Начальные условия при колебаниях

Частота собственных колебаний равна ft, или ft [формулы (19) и (2)1 в зависимости от наличия или отсутствия сопротивления амплитуда а и начальная фаза а этих колебаний зависят от начальных условий. При наличии сопротивления собственные колебания будут [c.371]

Не выполняя решения системы уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличие от случая отсутствия сопротивления. [c.469]

Определим зависимость амплитуды колебаний оси г ротора гироскопа от начальных условий при свободном его движении. Общее решение первого дифференциального уравнения (11.1 ) запишем в виде [c.64]

Наибольшее значение отклонений, т. е. амплитуда колебаний и скорость собственных колебаний, определяется из начальных условий. При этом период колебаний (время одного полного колебания) или частота колебаний, т. е. величина, обратная периоду, зависит от самой системы. Эта величина является определенной для данной системы и называется собственной частотой колебаний системы. [c.590]

При переходных режимах вынужденным колебаниям сопутствуют свободные, соответствующие начальным условиям. При мгновенном приложении нагрузки или при мгновенном изменении какой-либо из координат (например, при мгновенном перемещении одной из опор) в системе происходит удар. При этом, как и в системах с конечным число.м свободных координат, движение начинается в точке приложения мгновенного возмущения и лишь постепенно распространяется на остальные части системы. При этом образуется бегущая волна, как это поясняет рис. 8.25, на котором изображен заделанный одним конном стержень, к свободному концу которого внезапно приложена нагрузка. Здесь показана примерная упругая линия этого стержня в последовательные моменты времени. Скорость распространения волны деформации и ее форма (крутизна) зависят от параметров системы (от соотношения распределенных масс и упругости, иными словами, от соотношения собственных частот нормальных форм и времени приложения внешней нагрузки). Вследствие постепенности распространения деформации при ударных нагрузках в зоне их приложения возникают динамические напряжения, которые могут во много раз превысить статические, т. е. те, которые соответствуют весьма медленному нагружению системы. Поэтому появление ударных нагрузок в машинах крайне нежелательно. [c.234]

Постоянную можно было бы найти, используя второе начальное условие при 1 = 0, например, T(t) t=o = f Амплитуды нас могут интересовать, например, в случае колебаний, возникающих вследствие удара. Однако иногда достаточно ограничиться видом функции (17.224) с точностью до постоянного множителя и тогда определять эту постоянную нет необходимости. [c.180]

Определение движения по начальным условиям. При записи решения (11.148) предполагалось, что колебания являются одночастотными, т. е. для любого диска описываются одной гармоникой [c.96]

Теперь рассмотрим начальные условия при второй волновой частоте. Возбуждение системы второй низкой частотой должно вызывать появление и высокочастотных колебаний. Поэтому задание начальных условий по второй волновой частоте вызовет в переходном процессе появление высокочастотных колебаний. Наличие высокочастотных колебаний должно найти отражение в величинах начальных условий. Поэтому следует ожидать роста второй производной. Вторая производная выходной координаты системы будет больше нуля (Х40 >0). Тогда должно выполняться условие [c.34]

Произвольные постоянные Myi, Nyi, M i, N i, определяющие амплитуду свободных колебаний, находим из начальных условий. При 1 = 0 [c.205]

Конкретный вид свободных колебаний, описываемых (8.36), зависит от начальных условий. При нарушении строгой симметрии р Фри- Степень асимметрии зададим параметром расстройки Av=(vi—V2)/2, где = + p )l2. [c.161]

Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз, подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и дви>кения груза относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е. постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того, будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы достаточно одной координаты. [c.12]

Действие постоянной силы. Пусть постоянная вынуждающая сила Fo, внезапно приложенная к системе в момент времени t = О, действует в течение некоторого промежутка времени т. Колебания системы при нулевых начальных условиях (при < т) описываются по формуле, приведенной в табл. 1 (строка I). После прекращения действия силы движение системы становится свободным и осуш,ествляется за счет начальных условий q- и 4х, сообщаемых системе в момент времени t = т [c.114]

Автоколебательными называют автономные системы, в которых могут происходить периодические колебания, причем потери механической энергии непрерывно пополняются притоком энергии из источника, не обладающего собственными колебательными свойствами поступление энергии из источника управляется самим движением системы, а период и размах колебаний не зависят (в широких диапазонах) от начальных условий. Такие колебания называют установившимися (стационарными) автоколебаниями, а процесс постепенного приближения к установившимся автоколебаниям, возникающий после произвольного начального возмущения системы, — переходным процессом. Если дифференциальное уравнение движения системы можно представить в виде (2), то при относигельной малости нелинейной части обобщенной силы установившиеся автоколебания приближенно описываются зависимостью [c.22]

В общем случае при произвольных начальных условиях свободные колебания представляют собой полигармонический процесс. При специальном подборе начальных условий в системе могут быть реализованы и гармонические (главные) колебания с любой из собственных частот со . [c.323]

На рис. 384 показаны начальные условия, при которых возникает каждое из трех собственных колебаний в системе связанных маятников с собственными частотами сс > (О2 > сод. Очевидно, что после начальных условий, изображенных на рис. 384, а и б, возникнут гармонические колебания маятников с частотами [c.466]

Легко показать, что при надлежащем выборе постоянных >li, Bi можно удовлетворить любым начальным условиям для колебаний стержня. В самом деле, чтобы эти условия были вполне определены, должны быть заданы перемещения всех поперечных сечений в начальный момент и их начальные скорости. Положим [c.322]

Второй способ определения частот собственных колебаний (обычно низшей частоты) заключается в том, что в исследуемой системе возбуждаются свободные колебания, по записи которых устанавливаются их частоты. Декремент системы определяется по убыванию амплитуды последующих циклов. Свободные колебания могут быть возбуждены посредством удара или внезапной разгрузки. Однако вследствие недостаточной определенности в задании начальных условий при ударе начальная часть процесса затухания свободных колебаний обычно искажается. Целесообразнее поэтому при измерении декрементов возбуждать свободные колебания следующим образом. Система вводится в резонанс с помощью внешней гармонической силы, а затем возбуждение отключается. Начальные условия при этом могут быть получены строго определенные, и запись свободных колебаний легко поддается анализу. [c.383]

Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями при закрепленном правом конце и Т 21/а. Рассмотрим первую краевую задачу, описывающую колебания струны с закрепленным правым концом для решений из класса С ((5г,т) [c.80]

Предполагается известным, что в числе движений, реализуемых в этой системе при надлежащим образом подобранных начальных условиях, имеются колебания [c.689]

Первое из них выражает собственные колебания системы. Здесь а и ф — постоянные величины, зависящие от начальных условий. При наличии даже малых сил сопротивления эти колебания быстро затухают и при расчетах обычно не принимаются во внимание. Второе слагаемое определяет угол отклонения системы от среднего положения под действием возмущающей силы [c.221]

Покажите, что при 6 = с как малые, так и конечные колебания имеют один и тот же период Показать, кроме того, что существуют такие начальные условия, при которых обруч будет катиться с постоянной угловой скоростью, равной [c.196]

Вычислить и представить графически изменения перемещений во времени для системы при колебаниях без демпфирования на интервале времени О t <. ti для четырех способов представления кривых, показанных на рис. 1.58, а—г. Предполагается, что начальные условия при i = О Хр = О и x = О и что величины Qi и k равны единице. [c.124]

Опыт показывает, что при произвольном способе возбуждения колебания не будут гармоническими амплитуда колебаний каждой из масс будет периодически меняться во времени. Однако можно создать такие начальные условия, при которых каждый груз будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой ю [c.48]

Общее решение (6.12) показывает, что колебательный процесс представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Выясним, существуют ли такие начальные условия, при которых колебательный процесс происходит только с какой-нибудь одной частотой. Из соотношений (6.13) легко видеть, что это возможно в двух случаях [c.259]

Уравнение (45) в точности совпадает с уравнением (3), следовательно, совпадут и законы этих колебаний, с той лишь разницей, что центром колебаний, описываемых уравнением (3), является точка О, а для колебаний, описываемых уравнением (45), центром колебаний будет точка Oj (амплитуда и начальная фаза колебаний определяются в каждом случае своими начальными условиями). При другом направлении силы Q центр будет. девее точки О. [c.376]

Постоянные i и определяются из начальных условий при t = О н.зчальиая скорость задана, П(, = 10 см/сек, согласно условию начальное отклонение груза Хц = Al — Я,.,. = 8 — 5=3 см. Круговая частота собственных колебаний груза [c.399]

Постоянные С и определяются по начальным условиям при ( = О начальная скорость Оо = 10 см/с задана. Согласно условию, и = А/ — Х , = 8 — 5 = 3 см, начальное отклонение груза тоже я.чвеотно Круговая частота собственных колебаний груза [c.421]

Уравнения (12.36) содержат 6 постоянных (Лц, Л12, Л13, , 2, < з), которые определяются из начальных условий. При произвольно заданных начальных условиях обобщенные координаты изменяются по полигармоническому закону. Специальным выбором начальных условий можно достичь того, что все обобщенные координаты будут изменяться по гармоническому закону с одной и той же частотой ki (или Аг, или Аз), а фазы колебаний либо совпадают, либо отличаются на я главные колебания). ОтЕЮшения амплитуд при главных колебаниях образуют собственную форму, соответствующую частоте колебаний. [c.245]

При обратном неравенстве (рис. 3.14, б) возможны два совершенно разных типа поведения в, зависимости от начальных условий при о >р(1 — д) по-прежнему происходят нарастающие колебания, при со<р(1 — )" возникают ограниченные хаотические колебания. Во втором случае последовательные преобразования точки о, 1, Хг,. .. всюду плотно заполняют отрезок / с концами a/q ж aq — /к На отрезке / отобра- [c.70]

После остановки (до выключения электродвигателя) система будет нагружена пусковым моментом электродвигателя Гпуск- В целях простоты решения полагаем, что пусковой момент двигателя равен его рабочему моменту Т . При этом постоянную составляюш.ую угла закручивания муфты фо исключаем из рассмотрения, а движение массы Ji будет описываться уравнением свободных колебаний (16.23) с начальными условиями при i = О ф = 0 dffjdt = Ш1. [c.357]

Введем обозначение qlm= (a, где q — жесткость упругого элемента системы т — масса груза (подвижной системы) шо — частота собственных колебаний. Тогда получим J - -(BoJf=0. Решение этого дифференциального уравнения найдем в виде x=ai ps i)oi-f -b asintiioi, где Oi и Ог— постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий при t=0 х=Хо х= Хо t — время). [c.166]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...