Кристаллографические классы

Таблица 2.10. Матрицы материальных тензоров третьего ранга для различных кристаллографических классов

Таблица 2.11. Матрицы материальных тензоров четвертого ранга с попарно симметричными индексами (фотоупругость, электрострикция и т. п.) для различных кристаллографических классов

В приведенных в табл. 2.9—2.11 матрицах для многих кристаллографических классов несколько компонент должны быть равны друг другу. Обычно их обозначают одинаково по компоненте с наименьшими индексами. При использовании таблиц следует помнить о всех не равных нулю компонентах, так как в таблицах приводятся только независимые компоненты. [c.45]

Из числа различных групп симметрии, используемых для описания кристаллов, важнейшие С ) (пространственные группы, описывающие атомную структуру кристалла) и (точечные группы, описывающие внешнюю форму кристаллов, их всего 32 группы (см. табл. Д.1), которые иначе называют кристаллографическими классами). [c.610]

По каким признакам специальные типы анизотропии объединяются в кристаллографические классы, системы [c.177]

Следует иметь в виду, что в кристаллах низших сингоний, например моноклинной, лишь одна ось индикатрисы показателей преломления совпадает с кристаллографической осью [10]. Поэтому при любой геометрии опыта свет, который на входе бьш линейно поляризованным, на выходе станет эллиптически поляризованным. При наложении электрического поля появляется дополнительная наведенная эллиптичность. Поэтому прошедший через образец свет пропускают через анализатор. Интенсивность света, прошедшего через анализатор при любой его ориентации, зависит от разности фаз между компонентами света, имеющими разную поляризацию, в том числе и от наведенной разности фаз [107]. Например, для света, проходящего по оси у кристалла, относящегося к Кристаллографическому классу т, фазовый сдвиг в результате прохождения пути / в присутствии поля, приложенного по оси х, есть [c.84]

Большинство молекулярных кристаллов, состоящих иэ полярных молекул, либо центросимметрично, либо относится к кристаллографическим классам, в которых есть полярная ось, т.е. к классам 2, тт2, т. Для этих кристаллографических классов не равна нулю векторная часть нелинейной восприимчивости [38, 39]. [c.116]

Каждый из тридцати двух кристаллографических классов является представлением некоторой абстрактной математической группы. Порядок этой группы равен числу эквивалентных точек на стереографической проекции соответствующего класса. Например, класс 2/т представляет группу четвертого порядка, класс 4/т —группу восьмого порядка. [c.11]

Форма тензора генерации второй гармоники для различных кристаллографических классов [6 [c.781]

Из таблицы видно, что для 20 кристаллографических классов матрица коэффициентов (IV. 15) имеет хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Матрицы коэффициентов g,flj и совпадают между собой. Для некоторых же классов в соответствии с принятыми здесь обозначениями для сдвиговых компонент тензора деформации [c.124]

Кристаллографические классы объединяются в 7 более крупных групп, называемых кристаллографическими сингониями, среди которых выделяются разновидности низших, средних и высших сингоний [c.7]

ЛОВ ЭТО невозможно. Посмотрим теперь, для каких кристаллографических классов, не обладающих центром симметрии, можно описанным выше способом получить синхронные взаимодействия. [c.84]

Другое интересное следствие заключается в том, что для некоторых классов весьма важен угол между волновой нормалью и осями X и у, в то время как для других классов этот угол вообще не входит в выражения эфф- Заметим, что для некоторых кристаллографических классов только часть выражения эфф зависит от угла ф. В классе Зт, например, для взаимодействия [c.86]

В видимой области спектра известные кристаллы — это обычно кварц, ADP или KDP. В инфракрасной области, на длине волны 10,6 мкм, известным кристаллом часто считается арсенид галлия. Все вещества сгруппированы в таблицы в соответствии с кристаллографическими классами приведенные значения коэффициентов измерены по генерации второй гармоники указанные длины волн относятся к основной частоте. Для каждого материала дается только по одному значению нелинейной восприимчивости на каждой длине волны, даже если известно более одного значения, [c.219]

Учтем теперь влияние пьезоэффекта. Поскольку симметрия тензора е не ни>ке симметрии соответствующего кристаллографического класса, то тензор е также обладает осью симметрии Ln (или осью бесконечного порядка, см. таблицу). Таким образом, пьезоэлектрический вектор е должен обладать осью симметрии порядка п. Но единственная ось симметрии (L ,) для любого век- [c.26]

Выпишем теперь в явном виде уравнения, определяющие кривые сечений поверхности фазовых скоростей координатными плоскостями для тех кристаллографических классов, где координатные плоскости являются плоскостями симметрии. [c.40]

Возможны 32 различные комбинации вышеуказанных элементов симметрии — 32 точечные группы. Они соответствуют 32 кристаллографическим классам. Эти классы объединяются в семь кристаллографичеких групп по сингониям [c.35]

Развитие электроники, электроакустики, измерительной техники привело в последние юды к интенсивному развитию новых областей физики диэлектриков. Одно из таких направлений связано с изучением линейного взаимодействия электрических, механических и тепловых нолей при ньезо- и пироэлектрическом эффекте. В настоящее время существуют различные технические устройства, в которых успешно используется явление пьезоэффекта. Пьезоэлектрические л атериалы широко применяются в дефектоскопии, в электроакустических преобразователях, в радиотехнических устройствах типа резонаторов, полосовых фильтров, ультразвуковых линий задержки и т. д. Особое внимание исследователей к таким материалам, как пьезоэлектрики, связано с явлением пьезоэффекта, обнаруженным братьями Кюри в 1880 г. Это явление состоит в том, что при деформировании кристаллов некоторых кристаллографических классов на их поверхностях появляются электрические заряды, пропорциональные величине деформации. Термодинамический анализ показывает существование обратного эффекта, который проявляется в возникновении механических напряжений в кристалле при действии электрического поля. Характерной особенностью пьезоэффекта является его связь [c.69]

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точеч ным группам (кристаллографическим классам) а — к классу т (одна плоскость симметрии) 6 к классу 1 (центр симметрия или центр инверсии) в — к клаежу 2 (одна ось симметрии -и) порядка) г — к классу 6 (одна инверсионно-поворотная ое 6-го порядка).

Применяя операции симметрии к кристаллам, относящиеся к различным кристаллографическим классам , можно получить вид матрицы Xijk 2. Вид этой матрицы для всех кристаллографических классов, не обладающих центром инверсии, приведен, например, в [8]. Ниже приводится вид этой матрицы (в сокращенной записи) для двуосных кристаллов моноклинной и ром 1ческой сингоний, к которым относятся по гги все молекулярные кристаллы. Класс 1 (триклинный) не содержит элементов симметрии, и матрица имеет вид (19). Моноклинные классы 2 и w содержат одну ось второго порядка или одну зеркальную плоскость соответственно. Принято считать, что в этих классах ось симметрии параллельна, а плоскость симметрии перпендикулярна оси у. Класс 222 содержит три взаимно перпендикулярные оси второго порядка, класс т г2-ось второго порядка (ось z) и две проходящие через нее плоскости симметрии. [c.14]

Для таких кристаллографических классов, как 222, 32, нелинейная восприимчивость низшего порядка Хцк содержит только септорную часть. [c.20]

Следует отметить, что показатели преломления 3-метил4-нитро-пири-дин-1ч)ксида и анестезина допускают существование некритического синхронизма п х = п Р). Однако для кристаллов этого кристаллографического класса преобразование в условиях некритического синхронизма из-за запрета по симметрии малоэффективно. [c.169]

Для кубических кристаллов кристаллографического класса тЪлг, к которому принадлежат кристаллы PMN и PZN в параэлектрияеской фазе, число независимых пьезооптических коэффициентов равно трем. При этом индуцированное двулучепреломление определяется только комбинацией (лц —Л12) и Л44 (см. [8] гл. 2). [c.86]

Составьте таблицы перемножений групп (квадраты Кэли) для каждого из кристаллографических классов, представляющих группы четвертого порядка. Какие кристаллографические классы обладают изоморфными группами [c.11]

В мире кристаллов, как и в живой природе, существует симметрия. Элементами кристаллической симметрии являются плосл ость симметрии, обладающая свойством зеркальности, ось симметрии (в том числе инверсионные оси симметрии), центр симметрии. В кристаллах элементы симметрии находятся во взаимосвязи. Установлено, что возможны только 32 комбинации различных их группировок, или 32 кристаллографических класса. [c.8]

Кристаллографические классы объединяются в более крупные группировки, называемые системами или синго-ниями. Таких сингоний выделяется семь. [c.8]

Указанным способом, конечно, могут быть получены и текстуры, принадлежащие к кристаллографическим классам симметрии (пример текстур класса 1 уже приводился), но такие текстуры здесь не рассматриваются, как не имеющие (макроскопически) свойств, отличных от свойств кристая-аош. [c.157]

Как известно, для описания ЮЭ необходимо использовать магнитную симметрию. Если учесть установленное в работе [ЮД соответствие между тензорами в обычной и магнитной симметрии, то нетрудно увидеть, что форма тензоров будет точно такой же, как и форма тензоров активности. Необходимо лишь учесть установленное в [10] изоморфное соответствие медду классами симметрии. Так, согласно работам [8 и э], в трех обычных кристаллографических классах 32, [c.30]

Можно показать, что существует только 32 группы совмещающих операций, которые подчиняются законам симметрии кристаллов. Каждой из этих групп соответствует определенный кристаллографический клэсс. Упругий потенциал для каждого кристаллографического класса может быть найден на основании результатов 105 однако каждая из форм этой функции соответствует не только одному кристаллографическому класдг. Мы должны дать краткое описание характера симметрии всех классов. С этой целью мы сейчас изложим несколько определений и геометрических теорем, относящихся к осям симметрии. [c.167]

Классификация кристаллов. Характер симметрии каждого кристаллографического класса теперь мбжет быть описан путем ссылки иЯ те группы совмещающих операций, которые соответствуют каяИому из этих классов в отдельности. Первая группа состоит только из тождественной операции соответствующая фигура ие имеет симметрии, она называется асимметричной. Тождественная операция является одной иэ операций каждой группы. Вторая группа содержит кроме тождественной операции еще только Инверсию симметрию соответствующей фигуры мы назовем центральной. Третья группа содержит кроме тождественной операции еще только отражение в плоскости симметрию соответствующей фигуры мы назовем экваториальной. Кроме эТих трех групп существуют еще 24 группы, имеющие главную ось, это значит, что всякая ось симметрии, отлНчная от главной оси, перпендикулярна к главной оси, а всякая плоскость симметриа либо проходит через главную ось, либо перпендикулярна к ией. Остальные пять групп характеризуются наличием четырех осей третьего порядка, которые, подобно диагоналям куба, одинаково наклонены друг к другу. i [c.168]

Суммируя результаты, полученные в предыдуш,их параграфах, отметим еш,е раз, что максимальное число независимых компонент тензора нелинейной восприимчивости второго порядка в условиях, когда равно 18, а в центросимметричных кристаллах нелинейная поляризация второго порядка тождественно равна нулю. Из 32 различных кристаллографических классов 21 является нецентросимметричным, но среди них лишь один вообще не имеет симметрии это класс 1 в триклинной системе. Для всех других классов существует одна или более операций симметрии, которые преобразуют кристалл сам в себя. Очевидно, что если для данного кристаллографического класса задана матрица восприимчивости и мы применяем к ней операцию симметрии, которая физически никак не изменяет кристалл, то матрица при этом не изменится. В результате некоторые компоненты матрицы должны быть равны нулю, а другие должны быть равны или численно равны друг другу, но противололожны по знаку. Применяя разрешенные операции симметрии к каждому кристаллографическому классу [89], можно найти матрицу заданной формы для каждого из 21 нецентросимметричного кристаллографического класса. Альфа-йодная кислота, например. [c.55]

Фиг. 2.1. Форма матрицы <111 различных кристаллографических классов. а—двуосные кристаллы 6—одноосные кристаллы в — изотропные кристаллы. Обозначения маленькая точка—коэффициент равен иулю квадрат—коэффициент равен нулю, если справедливо условие Клейнмана соединенные точки —коэффициенты чи сленно равны, ио для точек обозначенных светлыми и темными кружками, коэффициенты имеют противоположные знаки. Пунктирные соединения справедливы лишь при выполнении условия Клейнмана. В двуосных кристаллах коэффициенты не зависимы, если условие Клейнмана не выполняется. Пунктирные линии в классе 1 показывают влияние условия Клейнмана на эти 18 коэффнциентов,

Из соотношения (2.24) видно, что матрица нелинейной восприимчивости имеет такой же вид, как и пьезоэлектрическая матрица, и действительно, для данного кристаллографического класса эти две матрицы гомологичны, за исключением множителей 2 в столбце вектора поля. Для пьезоэлектрической матрицы эти множители включены непосредственно в матрицу. Таким образом, мы можем отыскивать независимые элементы нелинейной матрицы, сравнивая ее с пьезоэлектрической матрицей и опуская множитель 2. Для класса Зт, например, пьезоэлектрическая матрица дает [131] йц ——й,2 =—2с12б, в нелинейной матрице это соответствует /ц = —= — ге- [c.58]

Ненулевые элементы тензора для всех кристаллографических классов перечислены на фиг. 2.1 как для случаев, когда клейнмановские условия симметрии выполняются, так и для тех случаев, когда эти условия не выполняются. [c.58]

Все кристаллы подразделяются на 32 кристаллографических класса, каждому из которых отвечает своя точечная группа. С другой стороны, кристаллы делятся на кристаллографические системы, или сингонии, в зависимости от симметрии их рещетки. Интернациональные символы элементов симметрии указаны в табл. А там же приведены некоторые другие обозначения. [c.358]

Свойства симметрии кристалла накладывают ограничеиня на коэффициенты Егк, Сгм, Именно для данного кристаллографического класса отличны от нуля лишь те элементы тензоров е, с и е, которые не изменяются нри всех нреобразованияз симметрии этого класса. В частности, ньезоэлектриками заведомо не могут быть кристаллы, обладающие центром инверсии, так как нри преобразовании инверсии Х1 — — х , Хз — х, [c.9]

Мы приведем далее вид свободной энергии для пьезоэлектрй-ков, относящихся к различным кристаллографическим классам, но предварительно напомним принятые в кристаллографии обозначения классов и элементов симметрии [71]. Для обозначения классов принято использовать буквепио-цифровые символы. [c.9]

В кубической системе пьезоэлектричеством обладают всего два кристаллографических класса. Класс 23 содержит три взаимно перпендикулярные оси La и четыре оси Ls, находящие вдоль пространственных диагоналей куба. В классе 43па — три взаимно перпендикулярные оси L4, четыре диагональные оси L3 и плоскости симметрии, проходящие через диагонали граней. [c.10]

Тензоры е, с и е могут допускать и более широкие преобразования, чем входяш,ие в тот или иной кристаллографический класс. Если допустить поворот на произвольный угол, то мы имеем дело с симметрией враш,ения (ось Ь или просто °°). Сочетание поворота на произвольный угол и отражения в окрестности, нернендикулярной оси враш,епия, обозначается оо/ш, наличие оси [c.11]

Структуру коэффициентов е.,., Сг,ы, е.ы, входящих в определения D и о для всех кристаллографических классов, можно найти в [70, 71]. Мы, однако, приведем в справочных целях и выражения свободной энергии для тех кристаллографических систем, к которым относится большинство ныне известных пьезоэлектриков. Там, где это возможно, будет применяться принятая в кристаллографии система обозначений, при которой пара индексов, допускающих перестановку, заменяется одним в соответствии со следующими правилами. Если индексы i и / или к и I равны, то заменяющий индекс тот же Сцаг = ia, Сцц = Сц, Сцзз = = i3, 6i22 = 6i2 и т. д. Если индексы i Ф /, то вместо ij ставится индекс, равный 9 — i — j i2,2 = 66, С1312 = se, 6123 = 614 и т. д. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...