Плоскость родства

В случае родственного преобразования пространства вместо оси родства как геометрического места двойных точек будем иметь плоскость родства Но (рис. 48). Каждая точка А пространства преобразуется в определенную точку А того же пространства и обратно. Пары соответственных точек лежат на параллельных прямых АА ВВ СС . ..). Прямая линия т преобразуется в прямую т, причем обе прямые пересекаются на плоскости родства в своей двойной точке В . Каждая плоскость преобразуется в новую плоскость, причем обе родственные плоскости пересекаются по прямой которая является двойной прямой и лежит в плоскости родства. Так как родственное соответствие определяет параллельное проектирование расположенные на соответствен- [c.48]

Родственное преобразование пространства аналогично преобразованию на плоскости. Вместо оси родства это преобразование определяется плоскостью родства и двумя соответственными точками, прямыми или плоскостями. Прямая, соединяющая соответственные точки, определяет направление родства. , [c.120]

Построим горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей параболоиду щ)ащения, а затем проведем через точку С произвольную прямую и, отметив точку 1 ее пересечения с плоскостью родства R, построим родственную ей прямую, а на ней - горизонтальную проекцию точки С. [c.121]

Родственное преобразование пространства можно рассматривать как непрерывную деформацию пространства по направлению родства, при этом пространство может растягиваться и сжиматься в сторону плоскости родства. [c.121]

Первое преобразование зададим плоскостью родства S, родственными плоскостями Р и Р и направлением преобразования, перпендикулярным плоскости Н. В результате трехосный эллипсоид преобразуется в эллипсоид вращения, фронтальной проекцией которого будет круг. Фронтальная проекция с точки преобразуется в точку с. [c.121]

Второе преобразование зададим плоскостью родства R, родственными плоскостями и Q и направлением родства, перпендикулярным фронтальной плоскости. Эллипсоид вращения преобразуется в сферу. Построим горизонтальную проекцию с точки С на сфере, а затем обратным преобразованием - ее горизонтальную проекцию с на эллипсоиде с помощью родственных прямых, параллельных R и проходящих через соответственные точки d и d. [c.121]

Родственное преобразование поверхностей второго порядка. Преобразуем вытянутый эллипсоид вращения в сферу (рис. 297). Плоскость родства I примем параллельной плоскости П1 и проходящей через центр эллипсоида. Точка К (ее фронтальная проекция /Са) пересечения поверхности с осью вращения преобразуется в точку К (Кз) окружность, по которой поверхность пересе- [c.193]

Пользуясь преобразованиями, можно найти, например, горизонтальную проекцию точки С, лежащей на первоначально данном эллиптическом гиперболоиде и заданной ее фронтальной проекцией Са. При первом преобразовании направление двойных прямых было перпендикулярным плоскости Па, поэтому фронтальная проекция преобразованной поверхности не изменится по сравнению с фронтальной проекцией поверхности непреобразованной. Проведя через точку С окружность с центром на оси преобразованной поверхности, построим горизонтальную проекцию окружности. Установив проекционную связь, найдем точку . Проведем через точку Щс ) произвольную прямую и, отметив точку ( х) ее пересечения с плоскостью родства 2, построим родственную ей прямую, а на ней — точку С(С1). Продумайте, как построить фронтальную проекцию точки, принадлежащей поверхности, если известна ее горизонтальная проекция. [c.196]

Пересечение поверхности второго порядка и плоскости. В случае, когда дана по- верхность 2, например, трехосный эллипсоид и нужно найти линию ее пересечения с плоскостью АВС (рис. 331), можно воспользоваться родственным преобразованием. Заключим фронтальную проекцию эллипсоида в прямоугольник со сторонами, соответственно параллельными и перпендикулярными линиям проекционной связи и проведем диагональ i>2 прямоугольника. Взяв на диагонали произвольную точку L, проведем через нее горизонтальную плоскость 2, которую будем рассматривать как плоскость родства. Прямую Ьз, родственную прямой Ьз, проведем под углом 45° к прямой 2г. Направление двойных прямых примем параллельными линиям проекционной связи. Теперь родство задано. Фигурой, родственной эллипсу — фронтальной проекции эллипсоида, будет окружность (почему. ), а сама поверхность преобразуется в эллипсоид вращения с осью, перпендикулярной плоскости Па. Построим фронтальную проекцию преобразованной плоскости АВС, для этого через точки Аз, Вз и Сз проведем прямые, параллельные Ьз, а через точки их пересечения с прямой 1 а — прямые, параллельные Ьз- Построив двойные прямые, проходящие через точки Аз, Вз и Сз, отметим точки их пересечения с соответствующими прямыми, проведенными, под углом 45° к плоскости родства.При таком построении фронтальная проекция фигур будет не только сжатой в направлении двойных прямых, но и перевернутой (точка 42 была выше точки Сз, на преобразованной же проекции точка Лг ниже точки Са). Для дальнейших построений это не имеет значения. Такого перевертывания можно избежать (см. рис. 298). [c.219]

В практических задачах вершина конуса часто недоступна. Покажем, как построить точки пересечения боковой поверхности усеченного конуса и прямой в этом случае (рис. 346). Зададим родство горизонтальной плоскостью родства 2, горизонтальными родственными плоскостями X и 1 и направлением двойных прямых, перпендикулярных к этим плоскостям (т. е. вертикальных) преобразуем конус с верхним основанием, [c.231]

Возьмем теперь эллипсоид вращения (на рис. 352, б дана его фронтальная проекция). В качестве центра проекций 5 примем точку пересечения оси вращения с эллипсоидом, т. е. его вершину, а плоскости проекций — плоскость 2, перпендикулярную оси. Рассечем эллипсоид плоскостью I, получив при этом эллипс (см. /124/) с большой осью А В- Спроецируем эллипс из точки 5 на плоскость 2. Его проекцией будет эллипс с осью А В, который можно рассматривать как сечение конической поверхности второго порядка с вершиной 5 и направляющей — эллипсом с осью АВ. Проведем родственное преобразование %сех фигур, задавшись плоскостью родства Р, проходящей через центр эллипсоида перпендикулярно его большой оси, двумя родственными плоскостями 2 и 2, параллельными плоскости ЧГ и проходящими соответственно [c.236]

В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения боковых поверхностей двух усеченных конусов, изображенных на рис. 365. Воспользуемся родственным преобразованием. Зададим роДство горизонтальной плоскостью родства 2 и горизонтальными родственными плоскостями S и1Г. Направление двойных прямых [c.247]

Преобразуем вытянутый эллипсоид вращения в сферу (рис. 285). Плоскость родства (понятие, аналогичное понятию плоскость гомологии) X примем параллельной П, и проходящей через центр эллипсоида. Направление двойных прямых преобразования примем перпендикулярным плоскости родства.. [c.102]

Пусть вершина эллипсоида К (К2) соответствует точке X (К2) сферы. Тогда родство задано плоскостью родства 2 ( 2) и парой родственных точек К (К2) и К (К2), т. е. Я (5Й Е К К). Сравните с /51/. Окружность, по которой эллипсоид пересекается с плоскостью родства (экватор эллипсоида), соответствует сам себе (все точки окружности — двойные). [c.102]

Родственное преобразование отсека эллиптического параболоида в отсек параболоида вращения показано на рис. 286. При данном расположении фигуры ее горизонтальной проекцией является эллипс. Расположим окружность диаметром = 2 2 так, чтобы она была в проекционной связи с фронтальной проекцией параболоида. Возьмем на эллипсе произвольную точку ), и, проведя линию связи, отметим родственную ей точку О, на окружности. Аналогично построим точки С,, Е, и f родственные соответственно точкам С,, Е, и f Проведя прямые 1 ] и ,Р,, отметим точку их пересечения. Найдем точку 2, пересечения прямых и 0)С,. Через точки У, и 2, проходит прямая Е,—горизонтальная проекция плоскости родства I. Теперь родство задано плоскостью родства I и парой родственных точек, например О и Д т. е. Я (5 I О О). Направление преобразования перпендикулярно П2 и совпадает с направлением проецирования, поэтому фронтальные проекции параболоидов данного и преобразованного совпадают. Горизонтальной проекцией отсека преобразованного параболоида является круг диаметра А, В,.. [c.103]

Хотя эллипс будет соответствовать окружности, направление двойных прямых совпадет, но плоскость родства займет другое положение. Найдите эту плоскость самостоятельно (см. рис. 48). [c.103]

Два последовательных родственных преобразования. Преобразуем трехосный эллипсоид в сферу (рис. 287). При первом преобразовании родство зададим плоскостью родства Е, родственными плоскостями П и О и направлением преобразования, перпендикулярным П,. В результате трехосный эллипсоид преобразуется в вытянутый эллипсоид вращения, фронтальной проекцией которого будет круг. Фронтальная проекция С2 точки С, инцидентной эллипсоиду, преобразуется в точку С . Вторым преобразованием с плоскостью родства Ф, родственными плоскостями в и 0 и направлением преобразования, перпендикулярным П2, эллипсоид преобразуется в сферу. При этом эллипс с большой осью, проходящей через точку В. преобразуется в окружность диаметра, равного малой оси того же эллипса. Точка С, преобра- [c.104]

Приняв плоскость П в качестве плоскости родства, а направление преобразования перпендикулярным П1, родственно преобразуем эллипсоид в сферу (см. рис. 285). Одновременно преобразуем и конус, проецирующий сечение А В на плоскость П. В результате сечение [c.126]

При решении технических задач проекции вершин конических поверхностей могут быть расположены за пределами чертежа. Для построения линии пересечения таких поверхностей воспользуемся родством (рис. 355). Зададим родство плоскостью родства П, проходящей через нижние основания усеченных конусов, родственными плоскостями 2 (проходящей через верхние основания конусов) и I и направлением преобразования, перпендикуляр- [c.133]

Задавшись плоскостью родства 2, параллельными родственными прямыми, проходящими через точки Е, и /, и направлением преобразования, перпендикулярным П2, преобразуем трехосный эллипсоид в вытянутый эллипсоид вращения (см. /51/). Одновременно преобразуем и направление лучей света. После преобразования оно станет (/] /2). Приняв в качестве плоскости родства О и задав родство направлением преобразования, перпендикулярным П], и параллельными родственными прямыми, проходящими через 82 и 5 , преобразуем эллипсоид вращения в сферу. В результате преобразования направление лучей света станет [c.249]

Плоскость, проходящая через точку с и прямую Л, установит на картинной плоскости родство, с котором точки [c.40]

Задание плоскости на чертеже. Родство [c.30]

Так как плоскость однозначно опре деляется тремя точками, точкой и прямой, двумя пересекающимися или параллельными прямыми, то родство Т или, что то же самое, плоскость Ф задается проекциями указанных трех точек, точки и прямой, двух пересекающихся или параллельных прямых. Впредь способ задания плоскости будем указывать обозначениями соответствующих элементов, заключенных в круглые скобки и записанных после обозначения плоскости. Например, Ф(А,В,С) — плоскость Ф, заданная точками А, В, С, или ее модель — родство Г, заданное тремя парами соответственных точек А, [c.30]

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. На рис. 2.9 точка М принадлежит плоскости Ф А, В, С), так как она принадлежит горизонтали А этой плоскости. Построение недостающей проекции точки, прямой по заданной их одной проекции из условия принадлежности данной плоскости называют также построением соответственных точек и прямых в родстве. [c.31]

Родство — модель плоскости на чертеже Монжа [c.197]

При рассмотрении задания плоскости на чертеже Монжа (п. 2.2) было показано, что моделью плоскости является родственное (перспективно-аффинное) соответствие, устанавливаемое между полями горизонтальных и фронтальных проекций точек данной плоскости. При этом были сформулированы его основные свойства, непосредственно вытекающие из свойств параллельного проецирования. Было отмечено, что родство имеет двойную прямую d = /2, называемую осью родства. Она представляет собой совпавшие проекции линии пересечения данной плоскости с биссекторной плоскостью четных четвертей. Отсюда следует широко используемый способ задания родства [c.197]

Как было показан( , плоскость обще го положения S моделируется род ством, которое удобно задавать парой соответственных точек Л /1, и осью i/j - (J2 родства (см рис. 6.10). В общем случае направление Л Л2 родства не перпендикулярно оси с/, = il2 po/i-ства и отрезки Ayl, Л24, где 4 = A /l2 п d (б/ = i/2), нс раины. [c.199]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

Двойное родственное преобразование. Преобразуем трехосный эллипсоид в сферу (рис. 299). При первом преобразовании родство зададим плоскостью родства I, родственными плоскостями 2 и У и направлением двойных прямых, перпендикулярным плоскости Пх. В результате преобразования трехосный эллипсоид преобразуется в вытянутый эллипсоид вращения, фронтальной проекцией которого будет круг. Фронтальная проекция Са точки С, лежащей на поверхности эллипсоида, преобразуется в точку Вторым преобразованием с плоскостью родства ф и родственными плоскостями 0 и 6Г эллипсоид преобразуется в сферу. При этом эллипс с большой осью, проходящей через точку В, преобразуется в окружтсть диаметра, равного малой оси того же эллипса. Точка Сх преобразуется в точку Сх. Чтобы ее найти, достаточно провести родственные прямые, параллельные прямой фх и проходящие соответственно через точки Ох и Ох построив дайную прямую СхСх, нужно [c.195]

Чтобы построить линию пересечения поверхности второго порядка общего вида, например с призматической поверхностью, целесообразно, воспользовавшись родством, преобразовать поверхность второго порядка в поверхность вращения. Пример приведен на рис. 382. Зададим родство фронтальной плоскостью родства 2 и родственными фигурами — эллипсом а и окружностью а. Направление двойных прямых примем перпендикулярным плоскости родства. Подобные преобразования мы выполняли выше, поэтому ограничимся описанием второй части задачи. Рассечем преобразованные поверхности горизонтальной плоскостью S, которая с однополостным гиперболоидом вращения пересечется по окружности, а с призматической поверхностью — по ее образующим. В месте пересечения этих линий располо ны точки А Аг, Ат) и В(Ва fii)- Найдем точки А и Вх, соответственно родственные А и Вг. Аналогично ищутся и другие точки линии пересечения, среди которых должны быть и опорные, лежащие на ребрах призматической поверхности и очерке поверхности второго порядка. [c.257]

Задавшись плоскостью родства X, параллельными родственными прямыми, проходящими через точки 1 и Е/, и направлением двойных прямых, перпендикулярным плоскости Па, преобразуем трехосный эллипсоид в вытянутый эллипсоид вращения. Одновременно преобразуем и направление лучей света. После преобразования оно станет параллельным прямой, заданной ее проекциями и /а. Принйв в качестве плоскости родства плоскость 2 и задав родство двойными прямыми, перпендикулярными плоскости П1 и параллельными родственными прямыми, проходящими через точки 5а и преобразуем эллипсоид вращения в сферу. В результате преобразования направление лучей света станет параллельным прямой, проекциями которой являются прямые /, 11 [c.471]

На рис. 288 изображен отсек двуполостного гиперболоида (решение не изменится, если это будет эллиптический параболоид или трехосный эллипсоид). Нужно преобразовать его в отсек сферы произвольного диаметра. Вначале преобразуем поверхность в двуполостный гиперболоид вращения. Для этого воспользуемся родственным Преобразованием, задав родство плоскостью родства Z ( i) П и родственными точками А а А. В результате преобразования горизонтальной проекцией отсека станет круг, фронтальная проекция отсека не изменится (почему ). [c.104]

Пересечение поверхности второго порвдка и плоскости. Если поверхность второго порядка — линейчатая, построения можно выполнить в соответствии с описанием к рис. 308, если поверхность вращения, то в соответствии с рис. 307. Нелинейчатая поверхность второго порядка — трехосный эллипсоид и пересекающаяся с ним плоскость АВС даны на рис. 321. Используя родство, преобразуем трехосный эллипсоид в эллипсоид вращения (см. пояснения к рис. 287). Зададим родство плоскостью родства Г и родственными точками Я(Я1) и Я(Я,). Горизонтальная проекция эллипсоида — эллипс преобразуется в круг, треугольник Л,Л,С, —в треугольник Л,5 С, (нужно учесть, что преобразованная проекция как бы перевернуга по сравнению с проекцией, не преобразованной). [c.119]

В практических задачах вершина конуса иногда недоступна. Покажем, как решить задачу в этом случае (рис. 333). Зададим родство горизонтальной плоскостью родства П, горизонтальными родственными плоскостями I и I и направлением преобразования, перпендикулярным к ним. Преобразуем конус с верхним основанием, которому инцидентны точки А к В, в конус с в хним основанием, проходящим через точки А и В. Все точки нижнего основания двойные. Построим вершину преобразованного конуса 5 и преобразуем прямую а в а (точка двойная, С преобразуется в С). Теперь расположение фигур аналогично приведенному на рис. 332. Проведя необходимые построения, найдем точки К и М,. Фронтальные проекции точек могут быть найдены без промежуточного построения родственных им, (Почему в результате преобразования не изменилась горизонтальная проекция фигур ) [c.123]

С1 п >12С2. Прямая с/, вается осью родства и представляет собой совпавшие проекции линии пересечения данной плоскости Ф(>1, В, С) с биссекторной плоскостью четных четвертей. Проекции всех прямых плоскости Ф А, В, С) (соответственные [c.31]

С позиций начертательной геометрии построение образа гп2 прямой в родстве эквивалентно построению проекций Шр ГП2 линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости Г(Ш ) с данной гстоскостью Е, модщ1и-руемой на чертеже Монжа родством. Обобщая это утверждение, можно сказать, что построение образа 1П2 или А , некоторой линии или к, в родстве равносильно пост роению недостающей проекции / 2( 1) линии пересечения т(к) поскости Е с горизонтально проецирующей Г(т ) или фронтально проецирующей (к2) цшшндрической поверхностью. [c.199]

ОВ))... параллельны плоскости П и проецируются параллельными прямыми (А А ), (В О] )... Следовательно,прямая (ВоСо) является осью.родства, а прямая (А А) ) - направлением родства (см. рис.37). Это свойство сохранится и при параллельном проецировании на плоскость П. [c.40]

Тогда, если точку А и её проекцию Аь на плоскость Пь по направлению 5 П2 (рис.40, г) спроецировать на совмещённые плоскости П =Пг по направлению ЗзХП , мы получим эпюр Монжа. Но теперь между точками А-Аь и АрА установлено родственное соответствие, в котором направление родства перпендикулярно оси X, а плоскость Пь является носителем родства, т.е. ось родства расположена на ней. [c.44]

Итак, между полями фронтальной и горизонтальной проекции плоскости общего положения устанавливается рюдственное соответствие, в котором осью родства является линия пертесечения полей, а направление родства указывают линии проекционной связи. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...