Биквадратная кривая

Если плоскость пересекает две пересекающиеся поверхности второго порядка, линиями сечения являются две кривые второго порядка, пересекающиеся в четырех точках. Через эти точки проходит линия пересечения поверхностей. Она является кривой четвертого порядка ее называют биквадратной кривой. [c.258]

Кривая четвертого порядка может распадаться на более простые кривые низших порядков. Например, линией пересечения двух цилиндров с параллельными осями является биквадратная кривая, которая распадается на четыре прямые — общие образующие цилиндров. Имеются случаи распадения биквадратной кривой на две кривые второго порядка. [c.258]

Большое разнообразие форм биквадратной кривой и ее свойства описываются рядом теорем. [c.258]

Вторая кривая линия пересечения тоже является кривой второго порядка, поскольку порядок этой линии определяется как разность порядков биквадратной кривой — кривой четвертого порядка и порядка первой линии. [c.258]

Следствие 2. Если биквадратная кривая распадается на тру совпавших кривых второго порядка или на четыре совпавшие прямые, то имеется касание поверхностей вдоль линии второго или первого порядка соответственно. [c.259]

Возможен частный случай, когда биквадратная кривая вырождается в точку. Здесь две поверхности касаются друг друга в точке. Например, сфера касается цилиндра второго порядка в точке (рис. 371). [c.259]

Здесь биквадратная кривая линия пересечения поверхностей найдена с помощью вращающихся проецирующих вспомогательных секущих плоскостей N. Она представлена прямой SE и кривой третьего порядка SKD. [c.263]

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной jhi-нии четвертого порядка, которую называю г биквадратной кривой, [c.125]

Аналитическое описание проекции линии пересечения поверхностей второго порядка приведем для случая, представ.пенного на черт. 283, где начало координат О системы xyi совмещено с центром сферы, а плоскостью симметрии служит плоскость xOz. Биквадратная кривая, по которой пересекаются о )ера и цилиндриче- [c.129]

Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия — всегда кривая четвертого порядка. В отличие от других кривых четвертого порядка, ее часто называют биквадратной кривой. [c.302]

На чертежах, относящихся к теореме Монжа (см. рис. 372—375), биквадратная кривая проектируется на плоскость симметрии в виде двух пересекающихся прямых, которые представляют распавшуюся кривую второго порядка. [c.310]

Рассмотрим проекции биквадратной кривой, получающейся от пересечения конуса вращения со сферой. [c.310]

Мы получили уравнение второго порядка с одинаковыми коэффициентами прих и у , не содержащее члена с произведением ху. Известно, что такое уравнение выражает окружность. Итак, одна проекция биквадратной кривой является окружностью. Чтобы получить проекцию на плоскость Охг, исключим у и найдем [c.311]

Перечислите различные случаи распадения биквадратной кривой. [c.312]

Бесконечно удаленная точка 22 Бесконечно удаленные точки конических сечений 169, 170, 269, 270 Биквадратная кривая 302 Биссекторные плоскости 54, 66, 74 [c.413]

Разделенный угол 357 Распадение биквадратной кривой 302 [c.415]

На рис. 416 дана ) фронтальная проекция двух цилиндров вращения (Ц1 и Ц2) разных диаметров. Точка о — фронтальная проекция точки пересечения осей цилиндров. Фронтальная проекция получаемой биквадратной кривой представляет собою равностороннюю гиперболу (одну ее ветвь) с центром в точке о. Для построения применены сферы с общим центром в точке пересечения осей цилиндров. Сфера (Сф. /), вписанная в цилиндр большего диаметра, позволяет найти точку / — вершину гиперболы ). Сферы с большим радиусом дают другие точки искомой проекции кривой (например, сфера Сф. 2, точка ЗУ, если при этом радиус больше отрезка о 2, то получаются точки (например, 4) вне общей площади проекций обоих цилиндров. [c.289]

В виде какой линии проецируется биквадратная кривая на плоскость параллельную обшей плоскости симметрии двух пересекающихся поверхностей второго порядка [c.296]

В отдельных случаях биквадратная кривая пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на линии низших порядков. Эти особые случаи отвечают следующим теоремам. [c.107]

Так как все кривые второго порядка — плоские (плоскость, проходящая через три точки кривой, должна содержать всю кривую целиком), то простейшие пространственные алгебраические кривые — третьего порядка. Получить все возможные пространственные кривые третьего порядка можно на основе следующего предложения кривая и-го порядка проектируется из своей обыкновенной точки конусом я—1-го порядка. Действительно, плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечёт его только по образующим, проходящим через точки её пересечения с кривой число же их, не считая вершины конуса, равно п—1. Из этого же рассуждения видно, что если вершину конуса выбрать в особой, двойной точке кривой (узел и изолированная точка являются двойными, см. [1]), то порядок конуса снизится по сравнению с порядком проектируемой кривой на две единицы, так как на счёт вершины конуса придётся относить не одну, а две точки пересечения плоскости с кривой. Если Ж и — две точки кривой третьего порядка, то, проектируя её из этих точек, мы получим её, как пересечение двух конусов второго порядка с вершинами в точках уИ и имеющих общую образующую МЫ. Здесь кривая пересечения конусов распалась на пространственную кривую третьего порядка и на прямую — кривую первого порядка . Характерно то, что сумма порядков частей распавшейся кривой равна порядку полной кривой пересечения двух конусов второго порядка — четырём. Пример кривой третьего порядка мы видели на черт. 10, где два конуса второго порядка пересекались по образующей и кривой третьего порядка. Следующее за кривыми третьего порядка место по простоте занимают биквадратные кривые. [c.266]

Некоторые случаи упрощённого построения проекций биквадратной кривой [c.269]

Если биквадратную кривую (или вообще — пространственную кривую четвёртого порядка) проектировать из некоторой точки пространства (бесконечно удалённой или конечной), то в результате получается проектирующий цилиндр или конус, вообще, четвёртого порядка. Но в не- [c.269]

Рассмотрим те случаи, когда биквадратная кривая проектируется в том или ином направлении (или из того или иного центра) цилиндром (соответственно конусом) второго порядка. [c.270]

В общем случае существуют четыре центра, из которых данная биквадратная кривая проектируется конусами второго [c.270]

Действительно, рассмотрим цилиндр F, проектирующий линию их пересечения перпендикулярно к их плоскости симметрии, которая тем самым является и плоскостью симметрии для биквадратной кривой, служащей линией их пересечения. Произвольная плоскость, параллельная образующим цилиндра, пересекает кривую в четырёх точках, но, вследствие симметрии, эти точки попарно расположены на двух образующих цилиндра, откуда и видно, что F — цилиндр второго порядка. [c.270]

Можно показать [181, что при определении условий управляемости замыкающего устройства следует рассмотреть три характерные области, разделенные на графике а (z) граничными кривыми 1 и 2 (рис. 81). Эти условия, полученные на основании зависимостей (6.62), (6.63) и (5.185), могут быть записаны следующим образом для области 1 z z для области II 2 Z Z+ для области III г -э г+. Здесь 2 и 2+ — соответственно меньший и больший корень биквадратного уравнения [c.275]

В ряде случаев имеет место пересечение одной поверхности вращения второго порядка другою. При этом, как и для всех алгебраических поверхностей второго порядка, получается пространственная кривая четвертого порядка, называемая биквадратной. [c.288]

Какая кривая называется биквадратной [c.296]

Получить в явном виде достаточное условие того, что все корни (2.6) комплексные, довольно сложно, однако при С 1 это условие легко находится. Действительно, при х = О н а = О уравнение (2.6) биквадратное. При с = О ось абсцисс касается кривой fiq) = О в точке q = 0 при Ь > О два других корня чисто мнимые. Ес.ли то большие корни q iib) изменя- [c.100]

В некоторых частных случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго гюрядка, причем одна из них может бьт, мнимой. [c.125]

Плоские кривые пересечения (части одной биквадратной кривой) изображаются на фронтальной плоскости проекций прямыми и С2р2, так как эти кривые лежат в плоскостях, проходящих через прямую АВ А В1, А В , и поэтому фронтально-проекти-рующих. [c.305]

В случае, если диаметр цилиндра, пересекающего сферу, равен ее радиусу и образующая цилиндра проходит через центр сферы (рис. 422), получается биквадратная кривая, носящая название кривой Ви-виани ), Ее фронтальная проекция является параболой. [c.294]

Винченцо В и в и а н и (1622—1703), математик и архитектор, ученик Галилея, применял эту биквадратную кривую для окон в с( ерическом купола [c.294]

Решение в графическом виде изображено на фиг. 3. 20, где представлена зависимость х = г (и). На графике можно видеть изображения парной критической скорости — абсциссы точек пересечения ветвей кривых с осью со, для которых fx = 0. Заштрихованная область, расположенная между двумя критическими скоростями, является областью неустойчивости , что видно из графика, так как при скорости враш,ения, значение которой лежит между oi = Y jm и (Hg = Y jm, пропадают два периодических колебания (в верхней и нижней полуплоскости), вместо которых, очевидно, должны суш,ествовать два непериодических колебания — одно затухающее, а другое нарастающее во времени. Аналитическим условием неустойчивости в этом случае будет отрицательное значение свободного члена биквадратного уравнения при Oi < со < СОз. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...