сумма главных напряжений U = Ог однозначно определяется в каждой точке заданной области, если известны величины напряжений на контуре (для ненагруженного контура Oi — 02 = (Ti так как одно из главных напряжений [c.67]

Ранее мы уже встретились со многими различными квантовыми состояниями механического гармонического осциллятора и обсудили их свойства. Чрезвычайно полезными, в частности, оказывается состояние п) с заданной энергией. Кроме того, мы изучили когерентные и сжатые состояния. Теперь эти состояния появятся вновь, уже применительно к полю излучения. Поэтому в данной главе мы возвращаемся к обсуждению их свойств. Особое внимание обращается на когерентные состояния, поскольку они позволят нам разработать общий формализм функций распределения в фазовом пространстве. Помимо этого мы рассмотрим неклассические свойства состояния шрёдингеровской кошки, которые обусловлены квантово-механическим принципом суперпозиции. [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...