Производные и интегралы от стационарных функций

Интегралы такого вида характерны для различных задач дифракции. Рассмотрим один из часто используемых методов их приближенного вычисления — метод стационарной фазы. Сущность его состоит в том, что в мнимый показатель экспоненты, стоящей под интегралом, входит безразмерный большой параметр рг > I. Поэтому с изменением переменной г подынтегральная функция быстро осциллирует, так что существенный вклад в интеграл вносит лишь малый учя юк оси г. включающий точку, где производная от подынтегральной функции по г обращается в нуль (отсюда название метода). [c.175]

Мы заменяем первоначальный интеграл суммой (2.7.13) и ищем стационарное значение этой суммы. Это уже задача обычного типа задана функция S п переменных yi,. .., г/ (вместо фигурировавших раньше переменных Ui,. .., u ). Мы знаем, что задача решается приравниванием нулю частных производных S по у . В заключение придется лишь исследовать переход /S.x 0. [c.75]

Обращение в нуль G происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть / (xi, Х2, Хп, fi) есть такой интеграл. Частную производную df/dXr обозначим через /г- Предположим, что ас = а не является стационарной точкой функции / (зс 0), т. е. не все производные (а 0) равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и (30.7.13) т — i первых производных /г (а 0) не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда мон<ем считать, что [c.615]

Аналогично формулируется условие максимума функционала. Из условия стационарности (9) может быть получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция, доставляющая стационарное значение функционалу, а также те граничные условия, которым она может быть подчинена. Для этого, последовательно интегрируя выражение для первой вариации функционала (7) по частям, избавимся от вариаций производных искомой функции под знаком интеграла ь [c.383]

Поскольку коэффициенты в уравнении (4.3.24) зависят от времени через одночастичную функцию распределения, найти точное решение этого уравнения не удается. Однако его можно решить в марковском приближении, т. е. в случае достаточно медленных процессов, когда можно пренебречь производной по времени в левой части. Простейшее стационарное решение, которое соответствует борновскому приближению для интеграла столкновений, легко найти, если пренебречь двумя последними членами в уравнении (4.3.24). Подставляя результат в (4.3.21), получим интеграл столкновений [c.287]

Пользуясь каноническими уравнениями Гамильтона, легко получить интеграл энергии для случая стационарных связей. Докажем сначала, что полная производная по времени от функции Гамильтона Я равна частной производной от той же функции по времени. [c.514]

Л. А. Галин [102] рассмотрел задачу о круговом штампе с помощью функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом. Он получил выражение для давления под основанием штампа в виде производной от некоторого несобственного интеграла и простую формулу для величины прижимающей силы. В случае, когда задача является осесимметричной и поверхность штампа гладкая, Л. А. Галин получил простую формулу для определения давления под основанием штампа, осадки штампа, Л. А. Галин рассмотрел также задачу о влиянии нагрузки, действующей вне штампа, на распределение давления под основанием штампа в частности, им получена простая формула для давления под основанием плоского штампа, находящегося под действием центральной силы, при наличии сосредоточенной нормальной силы вне штампа. Кроме того, Л. А. Галин рассмотрел задачу об учете сил трения при стационарном вращении штампа в предположении, что задача является осесимметричной и силы трения, действующие по всей площадке контакта, зависят только от скорости вращения. В этом случае Л. А. Галин доказал, что силы трения ие влияют на распределение давления под штампом, и получил ряд формул для величины. момента, [c.197]

Что метод перевала не может дать, так это учет сближения критических точек. Пусть, например, простая перевальная точка у , расположена вблизи концевой точки а контура у. Асимптотика, полученная методом перевала, равна сумме вкладов (11.9) стационарной точки и (11.15) точки и = = а. Если р фиксировано, а - а, то f a) -> О, и соотношение (11.15) Теряет смысл. Однако при совпадении особенностей метод перевала пригоден. В нашем примере при а асимптотика интеграла дается формулой (11. 16). Когда Ф ан + , всегда найдется достаточно большое значение р, при котором можно пользоваться формулами (11.9) и (11.15). Только при =а нужно использовать другую формулу - (11.16). Большим параметром в методе перевала, в сущности, является не р, а величина, характеризующая медленность изменения функций / и в существенной при интегрировании окрестности критической точки. Напри мер, в (11.15) истинным большим параметром будет pf a) p a w ), если / " и производные Р порядка единицы. При сближении двух стационарных точек большой параметр — зто р х (см, (11.26)). [c.225]

Чтобы найти полную свободную энергию макроскопического образца, проинтегрируем выражение (5.195) по всему объему. Получающийся интеграл будет функционалом неизвестной функции распределения порядка г (г), по которой и следует производить варьирование, чтобы найти стационарное значение F. Вычисление функциональной производной (5.191) приводит к дифференциальному уравнению в частных производных [c.235]

Если Ш (х) — четная функция, то производная IV (х) — нечетная функция, уравнение (11.21) имеет один корень к при ж > О и этот корень положителен. Поэтому первый интеграл в формуле (11.16) дает только один вклад. Однако для второго интеграла в решении (11.16) стационарные точки удовлетворяют уравнению [c.359]

Из последних выражений следует, что интеграл от стационарной случайной функции на интервале [О, Л не будет стационарной функцией. Действительно, интегрирование сигнала, в частности, приводит к перераспределению энергии сигнала в область низких частот и к появлению низкочастотного тренда, что обусловливает возможную пестационарность процесса после интегрирования. Таким образом, если измеряемый процесс (виброперемещение) является стационарным, то его производные (виброскорость или виброускорение) могут приниматься также стационарными без дополнительных проверок. Чтобы судить о стационарности интегрально преобразованного сигнала, необходимо располагать его значениями на интервале [О, Г], причем Т t. [c.57]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...