Модули упругости изотропных материалов

Таким образом, связь между модулями упругости изотропных материалов выражается следующими формулами [c.205]

В пятидесятых годах прошлого века в Главной физической обсерватории в Петербурге академиком А. Я. Купфером (1799—1865 гг.) были проведены обширные опыты по определению модулей упругости многих материалов. Результаты опытов получили мировую известность. В начале пятидесятых годов профессор механики Петербургского университета М. Ф. Окатов (1836—1904 гг.) при помощи точных приборов оригинальной конструкции впервые достоверно определил числовое значение коэффициента поперечной деформации для стали. Им же было установлено, что сталь в отношении упругих свойств можно считать материалом изотропным, что в то время было далеко не ясно. За последнее время советскими учеными проведена большая работа по исследованию упругих свойств камней и бетонов, а также древесины как анизотропного материала, [c.36]

Коэффициент Пуассона fx наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала. Для всех изотропных материалов значения коэффициента Пуассона лежат в пределах 0—0,5. В частности, для пробки (i близок к нулю, для каучука — к 0,5, для стали fx 0,3. Значения модулей упругости Е и коэффициентов р для некоторых материалов приведены в приложении 9. [c.89]

Для изотропных материалов между модулем упругости G при сдвиге и модулем упругости Е ири растяжении существует определенная зависимость. Для получения ее рассмотрим деформацию элемента, претерпевающего чистый сдвиг (рис. 184). Найдем сначала удлинение диагонали АС, длина которой [c.199]

Анизотропия механических свойств возникает также у первоначально изотропных материалов в том случае, если они испытали пластическую деформацию. Таким образом, приобретенная анизотропия называется деформационной. Если по достижения заданного значения пластической деформации ер образец разгрузить, а затем вновь нагрузить, то модуль упругости уменьшится тем больше, чем большей была пластическая деформация. После продолжительного во времени отдыха значение модуля Е восстанавливается. [c.40]

Как уже ранее было отмечено, материалы, упругие свойства которых не зависят от направления, называются изотропными. В этом случае будет минимальное количество упругих постоянных, характеризующих упругие свойства такого тела. Таких упругих постоянных будет три— нормальный модуль упругости Е (модуль Юнга), модуль сдвига О и коэффициент Пуассона р. Между этими тремя упругими постоянными имеется следующая зависимость [c.40]

Между величинами модуля упругости Е и модуля сдвига G изотропных материалов существует зависимость, которую приводим без вывода [c.86]

Металлы, применяемые на практике, имеют поликристаллическое строение, поэтому в них обычно существенным является рассеяние, связанное с упругой анизотропией. Это явление заключается в том, что в кристаллах значения модулей упругости (а следовательно, и скоростей звука) зависят от направления относительно осей симметрии кристалла. С точки зрения упругих свойств вольфрам является изотропным материалом для некоторых других металлов анизотропия свойств возрастает в таком порядке магний, алюминий, титан, уран, железо, никель, серебро, медь, цинк. [c.194]

Расчетные оценки модулей упругости и сдвига пространственно-армированного композиционного материала с равномерной по углу плотностью распределения волокон можно найти в работе [44]. Из их анализа при допущении, что коэффициент Пуассона армирующего и связующего материалов равен 1/4, можно получить простые расчетные формулы для модулей Юнга и сдвига изотропного по эффективным свойствам материала [c.89]

Для понимания условий зарождения разрушения в материалах, армированных волокнами, оказывается крайне полезным иметь хотя бы качественное представление о распределениях напряжений и деформаций, возникающих под действием внешней приложенной нагрузки в структуре из близко расположенных параллельных волокон, погруженных в матрицу. Хотя волокна и матрица сами по себе могут рассматриваться как упругие изотропные и однородные тела, их модули Юнга, коэффициенты Пуассона и коэффициенты термического расширения весьма различны, поэтому, когда композит в целом подвергается изменению температуры или простому одноосному нагружению, в силу условий неразрывности на микроуровне возникают сложные напряженное и деформированное состояния. Исследователи, изучавшие композиты, давно это учитывали, однако уточненные решения были получены численными методами лишь после появления мощных вычислительных машин (например, [16]). [c.335]

Соотношения между модулями в классической теории упругости переносятся на случай вязкопластических материалов простой заменой действительных модулей соответствующими комплексными величинами. Для однородных изотропных материалов требуются только три модуля упругости, для того чтобы описать [c.94]

Расчет многослойной балки сводят к решению уравнений изгиба изотропной балки. Приводят сечение из различных по прочности материалов к сечению однородной балки умножением каждой работающей части сечения на отношение модуля упругости [c.132]

Закон Гука. Описывает линейную связь между напряжением и упругой деформацией (изотропное тело). Для нормальных напряжений а=гЕ, где Е — модуль упругости для касательных напряжений %=уО, где G — модуль сдвига. В- и (7-модули некоторых материалов приведены в табл. 26. [c.91]

Использование композиционных материалов конструкционного назначения для наземных транспортных средств имеет своей целью снижение массы и повышение эффективности использования топлива. Эта же цель предопределила создание композиционных материалов повышенной прочности для изготовления изделий методом прямого прессования. Содержание рубленого стекловолокна в интервале 50. .. 65 % с малым количеством или в отсутствие другого наполнителя в полимерной матрице позволяет получать листовые формованные изделия, из которых можно изготовлять детали, обладающие относительно высокой, но в достаточной мере изотропной (сбалансированной) прочностью, например с пределами прочности при растяжении до 207 МПа и при изгибе до 400 МПа. Если же необходимо иметь более высокие направленные показатели, как в случае использования пучков волокон для армирования (например, при изготовлении бруса буфера, объемном усилении секций опоры радиатора, а также деталей боковых и задних дверей), можно использовать армирование непрерывным волокном, имеющим одноосную ориентацию, как уже было сделано для ЛФМ предел прочности при растяжении сГв = 345. .. 550 МПа и модуль упругости при изгибе и = 21. .. 34 ГПа могут быть достигнуты при измерении в направлении ориентации непрерывного армирующего компонента. [c.497]

Существует три основных вида модулей упругости — модуль Юнга Е, модуль сдвига О и объемный модуль В. Простейшим типом материалов являются изотропные и гомогенные. Поведение таких материалов характеризуется значениями двух констант, и поскольку существует связь между Е, Он В, для описания упругого поведения изотропного тела достаточно любых двух из них. Для изотропных материалов [c.35]

Анизотропные материалы обладают различными свойствами в разных направлениях [1—4]. К их числу относятся, например, волокна, древесина, ориентированные аморфные полимеры, материал деталей, получаемых литьем под давлением, волокнистые композиционные материалы, единичные кристаллы и кристаллические полимеры с ориентированной кристаллической фазой. Очевидно, что анизотропные материалы более распространены, чем изотропные. Однако если анизотропия выражена слабо, часто ею можно пренебречь. Для характеристики упругости анизотропных материалов необходимо ввести больше чем два независимых модуля упругости — обычно не менее пяти или шести. Точное число независимых модулей определяется типом симметрии вещества [1—3]. [c.35]

Известно большое число методов определения модулей упругости. Наиболее распространенным является метод получения диаграмм напряжение — деформация (кривых а—е) при растяжении [5—7]. Для изотропных материалов модуль Юнга пропорцио- [c.37]

Для гомогенных изотропных полимеров зависимость прочности от шарового тензора напряжений (гидростатического давления) обоснована в работе [15], где показано, что увеличение гидростатического давления ведет к росту как деформационных, так и прочностных характеристик полимерных материалов. В случае хрупких материалов растет предел прочности, а в случае пластичных полимеров растет и предел высокоэластичности, и предел прочности. Характеристики прочности увеличиваются с ростом гидростатического давления примерно так же, как модуль упругости. [c.141]

Отметим, что если принять модули упругости ортотропного материала не зависящими от температуры и перейти к изотропному материалу, то получим выражение для параметров нагрузки [c.140]

Модуль упругости Е определяется опытным путем в результате специальных лабораторных испытаний. Модуль упругости Ей коэффициент Пуассона ц полностью определяют деформативные свойства изотропных материалов. [c.68]

Для композиционных материалов модуль сдвига G в 5. .. 10 раз меньше нормального модуля упругости, поэтому минимальное значение а р соответствует несимметричной форме разрушения. Коэффициент k, вычисленный по формуле (15), оказывается равным 0,3. .. 0,4 (табл. 3), в то время как осесимметричной форме соответствует k = 0,6. Аналогичные результаты вытекают также из работ [27, 31, 321. При рассмотрении выражения (15) можно отметить, что коэффициент устойчивости ортотропных оболочек а отличие от изотропных не является постоянным и зависит от соотношения упругих постоянных материала. Каждому из них соответствует свое значение верхней и нижней критической нагрузки. Это обстоятельство необходимо учитывать при анализе экспериментов и в практических расчетах. Аналогичные выводы можно получить н из [311. [c.160]

Изотропный материал можно рассматривать как частный случай ортотропного и трансверсально изотропного материалов, иллюстрированных выше. Ему отвечает случай, когда три системы стержней в решетке имеют одинаковые размеры. Как мы видели, для описания поведения изотропного материала нужны только две независимые упругие постоянные модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v. Модуль сдвига G связан с постоянными и v выражением (2.4.2). [c.189]

Для изотропных материалов в выражении закона Гука вместо тензора коэффициентов упругой податливости используют такие характеристики материала, как модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G = Е/[2 1—v)]. [c.24]

Следовательно, из четырех упругих постоянных Л, //, Е и модуля объемной деформации К = /3(1 — 2и) независимы только любые две. Размерности величин Л, /л, К, Е совпадают с размерностью напряжения или давления. Эти параметры положительны. Коэффициент Пуассона — величина безразмерная. Ограничение его возможных значений следует из условия X > О и //>0 — 2- Значение и = Y2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов > 0. Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница для и равна нулю, а не —1, но до- [c.32]

По сравнению с кристаллическими телами стекло отличается изотропным строением и характеризуется одинаковыми свойствами во всех направлениях. Стекло, являясь хрупким материалом, практически не обладает способностью к пластическим деформациям, характеризуется низкой прочностью при растяжении и высоким модулем упругости. [c.69]

Для изотропных материалов, имеющих одинаковые модули упругости во всех направлениях (асбестоцемент, алюминий и т.п.), получена формула [c.231]

При решении статических задач термоупругости при нестационарных температурных полях обычно предполагают, что напряженное состояние в каждый момент времени соответствует перепаду температур, который наблюдается в этот же момент. Инерционными членами в уравнениях упругости при этом пренебрегают. Статические задачи термоупругости легче поддаются решению, чем динамические, и к настоящему времени найдено в аналитическом виде достаточно большое число решений [2]. Однако полученные решения имеют достаточно сложный вид и не всегда удобны для практического применения. Кроме того, они получены с использованием приближений, не учитывающих отдельные особенности реальных материалов (материал считается однородным и изотропным, модули упругости и другие параметры материала считаются не зависящими от температуры и т. д.). Для практических целей часто прибегают к значительным упрощениям теоретических представлений и к экспе- [c.215]

Французский ученый Пуассон ввел этот коэффициент в сопротивление материалов и теорию упругости в начале 30-х годов прошлого столетия. Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости, является характеристикой упругих свойств материала. Для изотропных материалов модуль упругости и коэффициент Пуассона постоянны для любых направлений действия растягивающих и сжимающих сил. Для анизотропных материалов, у которых свойства в разных направлениях различны, устанавливается ряд значений этих постоянных, в зависимости от направлений. К таким материалам относятся древесина, слоистые пластмассы, камни, ткани. [c.70]

Для изотропных материалов модуль упругости находят упрощенно испытанием на растяжение. [c.165]

Сринивас и др. [143] исследовали однородные и многослойные пластины из изотропных материалов численный анализ был проведен для трехслойной пластины с несимметричным расположением слоев. Полученные для однородных пластин результаты показали, что классическая теория тонких пластин справедлива, если толщина не превышает 0,05 Ь (а Ь), а теория Рейсснера [120], учитывающая сдвиговую податливость материала, применима для пластин с толщиной до 0,10 Ъ а Ъ). Однако для трехслойных пластин погрешности, вносимые при расчете по этим двум теориям, возрастают с увеличением отношения модулей упругости материала слоев. [c.196]

Для обоснования того, что эта интерпретация является законной в некотором вполне определенном смысле, а также для получения оценок толщин слоев концентрации напряжений Эверстайн и Пипкин [12] проанализировали некоторые точные решения теории упругих трансверсально изотропных материалов. Предполагалось, что модуль Юнга Е вдоль волокон много больше модуля сдвига G. Коэффициент Пуассона v, определяющий уменьшение поперечных размеров в направлении, перпендикулярном волокнам, при приложении растягивающей нагрузки, также перпендикулярной волокнам, выбирался близким к единице. Оказалось, что теория упругости действительно предсказывает существование тонких слоев с высокой концентрацией напряжений там, где они должны быть согласно идеализированной теории. Было найдено, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль волокон имеет порядок (G/ ) / L, где L — характерная длина слоя. Было установлено также, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль нормальных линий, существование которых обусловлено малой сжимаемостью материала, имеет порядок (1—v) i L. В обоих случаях было показано, что максимум растягивающих напряжений с удовлетворительной точностью определяется делением результирующей силы, найденной по идеализированной теории, на, приближенное значение толщины. [c.298]

В качестве примера трансверсально изотропной среды специального вида рассмотрим слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных упругих материалов. Упругие постоянные й толщина высокомодульного армирующего материала и низкомодульной матрицы обозначаются через Xt, if, di и V, (Xm, dm соответ ственно (см. рис. 2). Согласно теории эффективных модулей, слоистая среда в целом является трансверсально изотропным материалом с осью в качестве оси симметрии следовательно, связь напряжений с деформациями можно описать уравнениями общего вида (12) — (17). Эффективные упругие модули Qi и т. д. были найдены в работах Ризниченко [57], Постма [56], Уайта и Ангона [79], Рытова [58] и Беренса [14] на основании [c.363]

Зависимость деформации от напряжения (при высоких значениях напряжения) также совершенно различна при нагрузке некоторых термопластов на сжатие и растяжение (см. рис. 6). Предел прочности на изгиб у изотропных пластмасс (или у таких пластмасс, которые можно считать изотропными) всегда выше их предела прочности на растяжение [23]. При нагрузке сравнительно мягких термопластов на сжатие целесообразно иметь данные о зависимости деформации от напряжения при различных температурах (рис. 23). При нагрузке хрупких материалов на изгиб нужно знать их пределы прочности (рис. 24). У термопластов с модулем упругости ниже 30 ООО кПсм обычно перед изломом (если он вообш,е наступает) происходит значительный прогиб, который на практике нельзя допускать. Поэтому вместо иллюзорного предела прочности на изгиб следует определять так называемое граничное изгибающее напряжение (см. таблицы свойств пластмасс). [c.34]

Влияние толщины ткани на прочность стеклопластика отражено на рис. 45. Как правило, слоистые стеклопластики, армированные рогожкой, можно считать изотропными, как и материалы, армированные неупорядоченными стеклянными волокнами. Ортотроп-ными же следует считать стеклопластики из специальных ориентированных рогожек и стеклянных тканей всех видов. На рис. 46 приведен пример ортотропии полиэфирного стеклопластика с тканевым наполнителем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков, тогда как пределы прочности при растяжении и сжатии в зависимости от направления сил различны. Механические свойства некоторых слоистых стеклопластиков приведены в табл. 4. Значения отдельных показателей армированных пластиков в [c.45]

Требования к материалу прозрачность, достаточная для просвечивания модели в полярископе отсутствие начального оптического эффекта достаточная оптическая активность материала изотропность и однородность линейная зависимость между напряжениями и деформациями и между напряжениями и порядковым номером полос и отсутствие заметной механической и оптической ползучести достаточная величина модуля упругости материала при его оптической активности, обеспечивающая отсутствие заметного искажения формы модели при нагрузке возможность механической обработки для изготовления моделей из илиток или блоков при исследовании методом замораживания — способность материала к замораживанию и достаточная величина показателя качества материала при исследовании методом рассеянного срета — оптимальные свойства рассеивания (высокая прозрачность, оптическая однородность) [32]. [c.580]

С М. непосредственно связан Д -эффект — зависимость модуля упругости Е изотропных (поликристал-лич. или аморфных) ферро-, ферри- и антиферромагнетиков от величины магн. поля. В отсутствие внеш. магн. поля, когда векторы Мд доменов свободны , механич. напряжение, наложенное на образец, вызывает обычно упругое удлинение Ед и удлинение 8 ,1 магнито-стрикционной природы, т. е. — о/(Ед 4- ё ), где — модуль упругости упорядоченного магнетика в размагниченном состоянии. Наложение сильного магн. поля, закрепляя все векторы Мд и вызывая магнитострикцию насыщения Яд, сводит к нулю е 1 т. е. модуль д магнетика, намагниченного до технического насыщения, равен — модулю при отсутствии М. Макс. Д -эф-фект кЕ Е , = ( "д — Е )1Ед. Расчёты показывают, что АЕ Е = ЛЯ /с д/Л/ , где -/о — нач. восприимчивость данного процесса намагничивания, А я 1 (численная константа), Т, о., макс. Дй -эффект велик в материалах с большой магнитострикцией, малой магнито-кристаллич. анизотропией, малыми внутр. напряжениями, Напр., у отожжённого N1 .Е/Ец 19—22%. У соединений с большой Яд (ТЬо аОуо.тЕва и иГе ) обнаружен Д.Б-эффект, достигающий 160%, [c.131]

М. а. используется также для количеств, измерений локальных модулей упругости материалов. Методом У(2)-характеристик в акустич. микроскопах на отражение измеряется локальная скорость рэлесвской волны в изотропных твёрдых телах. Измерения 1 (г)-ха-рактернстик с помощью цилиндрич. акустич. линзы позволяют определять скорости распространения поверхностных волн по разл. направлениям в анизотропных материалах и тем самым характеризовать локальную анизотропию этих материалов. [c.150]

Поэтому можно считать, что коэффициенты Vi. V4 в (1.58) характеризуют средние жесткости однонаправленного слоя соответственно при растяжении и сдвиге. Они могут быть использованы для сравнения средней жесткости анизотропных композиционных материалов с жесткостью конкурирующих с ними изотропных материалов 162]. Если анализировать среднюю жесткость композитов (она важна, например, при равномерном двухосном растяжении материала), то сравнивать Vi с Е/ 1 — v ) более целесообразно, чем сравнивать модуль ] однонаправленного материала с модулем упругости Е конкурирующего изотропного материала. Если же анализировать применение материала в условиях одноосного нагружения, последнее сравнение более разу.мно. [c.22]

Наиболее важными факторами, способными повлиять на предпочтение композиционного материала с титановой матрицей материалу с менее прочной матрицей, являются свойства во внеосевых направлениях и связанные с дорогостоящим методом трудности изготовления. Преимущества большей изотропности, достижимой с титановой матрицей, можно проиллюстрировать на примере системы титан — бериллий. Был изготовлен горячепрессованный материал Ti — 6% А1—4% V с применением 35 об. % переплетеной бериллиевой проволоки, обладавший в обоих главных направлениях модулем упругости 24-10 фунт/кв. дюйм (16 874 кгс/мм ) и прочностью 147 000 и. 84 ООО фунт/кв. дюйм (103,3 и 59 кгс/мм ) в продольном и поперечном направлениях. Композиционные материалы одноосноармированные бором (с покрытием или без него) обнаружили близкие значения жесткости в двух главных направлениях, но отличались значительно большим расхождением прочности вследствие расщепления волокон. В связи с этим представляется вполне очевидным, что одно из направлений будущих работ будет связано с попытками производителей волокна повысить прочность волокон этого типа в диаметральном направлении. Как указывалось ранее, заметное начало этому положило внедрение волокон диаметром 5,6 мил (0,14 мм). [c.333]

Ядро (21.1) весьма удовлетворительно отражает квазистати-ческое и динамическое поведение материалов и наиболее удобно при квазистатических и динамических расчетах. Поэтому изотропный вязкоупругий материал характеризуют мгновенным модулем упругости Е, мгновенным коэффициентом Пуассона v, плотностью р, коэффициентом температурного расширения at и константами ядра релаксации А, Р, а. [c.347]

Композиционным материалам с однонаправленным и перекрестным расположением волокон, когда необходимая толщина изделия создается последовательной укладкой армирующих слоев,. присущи низкая сдвиговая и низкая трансверсальная прочность. Модуль упругости и предел прочности при межслойном сдвиге и поперечном растяжении— сжатии в таких композициях более чем на порядок отличаются от модуля Юнга и прочности в направлении армирования. В ряде случаев эта особенность может препятствовать реализации высоких прочности и жесткости композиций в конструкциях. Повышение прочности сцепления матриц с волокнами путем их поверхностной обработки способствует увеличению прочности материала при сдвиге и сжатии, но не является эффективным средством повышения упругих характеристик при этих видах нагружения. Существенное возрастание жесткости и прочности при межслойном сдвиге, а также сопротивления материала поперечному отрыву достигается созданием в нем поперечных связей. Материалы с пространственно сшитой арматурой (многослойные ткани), используют при создании стеклопластиков и органоволокнитов. Основной недостаток их — значительное искривление волокон основы, что приводит к резкому снижению характеристик механических свойств композиций в этом направлении. Для высокомодульных углеродных и борных волокон наиболее приемлема схема трехмерного армирования изотропных текстильных материалов ИТМ, при которой волокна сохраняют прямолинейность. В этом случае в разных направлениях могут быть уложены различные волокна, благодаря чему образуется многокомпонентный материал. [c.591]

Обычно в литературе для описания свойств нелинейной упругости изотропных гиперупругих материалов достаточно трех независимых постоянных, в качестве которых используют линейные комбинации модулей упругости третьего порядка (МУТП) [c.255]

Грюнайзену должна быть отдана честь первого со времен Верт-гейма исследователя, который экспериментально определил все четыре упругие постоянные изотропных материалов В, fi, v и К. Чтобы ие допустить слишком случайного сравнения этих ранних результатов с ультразвуковыми измерениями последних двадцати лет, следует подчеркнуть, что опыты Грюнайзена, подобно опытам Вертгейма, были проделаны при относительно больших амплитудах деформаций, вместе с тем сам Грюнайзен наряду с другими демонстрировал нелинейность и при малой деформации. Ультразвуковые измерения, выполняемые при амплитудах деформации порядка 10 , т. е. определяющие модули упругости практически при нулевых напряжениях, порождают совершенно иную проблему при распространении волн нелинейность проявляется в изменении формы профиля волны, в состоянии установившихся вибраций нелинейность вызывает появление ультрагармоник. Однако в отношении температуры вопросы, введенные Грюнайзеном применительно к квазистатическим деформациям, также актуальны и для процесса распространения ультразвуковых волн с амплитудами, значения которых на много порядков меньше. [c.482]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...