Интегрирование в области комплексного переменного

Проводя интегрирование в области комплексного переменного [8], можно получить численные результаты для ряда случаев. [c.240]

Исключением одной из искомых переменных, например Ai0, система (4-34) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с правой частью, интегрирование которого легко выполняется разными методами. Применение для этой цели преобразования Лапласа в задачах динамики предпочтительнее, поскольку можно последовательно получить решение в области изображений (передаточные функции) и во временной области. В области комплексного [c.94]

Аналогичный трюк для второго матричного элемента, т.е. поворот контура интегрирования в нижний правый квадрат комплексной радиальной координаты, не проходит, так как подынтегральное выражение содержит также расходящиеся сферические волны, возникающие от промежуточных атомных состояний в составном матричном элементе. Они возрастают экспоненциально для больших значений радиальной координаты в этой области комплексной переменной. В работе [7.39] предложен метод рекуррентных соотношений, связывающих первый и второй матричные элементы друг с другом с составными матричными элементами низших порядков. [c.182]

Последнее равенство выражает ряд Фурье в комплексной форме. Разумеется, величина со имеет физический смысл круговой частоты колебаний только при положительных значениях распространение интегрирования на область отрицательных w является удобным математическим приемом симметризации . Если изменить во втором интеграле равенства (25.32) обозначение переменной интегрирования, что не влияет на величину интеграла, то можно записать [c.174]

Рассматривая плоскость комплексного переменного T-ftt, проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплексного переменного. В области, где т = — k, обход особой точки сверху, а в области т = -]-/г —снизу. Обход выполняется по контуру малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определении интеграла особенности исключаются и с помощью электронно-вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек пространства при тех или иных параметрах излучателя. Для области дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции [c.236]

Мы видели выше, что как в случае плоской деформации, так и в случае плоского напряжённого состояния при отсутствии массовых сил, решение задачи сводится к краевой задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция напряжений. При интегрировании бигармонического уравнения в двумерной области с успехом может быть использована теория функций комплексного переменного. Первое удачное применение теории аналитических функций к плоской [c.222]

Сделаем общее замечание. Все выражения интегралов, приведенные в этом параграфе, содержат комплексные функции, но переменные интегрирования вещественны. Ввиду этого области интегрирования оказываются обыкновенными одно-, двух- и трехмерными точечными пространствами перенесение свойств вещественных интегралов на комплексные получается непосредственно. Из всех выражений интегралов видно, что они полностью определяются интегралами от главной части (если задать комплексный аргумент). [c.84]

Решения, выведенные исходя из подобных особенностей для напряжений, часто можно использовать для тел (с отверстием или несколькими пустотами), напряжения в которых определяются вне областей с особенностями. В подобных случаях, а именно в случаях, когда функция напряжений вводится внутри двусвязных или многосвязных областей (вокруг отверстия, например), следует, однако, принимать некоторые предосторожности для выяснения, будут ли одна или обе составляющие скорости (или перемещения — для упругого тела) и vi v выражаться через многозначные функции координат X, у или г, а. Если возникает многозначное поле скоростей и, и, то в функцию напряжений F необходимо включить некоторые особые напряженные состояния, создающие искусственное распределение собственных напряжений ( внутренних напряжений ) вокруг отверстия. Такие условия встречаются, например, при использовании функций напряжений F= r nr [см. (5.67)]. Пока особенность располагается в точках, принадлежащих внешней граничной кривой, окружающей односвязную область,. это затруднение не возникает. С математической точки зрения поучительно исследовать характер этих особых решений, которые можно легко выразить в виде рядов. Можно исходить из комплексной функции H z) переменной z=x- -iy, имеющей особенность, и выводить из нее новые функции путем последовательного дифференцирования или интегрирования по z. [c.241]

В книге дано систематическое изложение математических методов решения задач дифракции монохроматических волн (электродинамика, акустика). Представлены как точные методы (разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексной переменной, метод собственных колебания), так и приближенные (вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимптотики). В каждом методе описаны в первую очередь его идея, область применения, связь с другими методами. Затем изложен, в наиболее простой постановке, аппарат метода и приведечы примеры его применения. Киига может служить введением в теорию дифракции и облегчить переход к чтению более узкоспециальных монографий и журнальных статен. [c.4]

Вычисление амплитуды поверхностной волны по заданным токам. Фор1мула (16.26) позволяет вычислить амплитуду поверхностной волны по полю создаваемому возбуждающими токами в вакууме. Существует другой способ вычисления этой амплитуды, при котором получается формула, содержащая непосредственно эти токи. Способ этот проще, он не требует интегрирования в плоскости комплексной переменной. Его недостаток состоит в том, что он не позволяет оценить дополнительное поле и указать область, где оно мало и где поэтому полное поле имеет в основном структуру поверхностной волны. Этот способ состоит в использовании леммы Лоренца для искомого и вспомогательного поля в качестве вспомогательного поля надо взять поле встречной поверхностной волны. Этот способ — аналог вычисления поля токов с помощью функции Грина (п. 12.3), роль которой играет вспомогательное поле. Изложим этот метод, опуская математическое доказательство законности проделываемых преобразований. [c.164]

Положение существенного участка интегрирования на плоскости h определяется координатой ф той точки пространства, для которой производится вычисление поля. С аналогичной ситуацией мы встретились в п. 16.4. Для области (16.22) существенной была, окрестность точки h k. Заметим, что хотя метод этого пункта, согласно (16.336), не применйм при ф = О, но формально (16.41) при ф = О дает ту же точку h = к. Это совпадение не случайно. Если перейти к плоскости комплексной переменной х (вместо А), то поле и в области (16.22) вычислялось бы методом стационарной фазы. Это преобразование мы делать не будем. [c.168]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Когда р принимает вещественные значения, линией интегрирования в (25.4) является дуга синусоиды х = 2е —/соР) У — reos р в плоскости комплексной пере- менной = а + iy. Это обстоятельство налагает опре- деленные ограничения на форму области, в которой функ- 1 ции ф (0, if>n(9, Хп(0 голоморфны. Если, как и в преды-д дущих главах, перейти к интегрированию по переменной [c.214]

Рассмотрим первый интеграл I,. Поскольку в области интегрирования и чисто мнимы, этот интеграл, взятый формально по действительной оси в комплексной плоскости переменной os0. также представляет собой чисто мнимую величину и поэтому не дает вклада в (23.16). Существенно, однако, что подынтегральное выражение /j имеет полюс, расположенный в верхней полуплоскости очень близко от действительного значения os 0 = os 0j, где os 0] определяется из условия обращения в нуль величины Z os2 20,4-. /Sin 20 — Z. Последнее условие соответствует поверхностным волнам Рэлея на свободной поверхности твердого тела. Значение os 0 в полюсе является корнем уравнения [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...