Сходимость по норме

Так как скалярное произведение непрерывно относительно сходимости по норме,, то из Ап- -Ао следует (П.1), т. е. из сильной сходимости следует слабая. Обратное утверждение неверно. [c.207]

Определенная таким образом сходи юсть называется сходимостью по норме. [c.21]

Пространство С является банаховым. Сходимость по норме является в этом пространстве равномерной сходимостью. [c.148]

Но величина Т зависит от Ч ", поэтому может существовать некоторая последовательность (нормированных) векторов такая, что при п оо необходимое значение Т стремится к бесконечности. Из этого видно, что даже сильная сходимость последовательности операторов не является столь сильным условием, как этого иногда хотелось бы. Фактически имеется сходимость третьего рода, называемая сходимостью по норме [c.164]

Отсюда следует, что сходимость по норме двух операторов означает, что имеет место и сходимость по норме их произведения. Поэтому ясно, что из условия Л(/) —>0 вытекает Л (/) —> 0. [c.165]

Слабая сходимость операторов зависит от выбора обоих фиксированных векторов в матричном элементе. Сильная сходимость оператора А t) означает равномерность относительно выбора левого вектора состояния в матричном элементе, а сильная сходимость оператора А (О — равномерность относительно выбора соответствующего правого сомножителя. Сходимость по норме соответствует равномерности относительно выбора обоих сомножителей. [c.165]

Теорема 5. Пусть в области (10) оператор-функция Л г) удовлетворяет условиям теоремы 2 и имеет угловые предельные значения в для п.в. Л Е Л. Предположим также, что при некоторых натуральных I и р оператор-функция Л (г) принимает значения в р и имеет угловые предельные значения в этом классе для п.в. Л Е Л. Тогда мероморфная в оператор-функция Т(г) = — имеет в смысле сходимости по норме угловые [c.68]

Здесь у х) — линейные функционалы, определенные на а сходимость рядов (9.2) — это сходимость по норме в ж соответственно [c.67]

Если для всех достаточно малых возмущений Sf имеет место представление (П.14), то нелинейный функционал F(f) называют дифференцируемым, а вариацию б/ —сильным дифференциалом, или дифференциалом Фреше функционала F(j) в точке / функционального пространства. Термин сильный используется ввиду того, что при оценке сходимости нелинейного остатка Ri(f, б/) к нулю применяется сильная сходимость б/ к нулю по норме L2 [см. П.З]. [c.217]

Для обеспечения сходимости вычислительного процесса автором разработан метод анализа и управления сходимостью. Анализ производился по норме вектора невязок ДД а управление заключается в переключении вычислений с одного метода на другой и переопределении фундаментальных циклов по принципу минимизации длины дерева. Вес ветвей принимается равным произведению Sx. [c.95]

Сходимость понимается по норме R . В координатном представлении [c.14]

Вопрос о сходимости рядов в (6.63), (6.67) и (6.67а) является несколько более трудным. Соответствующие ряды, полученные при решении уравнения (6.8) методом итераций, сходятся по норме, если Н — ограниченный оператор Я 1К оо ). В этом легко убедиться, если учесть то обстоятельство, что интегрирование производится только от до и что в области интегрирования оператор О является унитарным ). [c.168]

Следовательно, норма топологически эквивалентна нор-ме Цд 1 (,, т. е. сходимость элементов по одной из этих норм влечет за собой сходимость по другой. Поэтому при любом 9(—1<9<1) общий вид функционала/(л) в пространстве Еш с определением нормы (37) попрежнему будет задаваться формулой [c.198]

Переходя в этом равенстве к пределу при е- О, получим соотношение (2.4), поскольку последние два интеграла в правой части этого равенства стремятся к нулю при е О в силу сходимости и" по норме 2(й) и равномерной по г ограниченности р , а разность первых двух интегралов в правой части стремится к нулю в силу (2.5) при ф=( °, и°). Лемма доказана. [c.223]

Интересно также, но несколько труднее, найти скорость сходимости в- другой норме. Согласно следствию, напряжения, т. е. первые производные (м ), имеют ошибку порядка 0 h). Какова ошибка перемещения" Насколько быстро убывает е = = и — и по норме II е о [c.63]

К сожалению, эта теорема основывается на некоторых важных предположениях, которые во многих случаях могут быть несправедливыми. Во-первых, мы предполагали, что в 3) существует элемент и, который удовлетворяет уравнению (10.5) и минимизирует функционал (10.7). На вопрос о существовании элементов, реализующих минимум функционала / (и), ответ частично дается приводимой ниже теоремой, в которой используются понятия энергетической нормы и сходимости по энергии. Кратко поясним их. Новое определение скалярного произведения [и, г ] = Хи, V) приводит к новому определению нормы в а именно и = = [и, Эта норма называется энергетической нормой или [c.115]

Однако эта добавочная скорость не является окончательной, поскольку нет сходимости полученного решения к параметрам течения при заданных граничных условиях. Рассчитанная суммарная скорость, вообще говоря, должна иметь составляющую, направленную по нормали к поверхности обтекаемого тела. Источник, расположенный на контуре профиля, должен быть таким, чтобы полностью погасить эту нормальную составляющую. Этот линейный источник вводится в исходное уравнение так же, как точечные источники, представляющие изменение плотности и определяющие вид правой части уравнения. [c.174]

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения к сеточной функции точного решения Т/ при стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области вводят одно число, которое называют нормой по- [c.74]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Доказательстео теоремы 7.2. Часть а) - это просто утверждение теоремы 7.1. Для доказательства части Ь) вспомним (см. гл. Л, 2), что для ограниченных операторов из сходимости по норме следует сходимость по раствору. Тогда теоремы 2.3 и 2.2 гл, Л показывают, что [c.382]

Метод Ритца заключается в минимизации функционала I(и) на последовательности подпространств 5 . Основная теорема (стр. 54) устанавливает, что минимизирующая функция и есть проекция и на S , иными словами, л — ближайшая к и функция по норме энергии деформации а (и, и). Поэтому, если каждое подпространство 5 содержится в следующем (как это предполагается в классическом методе Ритца и обычно выполняется в методе конечных элементов, когда новые элементы строятся в результате разбиения старых), сходимость по норме энергии деформации монотонна при Л->0. Такова же и сходимость собственных значений. В тео рии Ритца это, возможно, и полезно, но не столь существенно монотонность последовательности подпространств 5 предполагается дополнительно, так что монотонность сходимости — дополнительный вывод. [c.339]

Для ограниченных упругих систем обратный оператор является вполне непрерывным (исключения могут составить системы с сильно заостренными элементами, однако эти системы следует рассматривать как искусственно сконструированные примеры). Определение вполне непрерывного оператора требует использования понятия сходимости и компактности в гильбертовых пространствах. Вполне непрерывный оператор улучшает сходимость последовательностей в соответствующем пространстве, преобразуя ограниченную последовательность в компактное множество, слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, и т. п. [c.170]

В (35. 14) оценивается скорость равносходимости рядов Y Pif и Z Q f- При / = 0 из (35.14) следует сходимость ряда X Pi — Qi) по норме операторов в Полагая т — оо, получаем оценку нормы остатка этого ряда полагая т = т, получаем оценку нормы общего члена. В частности [c.340]

При доказательстве теорем существования используют принцип сжатых отображений для исследования сходимости ряда по норме [48] и его модификации — метод мажорантных рядов Коши [146] или метод аппроксимирующих гамильтонианов [200]. Сущность этих методов состоит в том, что удается получить решение в конечном виде, мажорирующее ряд (28.7). Выбор мажоранты определяется конкретными особенностями гамильтониана. [c.304]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Лемма 27.6. Множество Бн <(1, 0) не содержит нуля. Действительно, в противном случае существовала бы последовательность 2я (1, 0) такая, что ы О при т- оо. Здесь могут иметься две возможности. Первая из них заключается в том, что все х> , начиная с некоторого большого номера тп, принадлежат одному и тому же множеству 2п(1, 0). Однако эта возможность исключается сразу, ибо в конечномерном пространстве слабая и сильная сходимость совпадают, и тогда х> стремилось бы к нулю по норме, что невозмончно, так как и н = 1. Вторая возможность [c.238]

Оператор (I+Bo)" ограничен, (I-l-Bo) (B—Во)—вполне непрерывен в /2°(0<сг<1) и при достаточно малых т) сколь угодно мал по норме. Тогда, если В(т)) и t(ri) аналитичны в окрестности точки TjsO, то, с учетом теоремы А, признака равномерной сходимости Вейерштрасса [11] и оценок (3.4.20), (3.4.21), из (3.5.2) вытекает аналитичность Р(т)) в окрестности точки т) = 0. Таким образом, требуется доказать аналитичность В(т)), 1(т)), определяемых соотношениями (3.4.10), (3.4.11). [c.132]

Вид этой оценки — типичный результат численного анализа. Отметим три факта. Показатель степени у к найти проще всего, так как он зависит лишь от степени полиномов. Он указывает скорость сходимости по мере измельчения сетки, этот эффект наблюдается при численном решении. Константа С зависит от конструкции элемента и его узловых параметров. Для правильных геометрических фигур можно найти хорошее асимптотическое значение С как ошибку в аппроксимирующих полиномах степени к (разд. 3.2). Третлй множитель й отражает свойства самой задачи, т. е. степень гладкости ее решения, и потому его легко оценить точно. Эта норма есть среднеквадратичное зцачение /г-й производной от и потому — в соответствии с теорией уравнений в частных производных — связана непосредственно с производными порядка к — 2т от функции /. [c.129]

В условиях теоремы 6 (даже при 7о = 71 = I) сходимости ВО по норме, вообще говоря, нет (по этому поводу см. статью Путнама [133]). Из теоремы 6, конечно, сразу вытекает, что при условии (14) оператор рассеяния 8 (Я(б ), Яо 7) слабо непрерывен. В действительности он будет непрерывным и в сильном смысле. [c.250]

Об устойчивости численного алгоритма решения задачи для бесконечной волноводной АР можно судить по характеру сходимости приближенных решений для одного из интегральных параметров решетки (например, коэффициента отражения), полученных при различной аппроксимации поля в раскрыве излучателя. На рис. 5.8 приведены зависимости расчетных значений коэффициента отражения от числа учитываемых волноводных Мв и пространственных М р гармоник антенной решетки без диэлектриков со следующими параметрами излучающей структуры ао=0,575Я,, >о=0,25Я,, di=dx—0fi25K, d2—dy— =0,ЗХ. Расчеты проводились для четырех положений луча в пространстве, соответствующих излучению по нормали к решетке, отклонению в плоскости Е и плоскости Я, а также направлению с большим значением коэффициента отражения (0=45,3°, ф=25,6°). [c.157]

Отметим, что из сходимости некоторой последовательности в пространстве На (т. е. по энергии) вытекает сходимость и в норме исходного пространства. Действительно, пусть На в последовательность Нп На, и пусть ып — н ->-0, тогда и IIЫл — 11 0 вследствие (11.48). [c.134]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

Обработка опытного материала по определению границы беспульсационного режима, приведенная в [В-40], показала вполне удовлетворительную сходимость. Эта зависимость включена в нормы гидравлического расчета существующих типов котлоагрегатов для оценки необходимой величины относительного дросселирования труб [В-5]. [c.9]

В СССР наиболее важные функции по контролю за качеством работы аналитических подразделений выполняют Территориальные органы Госстандарта, осуществляющие в установленном порядке государственный метрологический надзор. Однако по изложенным в гл. I причинам он должен дополняться другими формами контрольной деятельности, в частности ведомственных метрологических служб. Наряду со схемами внешнего контроля за точностными характеристиками анализа, основанными на результатах межлабораторного эксперимента, существуют другие направления полного или частичного ре шения проблемы даже в тех случаях, когда отсутствуют СО химического состава. В наиболее законченном виде такая система контроля разработана Всесоюзным научно-исследовательским институтом минерального сь(рьв (ВИМС) Мингео СССР она предназначена дли оценки соответствия нормам фактического уровня повторяемости и межлабо-раторной воспроизводимости. Контроль сходимости не предусмотрен, поскольку все рабочие измерения выполняют как единичные. Любой единичный результат анализа может стать объектом внешнего или внут-рилабораторного контроля, что обусловлено повышает ответственность операторов за качество измерений. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...