Сходимость простой итерации

Последнее условие при медленной сходимости простых итераций может оказаться выполненным, хотя отличие решения от точного может быть еш,е велико. Процесс итераций в целом ведем, применяя коррекцию по формуле (III.22), после определенного числа простых итераций. [c.52]

Таким образом, с ростом уровня пластических деформаций (значение < падает) сходимость замедляется. В реальных случаях Ес — число порядка единицы, поэтому влияние физической нелинейности на скорость сходимости простых итераций невелико. [c.55]

Для повышения скорости сходимости простых итераций достаточно уменьшить отношение максимальной и минимальной постоянных времени схемы путем изменения параметров реактивных компонентов. [c.104]

Метод простой итерации характеризуется медленной сходимостью. Если система (5.1) плохо обусловлена, то значение h, при котором обеспечивается сходимость, мало и требуется большое число итераций [c.227]

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, каковы затраты времени Т на получение решения с требуемой точностью. Ненадежность итерационных методов проявляется либо при неудачном выборе начального приближения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и простых итераций), либо при повышенных требованиях к точности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разреженности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенностей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допустимых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру. [c.235]

Таким образом, метод Зейделя эквивалентен методу простой итерации (1.69) приВ=—ЛГ Лг, с = ЛГ Ь,что определяет и условия его сходимости. Сформулируем достаточное условие сходимости метода Зейделя если 1 I йц], / = 1, 2,..., [c.27]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

Если в системе среди коэфициентов при неизвестных встречаются и положительные и отрицательные числа, то можно улучшить сходимость процесса итерации (а в некоторых случаях просто сделать его возможным), заменяя отдельные уравнения алгебраической суммой нескольких других. Алгебраическая сумма составляется с таким расчётом, чтобы коэфициенты у неизвестного того же номера, что и заменяемое уравнение, были одного знака (приём А. Н. Крылова). [c.128]

Ниже описывается простой и эффективный алгоритм решения вещественных алгебраических или трансцендентных уравнений являющийся усовершенствованием метода простых итераций. Алгоритм обеспечивает сходимость вне зависимости от формы уравнения и в качестве исходного приближения требует одного значения аргумента. [c.211]

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Достаточным условием сходимости метода простых итераций является любое из условий [c.123]

Сходимость процесса оказывается весьма медленной, и лишь четвертое приближение может быть признано удовлетворительным, так как перемещения W в третьем и в четвертом приближении различаются примерно на 3%. Для улучшения сходимости процесса вместо простой итерации можно воспользоваться подобной. В этом случае в п-м приближении можно записать [c.65]

Каждый из применяемых методов имеет свои преимущества и недостатки. Метод простых итераций обладает низкой скоростью сходимости, однако сходимость можно всегда обеспечить выполнением условия устойчивости (4.10). В методе Ньютона практически гарантировать сходимость не удается. Однако, если сходимость имеет место, метод Ньютона приводит к заметно меньшим затратам машинного времени и более высокой точности решения, чем метод простых итераций. [c.103]

Блок-схема алгоритма метода представлена на рис. 2.8. Простота метода простой итерации делает его привлекательным, однако не следует забывать, что и этому методу присущи недостатки, так как он не всегда обеспечивает сходи.мость. Поэтому для любой программы, в которой используется этот алгоритм, необходимо предусматривать контроль сходимости и прекращать счет, если сходимость не обеспечивается. [c.25]

Это наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Его популярность обусловлена тем, что по сравнению с методом простой итерации, он обеспечивает гораздо более быструю сходимость. В основе метода Ньютона лежит представление всех п уравнений в виде рядов Тейлора [c.39]

При решении трансцендентных уравнений более эффективны методы Ньютона, простой итерации и секущих. К сожалению, они не всегда обеспечивают сходимость. С другой стороны, более медленно сходящиеся методы, такие, как метод половинного деления или метод ложного положения, гарантируют получение решения для любой непрерывной функции, если найден интервал, в котором она меняет свой знак. [c.44]

Была исследована система уравнений (4.59) и (4.60) и показано [20], что наибольшее собственное значение к является положительным и простым, а также, что соответствующий ему единственный собственный вектор может быть выбран таким образом, чтобы иметь неотрицательные компоненты. Кроме того, было доказано, что метод итераций по источникам деления сходится к этому собственному вектору. Эти выводы аналогичны описанным в разд. 4.4.3 для многогрупповых уравнений с непрерывной пространственной зависимостью потока нейтронов. К тому же они обеспечивают прочную основу для использования метода внешних итераций. Как и в случае внутренних итераций, имеются различные методы для ускорения сходимости внешних итераций [21]. [c.153]

Приведенные результаты показывают, что наиболее быстрой сходимостью обладает метод Ньютона — Канторовича (штриховые линии), а наиболее медленной — метод простой итерации (сплошные линии). [c.113]

На рис. 5.4 показан характер сходимости рассматриваемых методов при ш=0,5 и ш = 0,9. Метод простой итерации в данном случае образует монотонный итерационный процесс. [c.114]

Для решения системы уравнений (3.1) наряду с прямыми методами часто используют итерационные. Затраты машинного времени на одну итерацию оказываются минимальными в методах простой итерации и Гаусса— Зейделя. Однако при некоторых типах излучателей и малых расстояниях между ними итерационный процесс имеет плохую сходимость или даже расходится [9]. Поэтому в этих случаях следует использовать более сложные итерационные методы, например метод проекций [c.89]

Наиболее простым итерационным методом является метод простой итерации [4]. При произвольных АР требуемый объем ОП составляет /2- -2М) слов, а число мультипликативных операций на одну итерацию равно (3 в табл. 3.1). При анализе АР с периодическим расположением излучателей и одномодовой аппроксимацией тока матрица системы уравнений (3.1) может быть восстановлена по первому столбцу или первой строке, поэтому требуемый объем ОП составляет 4Л слов. Хотя вычислительный алгоритм метода простой итерации весьма элементарен, скорость его сходимости зависит от обусловленности системы уравнений (3.1), и для некоторых АР он может иметь очень плохую сходимость или даже расходиться. В последнем случае можно использовать более сложные быстросходящиеся итерационные методы, например метод сопряженных градиентов [4]. Этот метод не требует оценки границ спектра матрицы [ )], однако его сходимость гарантируется только для положительно определенных матриц. [c.110]

Наиболее часто для расчета функции тока используется метод последовательной верхней релаксации. Предельно простой по конструкции и легко программируемый алгоритм, приемлемая скорость сходимости в сочетании с минимальным потреблением машинного времена на одну итерацию — факторы, которые определяют постоянный интерес к этому методу. [c.100]

Если метод установления содержит один параметр для регулирования вычислительным процессом — шаг по времени т, то в релаксационном алгоритме их три дт, <7со и <7,1,, т. е. для каждой из функций по одному. Увеличение числа независимых параметров, безусловно, предоставляет более широкие возможности в управлении скоростью сходимости итераций, позволяя учитывать специфику каждого уравнения в отдельности и их взаимосвязь. Машинные эксперименты, описанные в 5.2, показывают, что при оптимальном выборе дт, да и д релаксационный метод становится чрезвычайно эффективным. Там же предложен простой алгоритм оптимизации этих параметров для различных задач и разностных схем. [c.108]

Для многих задач отсутствуют математически строгие решения. Наши выводы в основном будут основываться на интуиции, на экспериментах в аэродинамических трубах и на численных экспериментах. Большинство численных экспериментов по исследованию граничных условий осуществлялось при помощи простых двухслойных явных схем для уравнений переноса вихря. Заметим, что известно несколько случаев, когда те же граничные условия, взятые в иных схемах, приводят к неустойчивости. (Термин неустойчивость используется здесь в смысле отсутствия сходимости итераций, а не обязательно в смысле экспоненциального роста ошибки.) Эти примеры могут служить предостережением от применения таких существенно частных методов. В данной связи мы предлагаем на начальном этапе построения вычислительного алгоритма для отладки программы и выяснения устойчивости схемы, применяемой во внутренних точках, брать граничные условия, которые имеют наинизший порядок и являются наиболее ограничительными. Затем можно будет попробовать граничные условия, накладывающие меньшие ограничения. [c.213]

Естественным путем замены операторов на более простые является введение внутренних итерационных процессов, когда на каждом шаге по времени производятся итерации с решением разностных уравнений желаемого вида. В случае сходимости итераций получаемая сеточная функция должна совпадать с функцией определяемой оператором перехода [c.75]

Итерации, связанные с оператором диффузионных членов. Поскольку введение разностного аналога диффузионных членов может усложнить процесс решения разностных уравнений, естественно попытаться заменить его на более простой, т.е. на такой, который допускает обращение оператора перехода не более сложное, чем в случае отсутствия диффузионных членов, но при этом после сходимости итераций не влияет на первоначальную структуру алгоритма. [c.76]

Проверьте наличне сходимости при решении уравнения j —10=0 методом простой итерации с Л=0,5 и h = 4, задавшись начальным приближением j o=0. [c.260]

Для решения СЬ1АУ можно применять прямые итерационные методы, такие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современньге программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно, модель (3.19) получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости. [c.105]

Как известно, для решения неоднородных краевых интегральных уравнений, к которым относится уравнение (3.1), методом простой итерации типа (3.7) или (3.11) процесс решения в общем случае может расходиться. Для обеспечения сходимости следует применять специальные формы решения, например метод подобной итерации [9]. Приняв в качестве исходной функции для расчета /-того приближения функцию i (х), где — пока неизвест [c.57]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

В итерационном методе Ричардсона для эллиптических уравнений на п-й итерации поочередно в каждом узле расчетной сетки удовлетворяется конечно-разностное уравнение, содержащее старые значения на (п — 1)-й итерации в соседних узлах. В 1918 г. Либман показал, что можно значительно увеличить скорость сходимости просто за счет использования новых значений в узлах, как только они вычислены. В этой схеме непрерывных замещений на каждой -й итерации используется некоторое число старых значений с (п — 1)-й итерации и некоторое число новых значений с -й итерации в соседних узлах. В каждом цикле итерационного метода Либмана наибольшие погрешности уменьшаются так же, как в двух циклах итерационного метода Ричардсона (Франкел [1950]). [c.17]

Один способ уменьшить это отношение состоит в том, чтобы сдвинуть начало координат, заменяя А на п-т шаге матрицей А — %п1. Это сдвигает все собственнью значения матрицы А на одну и ту же величину Я . Если Я близко к истинному собственному значению Я, так что разность Я — %п мала, то соответствующая компонента вектора уп+ увеличивается на большой множитель (Я — Яп) . Этот процесс легко численно реализуем, даже хотя матрица А — Яп/ почти вырождена. На самом деле полезно иметь несколько лучшее приближение к собственному значению, чем Яп = 1/1 г/п11. Например, отношение Рэлея Яп = (Ауп, Уп)1(Уп, Уп) гораздо точнее. График этого отношения в окрестности точного собственного значения (где расположена стационарная точка) очень плоский, и алгоритм с этими улучшенными сдвигами обладает кубической сходимостью Яп+1 — Я (Я —Я) . С другой стороны, сдвиг /4 ->/4 — Я / означает, что на каждой итерации надо снова выполнять исключение Гаусса треугольные матрицы, на которые разлагается А, нельзя хранить и использовать в последующих итерациях, как это происходит в случае простой итерации Ауп+ = Хп- [c.274]

Возможно использование других итерационных сглаживающих процедур таких, как метод Гаусса — Зейделя, последовательной верхней релаксации, сопряженных градиентов и др. В сравнении с простой итерацией и тривиальным выбором параметров т = Ijd они дают, естественно, более высокую скорость сходимости, что можно аналитически вьтести из локального анализа Фурье [100]. Но при оптимальном вь1боре параметров Т по формулам (2.26) и (3.38) алгоритмы А и не уступают по эффективности алгоритмам с перечисленными выше итерационными процессами, посколь- [c.211]

Для определения производных момента относительно ГШ достаточно простого анализа, поскольку они влияют не на окончательное решение, а лишь на сходимость итераций. Гессоу дает для них следующие значения [c.694]

Этот частный пример был выбран для иллюстрации построения и применения критерия сходимости. Подобный критерий должен быть использован во всех нелинейных задачах. Однако в целях упрощения мы не будем использовать критерий сходимости в остальных примерах этой книги. Будем просто задавать переменную LAST, равной желаемому числу итераций (это число может быть найдено из некоторых предварительных расчетов). Только в этом примере проиллюстрирована проверка общего теплового баланса. Представление подобных балансов очень полезно. Рекомендуется включать их в те приложения, которые вы разрабатываете. Для полностью сошедше-гх)ся решения общий тепловой баланс должен в точности выполняться (с учетом погрешностей округления компьютера). [c.133]

Так как измеряемой величиной является расход газа, то достаточно определить функцию распределения в плоскости отверстия. Для траекторий молекул, приходящих в плоскость отверстия из сосуда высокого давления, фупкцию f Xq, ) в формуле (8.8) следует положить равной равновесной максвелловской функции распределения молекул в этом сосуде, так как предполагается, что размеры сосуда столь велики, что функция распределения на достаточном удалении от отверстия не возмущена процессом истечения. Для траекторий, идущих из сосуда низкого давления (теоретически из вакуумной камеры), функцию / (J q, ), очевидно, следует положить равной нулю. За нулевое приближение для функции распределения можно принять, например, функцию распределения свободномолекулярного истечения. Легко видеть, что на достаточном удалении от отверстия при сколь угодно низком давлении функция распределения будет существенно отличаться от свободномолекулярной. Это должно, очевидно, привести к неравномерной сходимости последовательных приближений, подобно тому как она появляется при расчете обтекания тел потоком, близким к свободноыолекулярному (см. 6.5). В то же время можно надеяться, что первая итерация, как и при вычислении функции распределения на теле, дает правильный результат вблизи отверстия. Фактически даже первая итерация для полного уравнения (8.8) до сих пор не выполнена и для простейших моделей молекул. [c.420]

Важнейшие достоинства итерационных методов состоят в наличии эффективных оценок областей сходимости итераций, а также скорости сходимости. К сожалению, их можно непосредственно применять лишь в простейшем случае простого корня порождаюш,его уравнения (т.е. /г = 0). Если же /г 1, то ситуация усложняется итерационные методы применяются в сочетании с некоторыми дополнительными техническими приемами [2-6], что порождает новые серьезные проблемы. [c.407]

Сходимость может быть существенно повышена при использовании метода релаксации. Суть метода очень проста. Если значение потенциала в некоторой точке после к-й итерации есть и использование пяти- или девятиточечной формулы дает ( +1) для следующей итерации, возьмем [c.153]

Уравнения (6.145) и (6.146) были решены методом последовательных приближений. Этот метод состоит в том, чтофункция ф g (у) принимается известной, или более просто, принимаются известными величины Oi, В w находится решение для функции ф (х). Затем эта функция подставляется в уравнения (6.146) для определения о , и D Bl. Используя эти величины, можно найти функцию ф 2 (у) и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута сходимость последовательных приближений. Обычно это происходит уже после одной или двух итераций. Интересно отметить, что выражения, аналогичные уравнениям (6.145), использовались в течение ряда лет для нахождения приближенных решений двухмерных задач, однако значения o,D и В обычно получались заранее, а не описанным выше методом. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...