Поверхности второго порядка центр

Если поверхность второго порядка общего вида имеет центр симметрии, ее называют центральной поверхностью второго порядка. К таким поверхностям относятся поверхности эллипсоида, однополостного гиперболоида, двухполостного гиперболоида, конус второго порядка, эллиптический и гиперболический цилиндры. Эти поверхности имеют три плоскости симметрии, т. е. каждая из координатных плоскостей является плоскостью симметрии. Начало координат является центром симметрии поверхности. [c.203]

Уравнение показывает, что это кривая линия второго порядка, центром которой является рассматриваемая точка поверхности. [c.411]

Аналитическое описание проекции линии пересечения поверхностей второго порядка приведем для случая, представ.пенного на черт. 283, где начало координат О системы xyi совмещено с центром сферы, а плоскостью симметрии служит плоскость xOz. Биквадратная кривая, по которой пересекаются о )ера и цилиндриче- [c.129]

Из рассмотренных выше поверхностей к циклическим можно отнести все поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением окружности (параллели), центр которой перемещается вдоль оси, а ее плоскость перпендикулярна к оси. К циклическим поверхностям можно также отнести те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения. [c.147]

К центральным поверхностям второго порядка (см. табл.) относят поверхности /, 2, 3, 5, 6, 7. Начало координат служит центром симметрии этих поверхностей, а плоскости координат — плоскостями симметрии. Поверхности 4, 8, 9 относят к нецентральным, они имеют по две плоскости симметрии xOz и yOz. В частных случаях поверхности [c.114]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Из поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только одна, а именно эллипсоид. Найденный эллипсоид называют эллипсоидом инерции для данного тела в точке О. Очевидно, эллипсоид инерции для данного тела можно построить в любой точке пространства. Поэтому эллипсоидом инерции для данного тела в какой-либо точке называют эллипсоид с центром в этой точке, центральные радиусы-векторы точек которого равны обратным значениям квадратных корней из моментов инерции тела относительно осей, направленных по этим радиусам-векторам. [c.249]

Назовем центральной поверхностью второго порядка такую поверхность, которая имеет единственный конечный центр центр симметрии). [c.215]

Из предыдущего упражнения следует, что если центры тяжести параллельных плоских сечений лежат в одной плоскости, то центр тяжести тела также лежит в этой плоскости. Если центры тяжести сечений расположены на прямой, то центр тяжести объема также лежит на этой прямой. Это последнее обстоятельство имеет место для части тела вращения, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными оси, и для объема, ограниченного поверхностью второго порядка к двумя параллельными плоскостями. [c.151]

Если заставить катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости II произвольную поверхность второго порядка с неподвижным центром О, то геометрическим местом точек касания т на неподвижной плоскости будет обобщенная герполодия. Радиус-вектор герполодии, проведенный из основания Р перпендикуляра ОР к плоскости II, и касательная к этой кривой в т будут двумя сопряженными касательными катящейся поверхности. Для того чтобы радиус-вектор Рт не вращался все время в одном направлении или чтобы кривая имела точки возврата, необходимо, чтобы радиус-вектор мог совпадать с касательной. Эти два сопряженных, направления могут совпадать лишь тогда, когда поверхность второго порядка имеет противоположные кривизны, т. е. когда она является однополостным гиперболоидом (Дарбу, там же). [c.201]

Это — уравнение геометрического места точки I. Оно представляет собой уравнение поверхности второго порядка с центром в точке О. Поверхность эта есть эллипсоид, так как ее радиус-вектор, равный 1 2 тг , всегда имеет конечное зна- [c.57]

Это и есть уравнение поверхности Е. Отсюда видим, что мы имеем дело с поверхностью второго порядка, а так как мы знаем, кроме того, что поверхность Е должна быть замкнутой, то она может быть только эллипсоидом, центр которого есть точка О, как это следует из симметрии поверхности Е относительно О. [c.46]

Если мы примем, что поверхности второго порядка, соответствующие сопряжённым движениям Дарбу, имеют общие центр и направление осей, то в силу соотношения (48.10) обе поверхности пересекутся по одной и той же полодии. Закрепим неподвижно обе поверхности тогда движе-550 [c.550]

Сравнивая это уравнение с (9) 273, мы видим, что квадрат радиуса-вектора г обратно пропорционален нормальному напряжению (Х ) на плоскости, проходящей через центр поверхности второго порядка н перпендикулярной радиусу-вектору. Поэтому главные плоскости напряжения перпендикулярны тем радиусам, которые имеют стационарные значения, т. е. главным осям поверхности второго порядка. [c.358]

Скорость вращения осей деформации называют скоростью вращения частицы. Первое и третье движения частицы будем называть внешними, а второе — внутренним. Понятно, что внутреннее движение частицы вполне характеризуется эллипсоидом деформации, оси которого дают нам направления осей деформации. Но мы не будем пользоваться уравнением этого эллипсоида, а выведем уравнение некоторой другой поверхности второго порядка, которое получается при рассмотрении скоростей точек частицы относительно центра. Для этого возьмем от х, у. г производные по времени и, положив [c.15]

Так как координаты х, у, г точки К удовлетворяют уравнению (149), то точка К принадлежит поверхности, выражаемой этим уравнением. Это уравнение является, следовательно, уравнением искомой поверхности, на которой расположены точки К. Из уравнения (149) следует, что эта поверхность есть центральная поверхность второго порядка с центром в начале координат. Из самого способа построения этой поверхности видно, что радиусы-векторы всех ее точек имеют конечную величину, так как I ф О, и, следовательно, О К не может обращаться в бесконечность. Отсюда приходим к заключению, что эта поверхность представляет собой эллипсоид, который называется эллипсоидом инерции ). Из равенства [c.512]

Из аналитической геометрии известно, что уравнение поверхности второго порядка, отнесенное к центру, может быть преобразовано вращением координатной системы до совпадения осей координат с осями поверхности. Тогда уравнение поверхности будет отнесено к центру и осям. Как известно, при этом в уравнении поверхности исчезнут члены, содержащие произведения координат, т. е. коэффициенты при г в выражении (1.8) обратятся в нули. [c.20]

Это уравнение при постоянном значении 2F представляет собой центральную поверхность второго порядка с центром в О. Если бы мы взяли оси O x y z так, чтобы они были направлены по главным осям этой поверхности, то уравнение ее не содержало бы членов с произведениями координат тогда [c.709]

Каждый радиус-вектор эллипсоида напряжений представляет собой по величине и направлению напряжение на одной из элементарных площадок, проходящих через центр эллипсоида. Направление же этой площадки может быть найдено с помощью особой поверхности второго порядка, называемой направляющей поверхностью напряжений. Если оси х, у, г суть главные оси напряжённого состояния в данной точке, то [c.58]

Поверхность (2) или (3) при определенном знаке в правой части есть, очевидно, центральная поверхность второго порядка (с центром в начале координат). Она называется поверхностью напряжений, относящейся к данной точке тела ( квадрика напряжений Коши ). Мы увидим ниже, что возможны два случая в одном — знак в правой части уравнения (2) [c.27]

Поверхность, задаваемая уравнением (8), является центральной поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Ее называют поверхностью напряжений или поверхностью Коши (квадрикой). [c.51]

Поверхность (2.30) вполне аналогична поверхности напряжений Коши <1.23), обладает такими же свойствами и носит название поверх-ности деформации. Она является центральной поверхностью второго порядка, с центром в исследуемой точке и может быть или эллипсоидом, или совокупностью однополостного и двухполостного гиперболоидов с общим асимптотическим конусом. Если из центра е будем строить радиусы-векторы р до пересечения с поверхностью, то из (2.29) будем иметь [c.58]

Нетрудно убедиться, что функция Ф, являясь однородным многочленом второй степени относительно координат уи ги представляет собой центральную поверхность второго порядка с центром в начале координат — эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Известно, что если оси координат Хи уи 21 направить вдоль осей эллипсоида деформации, то члены, содержащие произведения разноименных координат, уничтожатся. Оси эллипсоида в этом случае называются главными осями деформации. При таком выборе осей будем иметь [c.50]

Родственное преобразование поверхностей второго порядка. Преобразуем вытянутый эллипсоид вращения в сферу (рис. 297). Плоскость родства I примем параллельной плоскости П1 и проходящей через центр эллипсоида. Точка К (ее фронтальная проекция /Са) пересечения поверхности с осью вращения преобразуется в точку К (Кз) окружность, по которой поверхность пересе- [c.193]

Диаметр и сечения поверхности второго порядка называются сопряженными, если диаметр проходит через центры параллельных сечений (такое определение справедливо только для эллиптических сечений). [c.196]

Стереографическая проекция. Прежде чем перейти к построению точек пересечения прямой с некоторыми поверхностями второго порядка, рассмотрим проекцию, которая называется стереографической. На рис. 352, а дана фронтальная проекция сферы (для рассуждений достаточно одной проекции). Возьмем на сфере произвольную точку. Пусть это будет вершина 5 и, проведя через нее диаметр сферы, построим плоскость 2, перпендикулярную диаметру. Отметим точки Л и С пересечения плоскости с главным меридианом. Через точку А проведем плоскость 2 под произвольным углом к плоскости 2. Сечением сферы плоскостью X является окружность диаметра АВ. Спроецируем эту окружность из центра 5 на плоскость Й. Точка А проецируется сама в себя , точка Д — в точку В. Примем окружность диаметра АВ в качестве направляющей, а точку 5 — в качестве вершины конической поверхности второго порядка. Плоскость 2 пересекает эту поверхность по эллипсу с длиной одной оси, равной отрезку АВ. Нужно установить, каково соотношение осей эллипса. [c.235]

Возьмем теперь эллипсоид вращения (на рис. 352, б дана его фронтальная проекция). В качестве центра проекций 5 примем точку пересечения оси вращения с эллипсоидом, т. е. его вершину, а плоскости проекций — плоскость 2, перпендикулярную оси. Рассечем эллипсоид плоскостью I, получив при этом эллипс (см. /124/) с большой осью А В- Спроецируем эллипс из точки 5 на плоскость 2. Его проекцией будет эллипс с осью А В, который можно рассматривать как сечение конической поверхности второго порядка с вершиной 5 и направляющей — эллипсом с осью АВ. Проведем родственное преобразование %сех фигур, задавшись плоскостью родства Р, проходящей через центр эллипсоида перпендикулярно его большой оси, двумя родственными плоскостями 2 и 2, параллельными плоскости ЧГ и проходящими соответственно [c.236]

Для построения линии пересечения поверхности вращения с поверхностью второго порядка общего вида, например сферы и эллиптической конической поверхности, удобно воспользоваться вспомогательным проецированием (рис. 381). Спроецируем коническую поверхность из вершины S на плоскость 2 ее проекцией будет эллипс fli = аГ (так как поверхность становится проецирующей). Рассечем сферу горизонтальной плоскостью Q и полученное се ни (окружность с центром А) спроецируем на ту же плоскость S. Отметим точки С и Di пересечения проекций сечения и конической поверхности проведенные через них проекции проецирующих прямых в точках Сг и Da пересекаются с прямой Qj.Найдем точки С и Di. Взяв новое сечение, повторим построения и т. д. [c.257]

Для простоты и конкретности рассмотрим указанные вопросы применительно к поверхностям второго порядка. Например, если центр О сферы Д принадлежит оси поверхности конуса вращения Ф, то они пересекаются по двум окружностям а, Ь (рис. 4.51). При непрерьганом уменьшении радиуса сферы радиусы окружностей а, Ь непрерывно изменяются и в пределе [c.139]

Эллипсоид является чем (поверхностью второго порядка...), называется каким (трёхосным...), превращается во что (в сферу...), соответствует чему (точке, центру тяжести...), пересекает что (ось...). [c.104]

Таким образом, мы видим, что вектор перемещения в точке В будет описывать поверхность второго порядка с центром в той же точке. Это может быть однополостный или двуполостный гиперболоид или эллипсоид. По физической сущности задачи поверхность не должна иметь бесконечно удаленных точек следовательно, это будет эллипсоид или те поверхности, в которые эллипсоид может вырождаться. [c.372]

Из рассматриваемых поверхностей кцентральным поверхностям второго порядка относятся поверхности (2), (3), (4) начало координат служит центром симметрии этих поверхностей, а плоскости координат — плоскостями симметрии, Таким образом, эти поверхности второго порядка имеют три плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями х=0, (/=0, и 2=0. Сечения поверхностей этими плоскостями, называемые их главными сечениями, а также плоскостями, им параллельными, можно легко построить по уравнениям. [c.215]

Расстояния от центра тяжести объема до обоих оснований 5о и 51 относятся как 51- -2<з к 5о + 2а. Формулы эти применимы к усеченным пирамидам и конусам, а также к частям поверхностей второго порядка и линейчатых по-верхнестей, заключенных между двумя параллельными плоскостями. [c.151]

Различные поверхности второго порядка (6) являются софокусными гирационному эллипсоиду Мак-Куллаха для центра масс ( 25). Из аналитической геометрии известно, что через всякую точку Р проходят три действительные софокусные поверхности системы, причем касательные плоскости, проведенные к ним в точке Р, взаимно перпендикулярны. [c.68]

Для того чтобы иллюстрировать проведенное геометрическое изложение, рассмотрим системы P и ОДС ( 66 и 70). Примем для простоты в PG b,-s = Тогда, согласно уравнению (70.1), Sповерхность второго порядка, а 8н> согласно уравнению (70.3),— сфера с центром в точке А,-. Что касается ОДС, то согласно представлению (68.4), 6 — поверхность второго порядка, проходящая через начало координат и имеющая уравнение [c.234]

Обращённое движение Пуаисо. Рассмотрим обращённое движение Пуансо, т. е. движение, соответствующее движению Пуансо, как движению прямому ( 54). Это движение геометрически истолковывается качением без скольжения по несюдвижной центральной поверхности второго порядка одной из касательных плоскостей, остающейся на неизменнэм расстоянии от центра. [c.550]

Теорема Сильвестра. Полодию для общего случая движения Пуансо можно определить, как геометрическое место точек, лежащих на нейтральной поверхности второго порядка и обладающих тем свойством, что плоскости, касательные к поверхности в различных точках этой кривой, находятся на постоянном расстоянии от центра поверхности. Поэтому на основании формул (47. 65) и (4 7.G6) на стр. 535 и 536 при обозначениях, принятых в настоящей гллве, мы можем уравнения иолодии наиисать гак [c.551]

Данный способ, простой в теории, приводит к весьма сложным и трудным вычислениям. Это неудобство устранил Давидов, который предложил искать уравнение поверхности центров в дифференциальной форме, а потом это уравнение интегрировать. Мысль эта оказалась весьма плодотворной. Давидов предложил этот способ к отысканию поверхностей центров разных тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка. Поверхности центров, найденные дл й[ всех этих случаев Давидовым,—поверхности второго порядка и их комбинации (т. е. поверхность центров состоит из нескольких частей разных поверхностей второго порядка), [c.661]

Если плоскость проекций (П) пересекает нелинейчатую поверхность второго порядка общего вида, а центр приецирования (точка. 5) совпадает с одним из концов диаметра поверхности, сопряженного сечению, то проекция любого другого сечения представляет собой фигуру, подобную сечению поверхности плоскостью проекций. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...