Средняя энергия моды

Вопрос о нахождении распределения энергии равновесного излучения по спектру сведен к определению средней энергии моды колебаний. В [c.70]

Для вычисления <Е> положим, что стенки полости находятся при температуре Т. В соответствии со статистикой Больцмана вероятность dp того, что энергия данной моды в полости лежит между Е и Е - г dE, есть dp = С ехр[—( /fe7 )] / , где С — константа. Таким образом, средняя энергия моды < > дается выражением [c.30]

Таким образом, нахождение Wa,(T) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия кТ/2. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна кТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. В (50.13) положим <е>=кТ, (50.14) [c.305]

Из сказанного следует, что каждую моду колебаний с классической частотой D (к, s) можно возбудить с помощью целого числа квантов Й(о (к, s) энергии. При этом величина л (к, s) в формуле (5.70) имеет простой смысл — это число фононов данного сорта с импульсом р и энергией Й(о(к, s). Во многих задачах, связанных с тепловыми свойствами твердых тел, необходимо знать среднее число фононов <п(к, s)> с энергией Йш(к, s), существующих в данной моде колебаний при температуре Т. Для нахождения <л(к, s)> воспользуемся выражением для средней энергии квантового осциллятора, полученного Планком [c.162]

Если считать, что число осцилляторов, колеблющихся с энергией пШ, пропорционально то среднюю энергию одного осциллятора или моды колебаний (по определению среднего) можно описать выражением [c.166]

Этим выражением для средней энергии квантового осциллятора, без вывода, мы уже пользовались в гл. 5 для подсчета среднего числа фононов < (к, s)> с энергией Й.(о(к, s), соответствующих в данной моде колебаний температуре Т. [c.167]

МЫ свели к совокупности слабо связанных волн с волновым вектором к и частотой аз (к, s), распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой такой волне (или нормальной, моде колебаний) мы сопоставили гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой со (к, s), в движении которого принимают участие все атомы твердого тела. В соответствии с формулой Планка средняя энергия каждого такого осциллятора. [c.169]

Отсюда средняя энергия, приходящая на моды с частотой ш, [c.71]

Получив выражение для p(v), мы можем теперь перейти к вычислению плотности энергии pv, поскольку она является произведением числа мод в единичном объеме и в единичном интервале частот p(v) на среднюю энергию каждой моды <Е>, т. е. [c.30]

Плотность излучения черного тела в единичном частотном интервале p(v) можно записать как произведение плотности энергии электромагнитных мод свободного пространства (с множителем 2, учитывающим случайную поляризацию) на среднюю энергию гармонического осциллятора [c.228]

Эту величину также можно представить как произведение средней энергии и, приходящейся на одну моду резонатора, на плотность мод в единичном частотном интервале p v). Таким образом, мы имеем [c.228]

У — средняя энергия, приходящаяся на одну моду [c.315]

Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод (50.12) равно числу степеней свободы системы. Если < е > является средней энергией, приходящейся на одну степень свободы, то плотность энергии стоячих волн равна [c.305]

Отсюда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой со, находим [c.305]

Поскольку %ща 1)а 1) есть средняя энергия излучения для одной моды в полости лазерного резонатора, то для напряженности Ра силы Га получается [c.303]

Выражение ( ) йш, фигурирующее в подынтегральном выражении в равенстве (15.3), есть средняя энергия возбуждения к-й моды. Примем, например, что наш луч имеет лоренцеву форму спектральной линии [c.152]

Частота колебаний плазмы — это частота самой низкой моды колебаний свободных электронов. Мы получили в п. 2.4 ( юрмулу (2.99). Типичные значения частоты колебаний плазмы (=со ,/2л) в дневное время лежат между Ю и 30 Мгц. Пусть к одному концу ионосферы приложена сила , создаваемая некоторой радиостанцией, работающей на типичных широковещательных частотах амплитудной модуляции порядка v=1000 кгц. В этом случае v< v , и ионосфера ведет себя как реактивная среда. Электромагнитные волны экспоненциально затухают, аналогично тому, что происходило в случае связанных маятников (см. рис. 3.11). При этом над ионосферой не совершается никакой работы, так как скорости каждого электрона сдвинуты на 90° по фазе по отношению к окружающему их электрическому полю. В случае системы маятников (см. рис. 3.11) средняя энергия, сообщаемая системе внешней силой, также равна нулю (затуханием пренебрегаем). Энергия, которая сообщается маятнику, возвращается им обратно в течение цикла. Несколько иначе обстоит дело в случае радиостанции и ионосферы. Станция получает обратно очень малую часть переданной в ионосферу энергии. Ионосфера не поглощает энергию, но волны отражаются к Земле, захватывая большой район и не попадая в передатчик. Такое отражение волн от ионосферы обеспечивает техническую возможность передачи радиоволн на большие расстояния к приемникам, находящимся вне поля зрения из-за кривизны поверхности Земли. Все это справедливо, если со меньше граничной частоты со ,. [c.136]

При вычислении спектра колебаний системы N атомов мы ввели ЗМ независимых гармонических осцилляторов, соответствующих ЗN модам колебаний системы. При конечных значениях температуры эти моды возбуждаются термически и полная энергия колебаний совпадает с тепловой энергией. Если система подчиняется классическим законам, то следует ожидать, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия КТ. Поэтому теплоемкость, равная производной тепловой энергии по температуре, не зависит от частот осцилляторов и равна [c.422]

Частота указанных переходов пропорциональна квадрату потенциала деформации, а значит, пропорциональна квадрату объемного расширения. Энергия соответствующей моды также пропорциональна квадрату объемного расширения, а при высокой температуре она должна быть пропорциональной КТ. Имеется, кроме того, зависимость частоты переходов от средней энергии электронов. [c.440]

В заключение отметим характерное свойство гироскопа (триплета) с моментами инерции, образующими арифметическую прогрессию. Оказывается, что такие триплеты наиболее активно преобразуют энергию средней (неустойчивой) моды. [c.55]

Убедиться в справедливости этой зависимости можно более наглядным образом, если предположить, что вклад в среднюю энергию тех мод, для которых мо,- > к Т, пренебрежимо мал, [c.28]

По законам квантовой механики энергия колебаний моды с частотой со может принимать только значения ( + )йсо, где п — любое положительное целое число, а 2лй — постоянная Планка. Если различные моды обмениваются энергией, как это обычно бывает в реальных кристаллах, то статистическая механика позволяет вычислить — среднее значение п в состоянии теплового равновесия [c.36]

Из представленных на рис. 37 данных следует, что для каждого значения частоты Q дисперсионные уравнения (1.6) обладают некоторым конечным числом вещественных корней и бесконечным числом мнимых корней. Первые корни соответствуют распространяющимся модам, переносящим энергию. Средний по времени поток энергии через поперечное сечение волновода в этих модах положителен. В то же время для нераспространяющихся мод, соответствующих чисто мнимым корням, средний поток энергии равен нулю. [c.114]

Интересной особенностью, связанной с наличием краевой моды в прямоугольнике, является уменьшение на единицу числа узлов в распределении (х, 1) при движении вдоль каждой спектральной кривой. Этот вопрос, а также вопрос о поведении собственных форм в зоне взаимодействия краевой и продольной мод, выделенной на рис. 63 кривой S, более подробно рассмотрен далее в главе 6 при изучении краевого резонанса в диске. Здесь мы остановимся на анализе распределения средней за период энергии по плош,ади прямоугольника для разных форм колебаний [47]. При этом особенности краевой моды получают еш,е энергетическое выражение. [c.189]

Одиночный импульс накачки с длительностью Ti/.2=5n , энергией 1F 3 мДж, длиной волны излучения Х= 1,054 мкм генерировался в лазере на фосфатном стекле с пассивной синхронизацией мод. Затем он вводился (с эффективностью 40 %) в короткий отрезок одномодового волоконного световода (L = l,3 м). В результате фазовой самомодуляции его спектр уширялся в среднем до 400 см 1. В качестве активной среды для реализации параметрического усиления был выбран кристалл DA, обладающий 90-градусным синхронизмом и весьма широкой полосой усиления Avy 2000 см (длина 4 см, взаимодействие е—оо). [c.193]

Потери энергии в неустойчивом резонаторе с конечной апертурой определяются как дифракционными, так и геометрическими, эффектами. Коэффициент потерь, определяемый модулем собственных значений уравнений (3.16), (3.17), сложно немонотонно зависит от геометрии резонатора. На рис. 3.17 представлены характерные зависимости коэффициентов потерь от эквивалентного параметра Френеля. В области малых Л з св различным модам соответствуют разные потери, уменьшающиеся с ростом Л экв. При некоторых (разных для различных мод) значениях параметра Френеля рассматриваемые зависимости претерпевают минимум. Затем потери растут вплоть до максимума. Дальнейшее возрастание Л э в реализует квазипериодическую зависимость а(Л зкв). При этом положение экстремумов характерно для каждой моды с возрастанием Л экв амплитуда изменения потерь уменьшается, а среднее значение коэффициента потерь стремится к значению, соответствующему геометрооптическому приближению (см. 2.4 и 5.3). [c.87]

Шую чувствительность при работе на больших расстояниях показал приемник РНЦ КИ. Немногим менее чувствительным (в среднем на 3 дБ) оказался приемник R6. В материале пустой трубы распространяются две основные волновые моды, соответствующие нулевым симметричной и антисимметричной модам Лэмба и имеющие скорости соответственно 5,4 и 3,3 мм/мкс. Антисимметричная мода превышает по амплитуде симметричную примерно на 20 дБ. Степень затухания волн в дальней зоне, т.е. на расстояниях, больших 5 м, соответствует около 0,2 дБ/м, что позволяет устанавливать приемники на расстояниях до 100 м друг от друга. При проведении локации в системе следует устанавливать скорость распространения волн, равную 3,3 мм/мкс. В заполненной водой трубе на первоначальном участке происходит быстрое затухание вышеуказанных мод за счет передачи энергии в воду. На расстоянии около 5 м от источника происходит формирование волны, распространяющейся по воде и имеющей скорость 1,5 мм/мкс. Затухание этой волны в дальнейшей зоне также составляет около 0,2 дБ/м, что позволяет устанавливать датчики на расстоянии до 100 м друг от друга. При необходимости локации источников АЭ следует принять скорость 1,5 мм/мкс. [c.155]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

При рассмотрении колебаний атомов кристаллической решетки а также теплоемкости твердых тел, связанной с этими колебания ми, предполагалось, что силы, действующие между атомами, упру гие и атомы совершают гармонические колебания с малыми ам плитудами около их средних положений равновесия. Это позволи ло разделить весь спектр колебаний на независимые моды, рассчи тать в этом приближении тепловую энергию кристалла и получить формулу для теплоемкости, хорошо описывающую ее поведение при низких и высоких температурах. Однако для объяснения ряда явлений, таких, например, как тепловое расширение твердых тел и теплопроводность, сделанных предположений уже недостаточно и необходимо принимать во внимание тот факт, что силы взаимодействия между атомами в решетке не совсем упругие, т. е. они зависят от смещения атомов из положения равновесия не линейно, а содержат ангармонические члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом температуры. [c.183]

Квантовополевая теория Э. К. основана на изучении вакуумных средних тензора энергии-импульса рассматриваемого квантованного поля, В квантовой теории поля для неограниченного пространства Минковского с евклидовой топологией плотность энергии вакуума 0 > полагают равной нулю, что сводится к изменению на Й(й/2 начала отсчёта энергии каждой моды. Приписывание вакуумному состоянию нулевых значений наблюдае.>иых следует также из его инвариантности относительно группы Пуанкаре. При наличии граничных условий, связанных с конечностью объёма квантования или с его нетривиальной топологией (возникающей, напр., при отождествлении определ, точек), имеется бесконечный набор разл. вакуумных состояний 0> для разных объёмов или параметров топологич. склейки. Данные состояния переходят одно в другое при адиабатич. (без возбуждения квантов) изменении параметров системы (напр., значения а). Поэтому физически некорректно приписывать всем им наперёд заданное (нулевое) значение энергии, тем более что при наличии границ отсутствует пуанкаре-инвариантность. Основной характеристикой Э. К. является регуляризованный вакуумный тензор энергии-импульса [c.644]

В приводах с импульсным управлением сигнал управления подается в виде последовательности импульсов, модулируемых (изменяемых) по ширине, амплитуде или частоте. Каждый импульс изменяет состояние распределителя скачком, что приводит к появлению импульсных управляющих воздействий на двигателе. Например, при широтноимпульсной моду тяции импульсы е подаются с постоянной периодичностью, но имеют различную длину, в результате чего распределитель находится некоторую часть периода в открытом, а остальную часть периода в закрытом состоянии (рис. 9.1,4). Соотношение между длительностями указанных частей периода определяется системой управления в результате обработки текущей ин< рмации (рис. 9.1.4, а). Чем меньшую часть цикла распределитель находится в открытом состоянии, тем меньше будет средняя интенсивность пропускаемого распределителем потока первичной энергии. Пульсация потока энергии в принципе может вызвать и пульсирующее движение привода. [c.541]

Наибольшее различие между этими двумя типами движений проявляется, естественно, при сопоставлении распределения по толщине слоя средней за период плотности потока мощности. Если для I = I2 суммарный поток по толщине, очевидно, положителен, то для 1 = з он отрицателен. Это, разумеется, согласуется со значением групповой скорости на соответствующих участках дисперсионных кривых. Важным, однако, здесь является то, что в обоих случаях в сечении слоя существуют точки с противоположным направлением потока энергии. Дальнейшие вычисления показывают, что такая ситуация характерна для различных х астков всех мод, кроме низшей, однако везде суммарный поток по сечению положителен. На рис. 51 показана часть дисперсионного спектра для v == = 0,35. Такое значение коэффициента Пуассона использовалось в работе [228] при сопоставлении теоретических и экспериментальных данных для алюминиевых полос. Полужирными линиями на рис. 51 выделены участки ветвей, для которых имеются локальные отрицательные значения Р . [c.143]

Мощность излучения в импульсе может быть оценена из закона сохранения энергии. Благодаря синхронизации мод практически вся энергия излучения, приходящаяся на промежуток времени Т=2Ьп1с, испускается в импульсе продолжительностью АТ=Т1М. Это означает, что мощность излучения в импульсе увеличивается в Т/АТ раз по сравнению со средней мощностью. [c.319]

Рис. 18.1. Модель затухания или усиления одной резонаторной моды. Поток эезонансных двухуровневых атомов проходит через полость (вверху) вблизи пучностей полевой моды. Атомы находятся в состоянии статистической смеси возбуждённого а) и основного 6) состояний, населённости которых задаются эаспределением Больцмана с температурой Т. Если в основном состоянии находится больше атомов, чем в возбуждённом (слева), то большее число атомов возбуждается полем полости, забирая его энергию, т. е. фотоны из резонатора, по сравнению с числом обратных процессов передачи возбуждения от атома к полю. Следовательно, поле резонатора, в среднем, теряет фотоны, то есть резервуар двухуровневых атомов с температурой Т приводит к затуханию этого поля. Отметим, что никаких измерений внутреннего состояния атомов, взаимодействующих с резонаторным полем, не производится. Для резервуара известны только населённости состояний, которые определяются температу-эой. Если атомы обладают инверсией, т. е. больше атомов в возбуждённом состоянии, чем в основном (справа), то они усиливают поле, передавая ему возбуждения. В такой ситуации населённости уровней описываются распределением Больцмана с отрицательной температурой

На основании этих результатов можно сделать вывод, что обмен энергией между внутренними и внешними степенями свободы в жидкой двуокиси серы осуш,ествляется как двойной релаксационный процесс. Колебательные моды наипизшей частоты (с меньшей энергией кванта) очень легко обмениваются энергией с волнами, так что соответствующее время релаксации очень мало ). Остальные колебательные моды обмениваются энергией с волной гораздо медленнее, а релаксационный процесс, по-видимому, характеризуется единственным (средним) временем релаксации. Значения этих времен релаксации настолько различны, что названные два релаксационных процесса проявлялись раздельно. [c.188]

Пусть теперь создана некоторая простая конфигурация струны, соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если мы ожидаем статистическое поведение системы, то ее термализация означала бы передачу энергии пз возбужденных мод во все остальные. Возбуждение новых мод должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой пз них в среднем были близки по значениям (равнораспределение энергий по степеням свободы). Этп рассуждения очевидным образом перёпосятся на цепочку осцилляторов (1.1). Необходимо лишь, чтобы N было достаточно велико (в работе [110] N достигало 64). Взаимодействие мод (или осцилляторов) осуществляется благодаря наличию нелинейных членов в уравнениях (1.1), (1.2). Поэтому даже прп [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...